數(shù)值積分（基于MATLAB）課件 chapter1 緒論；chapter2 曲線擬合；chapter2-插值法

在數(shù)學發(fā)展中，理論和計算是緊密聯(lián)系的。現(xiàn)代計算機的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計算創(chuàng)造了條件，集中而系統(tǒng)的研究適用于計算機的數(shù)值方法變得十分迫切和必要。數(shù)值計算方法正是在大量的數(shù)值計算實踐和理論分析工作的基礎上發(fā)展起來的，它不僅僅是一些數(shù)值方法的簡單積累，而且揭示了包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的相同的結構和統(tǒng)一的原理。數(shù)值算法是進行科學計算必不可缺少的起碼常識；更為重要的是通過對它們的討論，能夠使人們掌握設計數(shù)值算法的基本方法和一般原理，為在計算機上解決科學計算問題打下基礎。因此，計算方法已經成為工科大學生必修課程。為什么要開設這個課呢？認識建立算法和對每個算法進行理論分析是基本任務，主動適應“公式多”的特點；注重各章建立算法的問題的提法，搞清問題的基本提法，逐步深入；理解每個算法建立的數(shù)學背景，數(shù)學原理和基本線索，對最基本的算法要非常熟悉；認真進行數(shù)值計算的訓練，學習各章算法完全是為用于實際計算，必須真會算。如何進行學習？科學素質：拓寬對21世紀科學的了解；

加深對數(shù)學思想的理解；

培養(yǎng)用數(shù)學思考世界的習慣

數(shù)學能力：數(shù)學知識的運用能力；

對專業(yè)中問題建立數(shù)學求解方法

與實際計算能力應用問題中數(shù)學創(chuàng)

造性能力

計算知識：常用算法的數(shù)學理論；

在“誤差、存貯、速度”之下的實

際計算方法；

對結果的數(shù)值分析方法

數(shù)值分析講述的基本內容如何把數(shù)學模型歸結為數(shù)值問題如何制定快速的算法如何估計一個給定算法的精度分析誤差在計算過程中的積累和傳播如何構造精度更高的算法如何使算法較少的占用存儲量如何分析算法的優(yōu)缺點本課程的基本要求掌握數(shù)值方法的基本原理掌握常用的科學與工程計算的基本方法能用所學方法在計算機上算出正確結果

§1.1數(shù)值分析方法的內容§1.2誤差§1.2.1誤差的來源§1.2.2誤差的基本概念§1.2.3有效數(shù)字與相對

誤差限的關系第一章緒論1.1數(shù)值分析方法的內容

數(shù)值分析又稱計算方法,它是研究各種數(shù)學問題的數(shù)值解法及其理論的一門學科。數(shù)值分析的任務實際問題數(shù)學模型數(shù)值計算方法程序設計上機計算數(shù)值結果

根據(jù)數(shù)學模型提出求解的數(shù)值計算方法直到編出程序上機算出結果，這一過程邊是數(shù)值分析研究的對象1.對于要解決的問題建立數(shù)學模型2.研究用于求解該數(shù)學問題近似解的算法和過程3.按照2進行計算，得到計算結果建立數(shù)學模型轉化為數(shù)值公式進行計算數(shù)值方法解題的一般過程

數(shù)值計算以及計算機模擬（包括當前流行的虛擬現(xiàn)實的方法），已經是在工程技術研究和經濟、社會科學中廣泛應用的方法，帶來巨大的經濟效益天氣預報與億次計算機波音777的無紙設計與有限元CT、核磁共振計算流體力學與爆炸工程能源問題與大型計算計算作為工程技術研究方法計算方法課程主要討論如何構造求數(shù)學模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學原理、誤差和復雜性，配合程序設計進行計算試驗并分析試驗結果。與純數(shù)學的理論方法不同，用數(shù)值計算方法所求出的結果一般不是解的精確值或者準確的解析表達式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。例如方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內有唯一根,但找不出求根的解析式,只能用數(shù)值計算方法求其近似解。有些數(shù)學問題雖有理論上的準確的公式解,但不一定實用,例如行列式解法的Cramer法則原則上可用來求解線性方程組,用這種方法解一個n元方程組,要算n+1個階行列式的值,總共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,當n=20時,其乘除法運算次數(shù)約需1021次方,即使用每秒千億次的計算機也得需要上百年,而用高斯（Guass）消去法約需2660次乘除法運算,并且愈大,相差就愈大?？梢娧芯亢瓦x擇好的算法是非常重要的。

