北京市朝陽區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共50分）一?選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若直線l的斜率為，則l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線l的傾斜角為，因為直線的斜率是，可得，又因為，所以，即直線的傾斜角為.故選：C2.已知等差數(shù)列，其前項和為，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.27【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故選：C3.已知雙曲線的實軸長為，其左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由雙曲線知，焦點在軸上，設(shè)左焦點，其中一條漸近線方程為，即.由實軸長為得，解得；由左焦點到漸近線的距離,則雙曲線漸近線方程為.故選：A.4.過拋物線的焦點作傾斜角為的直線與拋物線交于兩點，則（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】拋物線的焦點，直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，，則，.故選：D.5.在正方體中，分別為和的中點，則異面直線與.所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)正方體棱長為，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則，由異面直線與.所成角為銳角，則余弦值面直線與.所成角的余弦值為.故選：B.6.若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為方程表示橢圓，則，解得，則實數(shù)的取值范圍是.故選：B.7.已知等比數(shù)列各項都為正數(shù)，前項和為，則“是遞增數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】等比數(shù)列各項都為正數(shù)，設(shè)公比為，則，①當(dāng)時，是遞增數(shù)列，，由，則,不滿足.所以是遞增數(shù)列.②當(dāng)時，則，此時滿足，為常數(shù)列，不是遞增數(shù)列.所以是遞增數(shù)列.故“是遞增數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.8.為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，甲?乙兩個工廠進行了污水排放治理，已知某月兩廠污水的排放量與時間的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是（）A.該月內(nèi)，甲乙兩廠中甲廠污水排放量減少得更多B.該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少速度是先慢后快C.在接近時，甲乙兩廠中乙廠污水排放量減少得更快D.該月內(nèi)存在某一時刻，甲?乙兩廠污水排放量減少的速度相同【答案】D【解析】選項A，設(shè)，設(shè)甲工廠的污水排放量減少為，乙工廠的污水排放量減少為，結(jié)合圖像可知：，所以該月內(nèi)乙工廠的污水排放量減少得更多，故A錯誤；選項B，作出如圖所示表示甲廠曲線的條切線可知，直線的傾斜程度小于的傾斜程度，直線的傾斜程度大于的傾斜程度，而這說明該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度并非先慢后快，從圖象的變化也可以看出，甲廠污水排放量減少的速度先快再慢后快，故B錯誤；選項C，設(shè)為接近的時刻且，從時刻到時刻，污水排放量平均變化率，由導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義可知，在接近時，在接近時污水排放量減少快慢，可以用在處切線的斜率的大小比較近似代替.設(shè)甲工廠在處切線的斜率為，乙工廠在處切線的斜率為，結(jié)合圖象可知，所以在接近時，甲工廠的污水排放量減少得更快，故C錯誤；選項D，如圖，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在時刻，兩曲線切線的斜率相等，即甲?乙兩廠污水排放量的瞬時變化率相同，所以該月內(nèi)存在某一時刻，甲?乙兩廠污水排放量減少的速度相同.故D正確.故選：D.9.是圓上兩點,,若在圓上存在點恰為線段的中點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，圓心，，由是弦的中點，且，則由圓的幾何性質(zhì)，，所以，故點在以為圓心，以為半徑的圓上.又在圓上存在點滿足題設(shè)，且其圓心，半徑，則由兩圓有公共點，得，即，解得，或.故選：C.10.已知數(shù)列的通項公式.設(shè)，，若，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】由題意知，，則，由得，則，解得.故選：C.第二部分（非選擇題共100分）二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.兩條直線與之間的距離是__________.【答案】【解析】由兩條平行線的距離公式可得：.故答案為：.12.已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】由，則，所以.故答案：.13.以為直徑端點圓的方程是__________.【答案】【解析】是直徑端點，由兩點間距離公式得直徑長為，故半徑為，且設(shè)圓心為，由中點坐標公式得圓心，故圓的方程為.故答案為：14.在空間直角坐標系中，已知點，若點在平面內(nèi)，寫出一個符合題意的點的坐標__________.【答案】（答案不唯一）【解析】點在平面內(nèi)，所以四點共面，則，所以，所以，則，所以滿足即可令，滿足，所以符合題意的點的坐標可以為.故答案為：（答案不唯一）.15.