蘇教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《1.5.1平面上兩點(diǎn)間的距離》同步測試題及答案

第第頁蘇教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《1.5.1平面上兩點(diǎn)間的距離》同步測試題及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________[分值：100分]單選題每小題5分，共40分；多選題每小題6分，共6分【基礎(chǔ)鞏固】1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，則eq\f(AC,CB)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．3D．22．點(diǎn)P(－2,5)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，線段PM的中點(diǎn)是(1,0)，那么點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為()A．41B.eq\r(41)C.eq\r(39)D．393．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D為BC邊的中點(diǎn)，則線段AD的長是()A．2eq\r(5)B．3eq\r(5)C.eq\f(5\r(5),2)D.eq\f(7\r(5),2)4．兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點(diǎn)A，B，則AB的值為()A.eq\f(\r(89),5)B.eq\f(17,5)C.eq\f(13,5)D.eq\f(11,5)5．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，當(dāng)AB取最小值時，實(shí)數(shù)a的值是()A．－eq\f(7,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,2)6．(多選)對于eq\r(x2＋2x＋5)，下列說法正確的是()A．可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(1,2)的距離B．可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1，－2)的距離C．可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1,2)的距離D．可看作點(diǎn)(x，－1)與點(diǎn)(－1,1)的距離7．(5分)過點(diǎn)A(4，a)和B(5，b)的直線和直線y＝x＋m平行，則AB＝________.8．(5分)若動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,1－x)，x∈R，則動點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小值是________．9．(10分)已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為eq\f(\r(2),4)，求a的值．10．(12分)用坐標(biāo)法證明：若三角形一邊上的中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等，則該邊所對的角是直角．【綜合運(yùn)用】11．已知x，y∈R，S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)，則S的最小值是()A．0B．2C．4D.eq\r(2)12．17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)求一點(diǎn)，使它到三角形各個頂點(diǎn)的距離之和最?。F(xiàn)已證明：在△ABC中，若三個內(nèi)角均小于120°，則當(dāng)點(diǎn)P滿足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，點(diǎn)P到△ABC三個頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)P被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上知識，已知a為平面內(nèi)任意一個向量，b和c是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，且|b|＝2，|c|＝3，則|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|的最小值是()A．3－eq\r(3)B．3＋2eq\r(3)C．2eq\r(3)－2D．2eq\r(3)＋213．(5分)已知△ABC的三頂點(diǎn)A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，則BC邊上的高AD的長度為________．14．(5分)在Rt△ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則eq\f(PA2＋PB2,PC2)＝________.【創(chuàng)新拓展】15．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有四點(diǎn)A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)，P為該平面內(nèi)的動點(diǎn)，則P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和的最小值為()A．10eq\r(2) B.eq\r(41)＋eq\r(29)C．14eq\r(3) D.eq\r(17)＋eq\r(29)16．(12分)如圖所示，已知BD是△ABC的邊AC上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：AB2＋BC2－eq\f(1,2)AC2＝2BD2.參考答案1．D[AC＝4eq\r(2)，CB＝2eq\r(2)，故eq\f(AC,CB)＝2.]2．B[設(shè)M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\f(x－2,2)＝1，eq\f(y＋5,2)＝0，解得x＝4，y＝－5.所以點(diǎn)M(4，－5)，則OM＝eq\r(42＋－52)＝eq\r(41).]3．C[由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，BC邊的中點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6)).由兩點(diǎn)間的距離公式得AD＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))2＋1－62)＝eq\f(5\r(5),2).]4．C[直線3ax－y－2＝0過定點(diǎn)A(0，－2)，直線(2a－1)x＋5ay－1＝0過定點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,5)))，由兩點(diǎn)間的距離公式，得AB＝eq\f(13,5).]5．C[∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，∴AB＝eq\r([a＋1－5]2＋[a－4－2a－1]2)＝eq\r(a－42＋a＋32)＝eq\r(2a2－2a＋25)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，∴當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，AB取得最小值．]6．BCD[eq\r(x2＋2x＋5)＝eq\r(x＋12＋4)＝eq\r(x＋12＋0±22)＝eq\r(x＋12＋－1－12)，可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1，－2)的距離，可看作點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(－1,2)的距離，可看作點(diǎn)(x，－1)與點(diǎn)(－1,1)的距離，故選項(xiàng)A不正確．]7.eq\r(2)解析由題意知kAB＝eq\f(b－a,5－4)＝b－a＝1，所以AB＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(2).8.eq\f(\r(2),2)解析由兩點(diǎn)間的距離公式得P到原點(diǎn)的距離為eq\r(x2＋1－x2)＝eq\r(2x2－2x＋1)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，∴最小值為eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).9．解由題易知a≠0，在直線ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq\f(1,a)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq\f(1,2)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，故AB的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，∵線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為eq\f(\r(2),4)，∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－0))2)＝eq\f(\r(2),4)，解得a＝±2.10．證明如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，DA＝DB＝DC，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B(a,0)，C(b，c)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))，因?yàn)镈B＝DA，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2)，即ab＝0，因?yàn)閍≠0，所以b＝0，所以C(0，c)，所以AC⊥AB，A＝eq\f(π,2)，所以若三角形一邊上的中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等，則該邊所對的角是直角．11．B[S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)可以看作是點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(－1,0)與點(diǎn)(1,0)的距離之和，數(shù)形結(jié)合(圖略)易知最小值為2.]12．B[設(shè)a＝(x，y)，b＝(2,0)，c＝(0,3)，則|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|＝eq\r(x－22＋y2)＋eq\r(x＋22＋y2)＋eq\r(x2＋y－32)，即為點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)和C(0,3)三個點(diǎn)的距離之和，易知△ABC為等腰三角形，且三個內(nèi)角均小于120°，如圖，由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可得，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上且∠APB＝120°時，P到三個頂點(diǎn)的距離之和最小，則∠APO＝60°，因?yàn)镺A＝OB＝2，則OP＝eq\f(2\r(3),3)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時，距離之和最小，最小距離之和為eq\f(4\r(3),3)＋eq\f(4\r(3),3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2\r(3),3)))＝3＋2eq\r(3).故|a－b|＋|a＋b|＋|a－c|的最小值為3＋2eq\r(3).]13.eq\f(5\r(34),2)解析由兩點(diǎn)間距離公式得AB＝eq\r(221)，BC＝eq\r(34)，AC＝eq\r(221).∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D為BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2)，\f(1,2)))，∴AD＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2)－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－8))2)＝eq\f(5\r(34),2).14．10解析以C為原點(diǎn)，AC，BC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)A(4a,0)，B(0,4b)，則D(2a,2b)，P(a，b)，所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2，PC2＝a2＋b2，于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2，即eq\f(PA2＋PB2,PC2)＝10.15．D[依題意可知，四點(diǎn)A(－1,0)，B(2,1)，C(1,5)，D(－2,2)構(gòu)成一個四邊形ABCD，因?yàn)镻A＋PC≥AC，當(dāng)且僅當(dāng)P在對角線AC上時取得等號，因?yàn)镻B＋PD≥BD，當(dāng)且僅當(dāng)P在對角線BD上時取得等號，所以PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD＝eq\r(－1－12＋0－52)＋eq\r(－2－22＋2－12)＝eq\r(29)＋eq\r(17)，當(dāng)且僅當(dāng)P為兩條對角線的交點(diǎn)時取得等號．故P