算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問題的過程。數(shù)值算法的特點?目的性，條件和結論、輸入和輸出數(shù)據(jù)均要有明確的規(guī)定與要求。?確定性，精確地給出每一步的操作(不一定都是運算)定義,不容許有歧義。?可執(zhí)行性，算法中的每個操作都是可執(zhí)行的?有窮性，在有限步內能夠結束解題過程計算機上的算法，按面向求解問題的不同，分為數(shù)值算法和非數(shù)值算法。1.2誤差

早在中學我們就接觸過誤差的概念，如在做熱力學實驗中，從溫度計上讀出的溫度是23.4度，就不是一個精確的值，而是含有誤差的近似值。事實上，誤差在我們的日常生活中無處不在，無處不有。如量體裁衣，量與裁的結果都不是精確無誤的，都含有誤差。在用數(shù)值方法解題過程中可能產生的誤差歸納起來有如下幾類：1.模型誤差2.觀測誤差3.截斷誤差4.舍入誤差1.2.2誤差的來源用數(shù)學方法解決一個具體的實際問題，首先要建立數(shù)學模型，這就要對實際問題進行抽象、簡化，因而數(shù)學模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差數(shù)學模型是指那些利用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實而建立起來的有關量的描述數(shù)學模型的準確解與實際問題的真解不同實際問題的真解數(shù)學模型的真解為減化模型忽略次要因素定理在特定條件下建立與實際條件有別模型誤差在數(shù)學模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差數(shù)學模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗得到的由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測量誤差,這類誤差叫做觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差根據(jù)實際情況可以得到誤差上下界數(shù)值方法中需要了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法與之適應觀測誤差精確公式用近似公式代替時,所產生的誤差叫截斷誤差例如,函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項式

截斷誤差（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是截斷誤差的大小直接影響計算結果的精度和計算工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進行運算需要對參數(shù)、中間結果、最終結果作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差舍入誤差例如在計算時用3.14159近似代替，產生的誤差R=-3.14159=0.0000026…就是舍入誤差。上述種種誤差都會影響計算結果的準確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析誤差的度量

絕對誤差和絕對誤差限定義1.1

設精確值x的近似值

x*

，稱差

e(x*)

=x-x*近似值x*的絕對誤差，簡稱誤差。e(x*)又記為e*

當e*>0時，x*稱為弱近似值，當e*<0時，x*稱為強近似值|e*|越小，x*的精度越高由于精確值一般是未知的,因而e*

不能求出來,但可以根據(jù)測量誤差或計算情況設法估計出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個上界或稱誤差限。1.2.2

誤差的基本概念定義1.2

設存在一個正數(shù)，使則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度。實際應用中經常使用這個量來衡量誤差限,這就是說,如果近似數(shù)的誤差限為,則表明準確值x必落在

上,常采用下面的寫法來表示近似值的精度或準確值x所在的范圍。1.2.2誤差的基本概念a-εa+εaA例1

設x

=

=3.1415926…

近似值x*

=3.14,它的絕對誤差是0.0015926…，有

??

x-x*=0.0015926…

0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對誤差是

0.0000074…，有

x-x*=0.0000074…

0.000008=0.810-5例3

而近似值x*

=3.1415，它的絕對誤差是0.0000926…，有

x-x*=0.0000926…

0.0001=0.110-3可見，絕對誤差限

*不是唯一的，但*越小越好1.2.3相對誤差和相對誤差限只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個錯一個,乙打字每1000個錯一個,他們的誤差都是錯一個,但顯然乙要準確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外,還必須顧及量的本身。定義1.3絕對誤差與精確值x的比值

稱為相對誤差。簡記為1.3.2相對誤差和相對誤差限

相對誤差越小,精度就越高,實際計算時,x通常是不知道的,因此可用下列公式計算相對誤差定義1.4設存在一個正數(shù)，使

則稱為近似值的相對誤差限。簡記為1.3.2相對誤差和相對誤差限例4.甲打字每100個錯一個，乙打字每1000個錯一個，求其相對誤差解：根椐定義:甲打字時的相對誤差

乙打字時的相對誤差1.2.3

有效數(shù)字定義1.5設x的近似值

其中是0到9之間的任一個數(shù),但n是正整數(shù),m是整數(shù),若

則稱為x的具有n位有效數(shù)字的近似值，準確到第n位，是的有效數(shù)字。

1.2.3有效數(shù)字例5.3.142作為π的近似值時有幾位有效數(shù)字解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×

|

＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n=-3所以n=4，具有4位有效數(shù)字例6.當取3.141作為的近似值時

