安徽省江淮十校2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省江淮十校2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得到，所以，由，得到，又，所以，得到，故選：C.2.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，所以，.故選：B3.在等差數(shù)列中，，等比數(shù)列滿足，則（）A.9 B. C.16 D.4【答案】A【解析】由條件及等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)知，則，于是由等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)可知.故選：A4.在中，已知，點O是的外心，則（）A.16 B.8 C.4 D.-8【答案】B【解析】如圖，過點O作于D，可知，則故選:5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由條件可知，整理得，即，所以，故選：C.6.函數(shù)滿足，且對任意的都有，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可知函數(shù)y=f(x)的最小正周期為，所以，因為，所以，結(jié)合，解得，所以，于是，對函數(shù)y=f(x)求導(dǎo)得，于是，所以曲線y=f(x)在點處的切線方程為，整理得，故選：D．7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】

，，

，，等號取不到，，

，

，，令，∵，∴單調(diào)遞減，且，，可得

于是

，，故選：A.8.三棱錐的底面是等邊三角形，，二面角的大小為，若三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，三棱錐外接球的半徑為R，則，解得，設(shè)的外心為，該點是棱AC的中點，設(shè)等邊的外心為，過點作平面APC的垂線，過點作平面ABC的垂線，兩垂線交于點O，即為三棱錐外接球的球心．因為二面角的大小為，所以，于是，，，因為，即，解得，即，因為，所以當(dāng)時，點P到平面ABC的距離最大，其最大距離為，所以三棱錐體積的最大值等于.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知a>0，，則的一個必要不充分條件是（）A.且 B. C. D.【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)且時，成立，反之不成立，所以“且”是“”的充分不必要條件，A錯誤；對于B，因為，所以，必要性成立，反過來，當(dāng)，時，滿足，但，不符合，所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；對于C，因為，所以，充分性成立，反過來，當(dāng)，時，滿足，此時，所以“”是“”的充分不必要條件，C錯誤；對于D，當(dāng)，時，滿足，但，充分性不成立，又，因為，所以，必要性成立，于是D正確．故選：BD.10.在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱，的中點，點G在底面內(nèi)運動(含邊界)，且平面，則（）A.若，則平面B.點G到直線的距離為C.若，則D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】分別取棱，，，的中點M，N，P，Q，∵點E，F(xiàn)分別為棱，的中點，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，同理，∵平面，∴平面，根據(jù)條件平面，可得平面即為平面，于是點G的軌跡即為線段對于A，若，則點G在上，又點G的軌跡即為線段，則點G為棱的中點P，連，∵，∴為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，∵點F，Q分別為棱，的中點，∴，∴正六邊形的邊長為，設(shè)正六邊形的中心，則均是邊長為的正三角形，∵,∴，即與間的距離，因為，所以點G到的距離即為與間的距離，所以點G到的距離為，所以B錯誤；對于C，連，交點為，∵，則點G在上，又點G的軌跡即為線段，則點G為與的交點，∵分別為的中點，則，此時，于是滿足，所以C正確；對于D，設(shè)平面，根據(jù)對稱性可知，為的中點，∴，∵平面，∴為直線與平面所成的角，又，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確，故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足：對，，且，函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.【答案】ABD【解析】定義在上的函數(shù)滿足：對，，對于A，令，則，，A正確；對于C，令，則，于是，則，因此不是偶函數(shù)，C錯誤；對于B，由函數(shù)為偶函數(shù)，得，即，于是，即，，因此函數(shù)的周期為，，B正確；對于D，由，得，因此，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，滿足，則__________．【答案】【解析】由題意知，解得.13.記Sn為數(shù)列的前n項和．已知，，則數(shù)列的通項公式是__________．【答案】【解析】，①，當(dāng)時，②，①-②得，，，，，是等差數(shù)列，又，14.已知，對任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是__________．【答案】【解析】由條件得，構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時，f'x<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，f'x>0因為，，所以，，根據(jù)，得到，分離參數(shù)得對恒成立，只需構(gòu)造函數(shù)，，對其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，于是，因此k的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在斜中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，（1）求的值；（2）點D是邊AB的中點，連接CD，且，求的面積．解：（1）由正弦定理可知，所以，于是，因為是斜三角形，所以，，于是，因為，所以或，因為，所以，因此，因為，于是；（2）由條件知，兩邊同時平方得，即，根據(jù)正弦定理得，即，代入，得，解得，，又，所以的面積為16.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.解：（1）由條件，知，，，，累加，得，所以，又，所以，又符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1），知，設(shè)，則，兩邊同乘以2，得，兩式相減，得，所以，即.17.如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，且，，，連接（1）求證：（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值為時，求棱的長．（1）證明：過點E在平面內(nèi)作交棱于點，連∵，∴，又∵，∴，于是，又∵，∴∽，∴，∵，于是，∴，∵平面，，∴平面，∴，又∵，且、平面，∴平面，又∵平面，∴（2）解：以點A為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，則，，，∴，，，設(shè)平面BPC的法向量為，則，即，取，于是，設(shè)CE與平面BPC所成角為，則，化簡整理得，解得或，所以棱的長為：或18.已知函數(shù)叫做雙曲正弦函數(shù)，函數(shù)叫做雙曲余弦函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）類比等式，請?zhí)骄颗c，之間的等量關(guān)系，并給出證明過程；（2）求函數(shù)的零點；（3）解關(guān)于的不等式：解：（1）由條件類比得到，證明如下：因為，，所以；（2）因為，令，則，即，即，解得或，又，所以，于是，整理得，于是或，解得或，所以函數(shù)hx的零點為，；（3）因為，，所以原不等式可化為，于是，整理得，也即當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，令可得或，且，原不等式的解集為；當(dāng)時，令可得或，且，原不等式的解集為綜上所述不等式的解集是：當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.19.已知函數(shù)（1）當(dāng)m>0時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：（3）已知，且，求證：解：（1）函數(shù)的定義域為，對函數(shù)求導(dǎo)得，當(dāng)，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，令，得，于是函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2）由（1