-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.0005=1/210-2

m-n=1-n=-2所以n=3具有3位有效數(shù)字推論如果近似數(shù)x*誤差限是某一位的半個單位,由該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位

x*就有n位有效數(shù)字,也就是說準確到該位再如3.1416作為

的近似值時

-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

≤0.0000074<0.00005<0.510-4m-n=1-n=-4所以n=5x*=3.1416有5位有效數(shù)字關于有效數(shù)字說明①用四舍五入取準確值的前n位x*作為近似值,則

x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為的近似值有4位有效數(shù)字，而3.141為3位有效數(shù)字②有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定相同。例如，設x1*=12345,設x2*=12.345,兩者均有5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣

x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數(shù)④準確值具有無窮多位有效數(shù)字,如三角形面積

S=1/2ah=0.5ah

因為0.5是真值,沒有誤差

*=0,因此n,準確值具有無窮位有效數(shù)字1.2.3有效數(shù)字與相對誤差定理1.1若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差證:∵x*

=0.x1x2…xn10m

∴

x*

≥x110m-1

又∵x*具有n位有效數(shù)字,則x-x*

≤1/210m-n∴

一般應用中可以取

r*=1/2x110-(n-1),n越大,

r*越小,∴有效數(shù)字越多，相對誤差就越小例7取3.14作為

的四舍五入的近似值時，求其相對誤差解：3.14=0.314101x1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3

r*=1/2x110-(n-1)=1/2*310-2=17%1.2.3有效數(shù)字與相對誤差例8已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相對誤差限解：已知n=2代入公式

r*=1/2x110-(n-1)得

r*=1/2x110-1

x*的第一位有效數(shù)字x1沒有給出，可進行如下討論：當

x1=1

r*=1/2x110-1=1/2*110-1=5%

x1=9

r*=1/2x110-1=1/2*910-1=0.56%

取x1=1時相對誤差為最大，即5%1.2.3有效數(shù)字與相對誤差1.2.3有效數(shù)字與相對誤差定理1.2若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對誤差則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字

1.2.3有效數(shù)字與相對誤差證:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴

x*≤(x1+1)10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢例9已知近似數(shù)x*的相對誤差限為0.3%，問x*有幾位有效數(shù)字？解：由得ⅰ當x1=1時,310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)

上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ當x1=9時,310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219∴x*至少有3位有效數(shù)字

例10為使的近似數(shù)的相對誤差小于0.1%，問查開方表時，要取幾位有效數(shù)字？解：∵8<<9∴x1=8

∴-(n-1)<lg2+2lg3+(-3)-n<1.2552-4-n<-2.7448

∴n>2.7448取n=3即查平方表時

8.37取三位有效數(shù)字

∴

注意:已知有效數(shù)字,求相對誤差用公式

已知相對誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式1.4.1函數(shù)運算誤差函數(shù)運算誤差可用泰勒展開式來分析設一元函數(shù)f(x)，自變量x的近似值x*，f(x)的近似值f(x*)，其誤差限記為

[f(x*)]，對f(x)在近似值x*附近泰勒展開1.4

誤差的傳播介于x,x*之間其中

*為近似數(shù)x*的絕對誤差限，設f｀(x*)與f〃(x*)相差不大,可忽略

*的高次項,于是可得出函數(shù)運算的誤差和相對誤差多元函數(shù)亦類似，用泰勒展開即可推導出來例11已測得某場地長L的值L*=110m,寬d的值

d*=80m,已知

L-L*≤0.2m,

d-d*≤0.1m求場地面積S=Ld的絕對誤差限和相對誤差限解：其中

(d*)=0.1m,

(L*)=0.2m絕對誤差限

(s*)(800.2+1100.1)m2=27m2相對誤差限算術運算誤差計算機的數(shù)值運算主要是加、減、乘、除四則運算，帶有誤差的數(shù)在多次運算過程中會進行傳播。使計算結果產生誤差。誤差的變化可以用微分簡單描述。注意到準確值x與其近似值通常很接近，其差可認為是較小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤差的微分近似關系式。即x的微分表示x的絕對誤差，的微分表示x的相對誤差，利用這兩個關系式及微分運算可以得到一系列有關四則運算的誤差結果。算術運算誤差由d(x±y)=dx±dy可得兩數(shù)之和(差）的誤差等于兩數(shù)的誤差之和（差）；由可得兩數(shù)之積的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和；由可得兩數(shù)商的相對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差。例12正方形的邊長約為100cm,怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2?解：設正方形邊長為xcm,測量值為x*cm,面積

y=f(x)=x2由于f

(x)=2x記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是e*、e(y*),則

e*=x-x*

e(y*)=y-y*

f(x*)(x-x*)=2x*e*=200e*現(xiàn)要求e(y*)200e*<1,于是

e*≤（1/200）cm=0.005cm要使正方形面積誤差不超過1cm2，測量邊長時絕對誤差應不超過0.005cm。減少運算誤差原則誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標志為此對每一個算法都要進行誤差分析(1)兩個相近的數(shù)相減，會嚴重損失有效數(shù)字例如x=1958.75，y=1958.32都具有五位有效數(shù)字，但x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字通常采用的方法是改變計算公式,例如當與很接近時,由于用右端代替左端公式計算,有效數(shù)字就不會損失

減少運算誤差原則當x很大時可作相應的變換

則用右端來代替左端。

減少運算誤差若干原則當x接近0時一般情況，當f(x)≈f(x*)時，可用泰勒展開取右端的有限項近似左端。如果計算公式不能改變，則可采用增加有效位數(shù)的方法保證精度

（2）防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)例求二次方程x2-105x+1=0的根解：按二次方程求根公式

x1=(105+(1010-4)1/2)/2x2=(105-(1010-4)1/2)/2在8位浮點數(shù)計算得

x1=(105+105)/2=105(正確）,

x2=(105-105)/2=0(錯誤）產生錯誤的原因 ①出現(xiàn)大數(shù)1010吃掉小數(shù)4的情況 ②分子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失有效數(shù)位常稱為災難性的抵消（3）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)當分母為兩個相近數(shù)相減時,會喪失有效數(shù)字這里分子的誤差被擴大104倍,再如若將分母變?yōu)?.0011,即分母只有0.0001的變化時,計算結果卻有了很大變化減少運算誤差若干原則例1.8計算 解:分子分母分別計算后相除(取9位小數(shù))

A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012=0.000000009(有舍入)

B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135=0.000000051(有舍入)

D=A/B=0.17647 真值為0.16948148…，所以D只準確到小數(shù)后一位減少運算誤差若干原則例：計算算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計算

a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入)

b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012/0.0135=0.088889(有舍入)

D=a*b*c=1.666667*1.144000*0.088889=0.169482,準確到小數(shù)后5位。bca減少運算誤差若干原則（4）簡化計算步驟，減少運算次數(shù)

x255=xx2x4x8x16x32x64x128原先要做254次乘法現(xiàn)只需14次即可又如計算多項式

p(x)=anxn

an-1xn-1

…

a1x

a0的值若直接計算akxk,再逐項相加，一共要做

n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法

減少運算誤差若干原則如果將前n項提出x，則有p(x)=（anxn-1

an-1xn-2

…

a1）x

a0

=((anxn-2

an-1xn-3

…

a2)x

a1）x

a0

=(…(anx

an-1)x

…

a2)x

a1)x

a0寫成遞推公式

減少運算誤差若干原則于是,這種多項式求值的算法稱為秦九韶算法,只做n次乘法和n次加法,程序實現(xiàn)簡單

控制遞推公式中誤差的傳播

對于一個數(shù)學問題的求解往往有多種數(shù)值方法在選擇數(shù)值方法時，要注意所用的數(shù)值方法不應將計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算結果完全失真。例13計算積分并估計誤差解容易得到遞推公式

即為則準確的理論遞推式實際運算的遞推式兩式相減有

這就是說,若與的誤差為=-,即

，則誤差的遞推規(guī)律為

于是

計算時的誤差被擴大了倍,顯然算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。如果將遞推公式

變換一種形式準確的理論遞推式實際運算的遞推式從而有即于是有則這個算法的誤差傳遞規(guī)律為

即每計算一步的誤差的絕對值是上一步的十分之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這個算法是數(shù)值穩(wěn)定的本章小結

誤差在數(shù)值計算中是不可避免的，誤差的傳播和積累直接影響到計算結果的精度。在研究算法的同時，必須注重誤差分析，使建立起來的算法科學有效。按照誤差產生的來源可分為模型誤差、觀測誤差，截斷誤差、和舍入誤差等。誤差的表示法有絕對誤差和相對誤差兩種。在表示一個近似數(shù)時,要用到有效數(shù)字的概念,這在數(shù)值計算中非常有用,有效數(shù)字是由絕對誤差決定的通常用函數(shù)的泰勒展開對誤差進行估計

在工程技術與科學研究中，常會遇到函數(shù)表達式過于復雜而不便于計算，且又需要計算眾多點處的函數(shù)值；或已知由實驗（測量）得到的某一函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]中互異的n+1個xi(i=0,1,...,n)處的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),需要構造一個簡單易算的函數(shù)P(x)作為y=f(x)的近似表達式

y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)

這類問題就稱為插值問題，P(x)稱為插值函數(shù)，P(x)一般取最簡單又便于計算得函數(shù)。第2章I

插值法x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)f(x)

y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它點P(x)

f(x)=y2.1.1插值問題

設y=f(x)是區(qū)間[a,b]

上的一個實函數(shù),xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1個互異實數(shù),已知y=f(x)在xi的值

yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一個次數(shù)不超過n的多項式Pn(x)使其滿足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)

(5-1)這就是多項式插值問題.2.1引言其中Pn(x)稱為f(x)的n次插值多項式,f(x)稱為被插函數(shù),xi(i=0,1,...,n)稱為插值節(jié)點,(xi,yi)(i=0,1,…,n)稱為插值點,[a,b]稱為插值區(qū)間,式(5-1)稱為插值條件。

從幾何意義來看,上述問題就是要求一條多項式曲線y=Pn(x),使它通過已知的n+1個點(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似表示f(x).即

P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai為實數(shù)，就稱P(x)為插值多項式，相應的插值法稱為多項式插值，若P(x)為分段的多項式，就稱為分段插值，若P(x)為三角多項式,就稱為三角插值，本章只討論插值多項式與分段插值。

本章主要研究如何求出插值多項式，分段插值函數(shù)，樣條插值函數(shù)；討論插值多項式P(x)的存在唯一性、收斂些及誤差估計等。定理1

設節(jié)點xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件

Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次數(shù)不超過n的多項式存在且唯一.證設所求的插值多項式為Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(5-2)則由插值條件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得關于系數(shù)a0,a1,…,an的線性代數(shù)方程組2.1.2插值多項式的存在性和唯一性此方程組有n+1個方程,n+1個未知數(shù),其系數(shù)行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由克萊姆法則知方程組(5-3)的解存在唯一.證畢。

考慮最簡單、最基本的插值問題.求n次插值多項式li(x)(i=0,1,…,n),使其滿足插值條件2.2.1基函數(shù)可知,除xi點外,其余都是li(x)的零點,故可設Lagrange法1736-1813

2.2拉格朗日插值其中A為常數(shù),由li(xi)=1可得稱之為拉格朗日基函數(shù),都是n次多項式。

n=1時的一次基函數(shù)為:y1O

xy1Ox即已知函數(shù)

f(x)在點x0和x1點的函數(shù)值

y0=f(x0)，y1=f(x1).求線性函數(shù)

L(x)=a0+a1x使?jié)M足條件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此為兩點線性插值問題或用直線的兩點式表示為：插值基函數(shù)的特點：

x0x1l010l1011x0x1l0l1記n=2時的二次基函數(shù)為:可知其滿足2.2.2拉格朗日插值多項式利用拉格朗日基函數(shù)li(x),構造次數(shù)不超過n的多項式稱為拉格朗日插值多項式,再由插值多項式的唯一性,得

特別地,當n=1時又叫線性插值,其幾何意義為過兩點的直線.當n=2時又叫拋物（線）插值,其幾何意義為過三點的拋物線.注意:(1)對于插值節(jié)點,只要求它們互異,與大小次序無關;

以xi(i=0,1,…,n)為插值節(jié)點,函數(shù)f(x)

1作插值多項式,由插值多項式的唯一性即得基函數(shù)的一個性質(2)插值基函數(shù)li(x)僅由插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)確定,

與被插函數(shù)f(x)無關;(3)插值基函數(shù)li(x)的順序與插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)

的順序一致.這是因為若取(x)=xk

(k=0,1,…,n),由插值多項式的唯一性有特別當k=0時,就得到所以例1

已知用線性插值(即一次插值多項式)求的近似值。

基函數(shù)分別為:解插值多項式為()例2

求過點(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的拋物線插值(即三次插值多項式).解以以為節(jié)點的基函數(shù)分別為:則拉格朗日的三次插值多項式為

截斷誤差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也稱為n次Lagrange插值多項式的余項。以下為拉格朗日余項定理。

定理2

設f(x)在區(qū)間[a,b]上存在n+1階導數(shù),xi∈[a,b](i=0,1,…,n)為n+1個互異節(jié)點,則對任何x∈[a,b],有2.2.3插值余項且與x有關)證由插值條件和

n+1(x)

的定義,當x=xk

時,式子顯然成立,并且有

n+1(xk)=0(

k=0,1,…,n),這表明x0

,

x1,

…,xn

都是函數(shù)

n+1(x)的零點,從而

n+1(x)可表示為其中K(x)是待定函數(shù)。

對于任意固定的x

[a,b],x

xk

,構造自變量t的輔助函數(shù)

由式

n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0

,

x1,

,xn

和x是

(t)在區(qū)間[a,b]上的n+2個互異零點,因此根據(jù)羅爾(Rolle)定理,至少存在一點=(x)(a,b),使

即所以

一般來說,外推比內插效果差,在估計誤差時下列不等式很有用。的拋物插值多項式,且計算f(3)的近似值并估計誤差。例3

設解插值多項式為因為故于是用二次插值計算ln11.25的近似值,并估計誤差.例4

給定函數(shù)表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解

取節(jié)點x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有l(wèi)n11.25L2(11.25)在區(qū)間[10,12]上lnx的三階導數(shù)的上限M3=0.002,可得誤差估計式實際上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.2.4.1差商及其基本性質定義1

稱為f(x)在x0、x1點的一階差商.一階差商的差商稱為函數(shù)f(x)在x0、x1、x2點的二階差商.英1642-17272.4差商與牛頓插值公式一般地，n-1階差商的差商

稱為f(x)在x0,x1,…,xn點的n階差商。差商的計算步驟與結果可列成差商表，如下

一般f(xi)稱為f(x)在xi點的零階差商，記作f[xi]。xk函數(shù)值一階差商二階差商三階差商...

x0x1

x2

x3...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)...

f[x0,x1]

f[x1,x2]

f[x2,x3]

...

f[x0,x1,x2]

f[x1,x2,x3]

...

f[x0,x1,x2,x3]

......表1（差商表）給出節(jié)點x0,x1,…,xn和函數(shù)值(x0),(x1),…,(xn),可按如下的差商表順序逐次計算各階差商值.xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3

xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)

?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]

?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]

?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]

?[xn-3,xn-2,x2,x3]………………

?[x0,x1,…,xn]這一性質可以用數(shù)學歸納法證明，它表明差商與節(jié)點的排列次序無關，即

f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]性質1

差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即稱之為差商的對稱性（也稱為對稱性質）。性質2

由性質1立刻得到或性質3

n次多項式f(x)的k階差商,當k

n時是一個n-k次多項式;當k>n時恒等于0.性質4

若f(x)在[a,b]上存在n階導數(shù),且節(jié)點x0,x1,…,xn∈[a,b],則至少存在一點

[a,b]

滿足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.2.4.2牛頓插值多項式設x是[a，b]上一點，由一階差商定義得同理，由二階差商定義如此繼續(xù)下去，可得一系列等式得得依次把后式代入前式，最后得其中可見,Nn(x)為次數(shù)不超過n的多項式,且易知Rn(xi)=0即Nn(xi)=yi,(i=0,1,…,n)滿足插值條件,故其為插值問題的解,Nn(x)稱為牛頓插值多項式。

Rn(x)稱為牛頓型插值余項。由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式是等價的,即Ln(x)

Nn(x)且有如下遞推形式和余項公式由此即得性質4。且xkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例1已知f(x)=shx的數(shù)表,求二次牛頓插值多項式,并由此計算f(0.596)的近似值。解由上表可得過前三點的二次牛頓插值多項式為又可得過前四點的三次牛頓插值多項式故可得N3(x)的截斷誤差

設函數(shù)y=f(x)在等距節(jié)點xi=x0+ih(i=0,1,…,n)上的函數(shù)值為fi=f(xi)(h為步長)定義2

fi=fi+1-fi

和

fi=fi-fi-1分別稱為函數(shù)f(x)在點xi處的一階向前差分和一階向后差分。

一般地,f(x)在點xi處的m階向前差分和m階向后差分分別為

mfi=

m-1fi+1-

m-1fi

和

mfi=

m-1fi-

m-1fi-12.4.3差分與等距節(jié)點插值2.4.3.1差分及其性質函數(shù)值一階差分二階差分三階差分四階差分...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)...

f0

(

f1)

f1

(

f2)

f2

(

f3)

f3

(

f4)...

2f0

(

2f2)

2f1

(

2f3)

2f2

(

2f4)...

3f0

(

3f3)

3f1

(

3f4)...

4f0

(

4f4)......構造差分表容易證明，差分有如下基本性質性質1

各階差分均可用函數(shù)值表示.即且有等式

nfi=

nfi+n.性質3均差與差分的關系式為性質2函數(shù)值均可用各階差分表示.即且有差分與微商的關系式為差分的其它性質參見教材。代入牛頓插值公式,可得稱為牛頓向前插值公式，其余項為插值節(jié)點為xi=x0+ih(i=0,1,…,n),如果要計算x0附近點x處的函數(shù)值f(x),可令x=x0+th

(0

t

n)2.4.3.2等距節(jié)點差值公式

類似地,若計算xn附近的函數(shù)值f(x),可令x=xn+th(-

n

t

0)

，可得牛頓向后插值公式及其余項例2

設y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多項式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相應的函數(shù)值及差分表如下:xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(1.2)用牛頓前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(2.8)用牛頓后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(1.8)呢?2.5.1三次埃爾米特插值多項式

設y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的實函數(shù),x0,x1是[a,b]上相異兩點,且x0＜x1,y=f(x)在xi上的函數(shù)值和一階導數(shù)值分別為yi=f(xi)(i=0,1)和mi=f

(xi)(i=0,1),求三次多項式H3(x),使其滿足：H3(x)稱為三次埃爾米特插值多項式。法1822-19012.5埃爾米特(Hermite)插值構造三次埃爾米特插值多項式如下:定理3

滿足條件式的三次埃爾米特插值多項式存在且唯一。

條件函數(shù)函數(shù)值導數(shù)值x0x1x0x1

0(x)1000

1(x)0100

0(x)0010

1(x)0001由可將它寫成即插值點的Lagrange一次基函數(shù).

可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項式為定理4

設f(x)在包含x0、x1的區(qū)間[a,b]內存在四階導數(shù)，則當x∈[a,b]時有余項設則當x∈(x0,x1)時,余項有如下估計式（誤差限）2.5.2誤差估計且與x有關)例2

已知f(x)=x1/2及其一階導數(shù)的數(shù)據(jù)見下表,用埃爾米特插值公式計算1251/2的近似值,并估計其截斷誤差.x121144f(x)1112f'(x)1/221/24解得由可求得2.6分段低次插值先看下面的例子

對?(x)=(1+25x2)-1,在區(qū)間[-1,1]上取等距節(jié)點

xi=-1+ih,i=0,1,…,10,h=0.2,作?(x)關于節(jié)點

xi(i=0,1,…,10)的10次插值多項式L10(x),

如圖所示xyo1-10.511.5y=L10(x)這個現(xiàn)象被稱為Runge現(xiàn)象.表明高次插值的不穩(wěn)定性.實際上,很少采用高于7次的插值多項式.2.6.1分段線性插值求一個分段函數(shù)P(x),使其滿足:

P(xi)=yi(i=0,1,...,n);

在每個子區(qū)間[xi，xi+1]

上是線性函數(shù).稱滿足上述條件的函數(shù)P(x)為分段線性插值函數(shù).分別作線性插值得,在每個子區(qū)間[xi，xi+1]已知或由線性插值的誤差即得分段線性插值在區(qū)間[xi,xi+1]上的余項估計式為因此,在插值區(qū)間[a,b]上有余項2.6.2分段拋物線插值(2)在每個子區(qū)間[xi-1,xi+1]上，L(x)是次數(shù)不超過2的多項式.稱滿足上述條件的函數(shù)L(x)為分段拋物線插值函數(shù).

L(xi)=yi(i=0,1,...,n);對求一個分段函數(shù)L(x),使其滿足:即將區(qū)間[a,b]分為小區(qū)間[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)2.6.3分段三次Hermite插值已知求一個分段函數(shù)H(x),使其滿足:(2)在每個子區(qū)間[xi,xi+1]上，H(x)是次數(shù)不超過3的多項式.稱滿足上述條件的函數(shù)H(x)為分段三次Hermite插值函數(shù).或[xi，xi+1]上得在每個子區(qū)間由分段三次埃爾米特插值在區(qū)間[xi,xi+1]上的余項估計式為因此，在插值區(qū)間[a,b]上有余項例3

構造函數(shù)f(x)=lnx在1≤x≤10上的數(shù)表,應如何選取步長h,才能使利用數(shù)表進行分段插值時誤差不超過0.5×10-4。解欲使即進行分段線性插值時，應取h≤2×10-2，誤差不超過0.5×10-4。欲使即進行分段三次埃爾米特插值時,應取誤差不超過0.5×10-4。2.7.1問題的提出定義給定區(qū)間[a,b]的一個劃分a=x0<x1<…<xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,…,n),如果函數(shù)S(x)滿足：

S(xi)=yi(i=0,1,…,n);

在每個小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次數(shù)不超過3的多項式;(3)在每個內節(jié)點xi(i=1,2,...,n-1)上具有二階連續(xù)導數(shù),

則稱S(x)為關于上述劃分的一個三次多項式樣條函數(shù)，簡稱三次樣條。2.7三次樣條插值S(x)在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上是一個次數(shù)不超過3的多項式,因此需確定四個待定常數(shù),一共有n個小區(qū)間,故應確定4n個系數(shù),S(x)在n-1個內節(jié)點上具有二階連續(xù)導數(shù)，應滿足條件即有3n-3個連續(xù)條件，再加上S(x)滿足的插值條件n+1個，共計4n-2個，因此還需要2個條件才能確定S(x)，通常補充兩個邊界條件。2.7.2三彎矩方程Mi來求S(x)的方法稱為三彎矩法。為參數(shù),這種通過確定設

在[xi,xi+1]上是一次多項式,且可表示為對積分兩次并利用S(xi)=yi和S(xi+1)=yi+1定出積分常數(shù)得

對S(x)求導得所以(i=1,2,...,n-1)由得其中由公式1.邊界條件為得即從中解出Mi(i=0,1,...,n)得三次樣條S(x).從中解出Mi(i=1,2,...,n-1)得三次樣條S(x)。2、邊界條件為已知3、周期函數(shù)

M0=Mn整理得其中從中解出Mi(i=1,2,...,n),得三次樣條S(x).2.7.3三轉角方程用分段埃爾米特插值，得到S(x)在上S(x)的表達式為設為參數(shù)，這種通過確定mi

來求S(x)的方法叫三轉角法。所以同理其中：同三彎矩方程一樣，有三種條件：1、已知(6-42)由S(x)二階連續(xù)可微，即2、已知由可得由可得則方程組化為：于是有))(,,(446121--=niL即矩陣形式為：3、已知則有：則其

I型和

II型三次樣條插值函數(shù)以及導數(shù)的誤差有如下估計式設f(x)在[a，b]上有直到四階的連續(xù)導數(shù)，2024/12/23jkhh149第2章II曲線擬合

如果已知函數(shù)f(x)在若干點xi(i=1,2,…,n)處的值yi,便可根據(jù)插值原理來建立插值多項式作為f(x)的近似。但在科學實驗和生產實踐中，往往會遇到這樣一種情況，即節(jié)點上的函數(shù)值并不是很精確的，這些函數(shù)值是由實驗或觀測得到的數(shù)據(jù)，不可避免地帶有測量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無誤地通過所有的點(xi,yi),就會使曲線保留著一切測試誤差。當個別數(shù)據(jù)的誤差較大時,插值效果顯然是不理想的。此外,由實驗或觀測提供的數(shù)據(jù)個數(shù)往往很多,如果用插值法,勢必得到次數(shù)較高的插值多項式，這樣計算起來很煩瑣。2024/12/23jkhh150為此,我們希望從給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā),構造一個近似函數(shù),不要求函數(shù)完全通過所有的數(shù)據(jù)點，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢，如圖5-7所示。曲線擬合示意圖

換句話說:求一條曲線,使數(shù)據(jù)點均在離此曲線的上方或下方不遠處,所求的曲線稱為擬合曲線,它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布,又不至于出現(xiàn)局部較大的波動,更能反映被逼近函數(shù)的特性,使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來說其偏差按某種方法度量達到最小,這就是最小二乘法。2024/12/23jkhh151

2.1最小二乘原理與函數(shù)插值問題不同,曲線擬合不要求曲線通過所有已知點,而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關系。在某種意義上,曲線擬合更有實用價值。在對給出的實驗(或觀測)數(shù)據(jù)作曲線擬合時,怎樣才算擬合得最好呢？一般希望各實驗(或觀測)數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差的平方和最小,這就是最小二乘原理。兩種逼近概念:

插值:在節(jié)點處函數(shù)值相同.

擬合:在數(shù)據(jù)點處誤差平方和最小2024/12/23jkhh152函數(shù)插值是插值函數(shù)P(x)與被插函數(shù)f(x)在節(jié)點處函數(shù)值相同,即而曲線擬合函數(shù)不要求嚴格地通過所有數(shù)據(jù)點,也就是說擬合函數(shù)在xi處的偏差(亦稱殘差）

不都嚴格地等于零。但是,為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點的變化趨勢,要求按某種度量標準最小。若記向量,即要求向量的某種范數(shù)最小,如的1-范數(shù)或∞-范數(shù)即2024/12/23jkhh153或

最小。為了便于計算、分析與應用，通常要求的2-范數(shù)即為最小。這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。2024/12/23jkhh154

（1）直線擬合設已知數(shù)據(jù)點,分布大致為一條直線。作擬合直線,該直線不是通過所有的數(shù)據(jù)點,而是使偏差平方和為最小，其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差為根據(jù)最小二乘原理，應取和使有極小值，故和應滿足下列條件：2024/12/23jkhh155即得如下正規(guī)方程組

(3.1)例1設有某實驗數(shù)據(jù)如下：12341.361.371.952.2814.09416.84418.47520.963

用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)解:把表中所給數(shù)據(jù)畫在坐標紙上,將會看到數(shù)據(jù)點的分布可以用一條直線來近似地描述,設所求的

2024/12/23jkhh156擬合直線為記x1=1.36,x2=1.37,x3=1.95x4=2.28,y1=14.094,y2=16.844,y3=18.475,y4=20.963則正規(guī)方程組為

其中將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組,得解得

即得擬合直線2024/12/23jkhh15