某學(xué)校球類社團組織學(xué)生進行單淘汰制的乒乓球比賽（負者不再比賽），如果報名人數(shù)是2的正整數(shù)次冪，那么每2人編為一組進行比賽，逐輪淘汰.以2022年世界杯足球賽為例，共有16支隊進入單淘汰制比賽階段，需要四輪，場比賽決出冠軍.如果報名人數(shù)不是2的正整數(shù)次冪，則規(guī)定在第一輪比賽中安排輪空（輪空不計入場數(shù)），使得第二輪比賽人數(shù)為2的最大正整數(shù)次冪.（如20人參加單淘汰制比賽，第一輪有12人輪空，其余8人進行4場比賽，淘汰4人，使得第二輪比賽人數(shù)為16.）最終有120名同學(xué)參加校乒乓球賽，則直到?jīng)Q出冠軍共需__________輪；決出冠軍的比賽總場數(shù)是__________.【答案】7;119【解析】因為，所以第二輪需要64名同學(xué)參加比賽，則第一輪淘汰人，即第一輪有8人輪空，有112人進行淘汰賽，共進行了56場比賽，則第二輪有64名同學(xué)參加比賽，所以共進行了32場比賽，淘汰了32人，則第三輪有32名同學(xué)比賽，則進行了16場比賽，第四輪有16名同學(xué)參加比賽，共進行了8場比賽，第五輪有8名同學(xué)參加比賽，共進行了4場比賽，第六輪有4名同學(xué)參加比賽，共進行了2場比賽，第七輪有2名同學(xué)參加比賽，共進行了1場比賽，故直到?jīng)Q出冠軍共需7輪比賽，共進行了場比賽，故答案為：7；119.16.如圖，在長方體中，為棱的中點，點是側(cè)面上的動點，滿足，給出下列四個結(jié)論：①動點的軌跡是一段圓??；②動點的軌跡長度為；③動點的軌跡與線段有且只有一個公共點；④三棱錐的體積的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【解析】由長方體性質(zhì)可知：都與平面垂直，而在平面內(nèi)，所以，由，可知，即，故，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因為點是側(cè)面上的動點，故設(shè)，故所求點滿足，化簡得，則動點的軌跡為此圓在矩形內(nèi)的部分，是一段圓弧，故①正確；記圓心為，當(dāng)時，由，得，顯然動點的軌跡與線段沒有公共點，故③錯誤；當(dāng)時，由，得或（舍去），當(dāng)時，由，得或（舍去），則，，易得，又，則，所以動點的軌跡長度為，故②正確；顯然，動點到平面的最大距離為點到平面的距離，即，所以三棱錐的體積的最大值為，故④正確.故答案為：①②④.三?解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間.解：（1）由，的定義域為.則，所以，又，所以在點處的切線方程為.（2），由，得，或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.18.已知為數(shù)列的前項和，滿足，數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）當(dāng)時，，得，當(dāng)時，①，由已知②，②①得，，所以，由，得所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，因為，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，解得.所以.（2）設(shè)，則，設(shè)的前項和為，則.19.如圖，三棱錐中，，平面平面，點是棱的中點，再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.條件①：；條件②：直線與平面所成角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.解：（1）選擇條件①.取的中點，連接.由于是等邊三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，而平面，故，即，所以，又，故，則，即.因為，平面，所以平面，平面，所以.選擇條件②.取的中點，連接.由于是等邊三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，所以在平面內(nèi)的射影是，所以是直線與平面所成角.所以.由平面，而平面，故，即，所以，又，故，則，即.因為，平面，所以平面，平面，所以.（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，于是，由點是棱的中點，所以，于是，又，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，所以，又是平面的一個法向量，設(shè)二面角的大小為，由題可知為銳角，所以.20.已知橢圓的一個頂點坐標為，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點作斜率為的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線分別交直線軸，軸于點，求的值.解：（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）由（1）橢圓的標準方程為，可得，可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，易知，設(shè)，所以，，所以，代入直線的方程得，所以，所以直線的方程為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，所以，，所以..21.設(shè)正整數(shù)，若由實數(shù)組成的集合滿足如下性質(zhì)，則稱為集合：對中任意四個不同的元素，均有.（1）判斷集合和是否為集合，說明理由；（2）若集合為集合，求中大于1的元素的可能個數(shù)；（3）若集合為集合，求證：中元素不能全為正實數(shù).解：（1）集合是集合，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；集合不是集合，取，則，不滿足題中性質(zhì).（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.不妨設(shè)，①若，因為，從而，與矛盾；②若，因為，故，所以.經(jīng)驗證，此時是集合，元素大于1的個數(shù)為；③若，因為，所以與矛盾；④若，因為，故，所以.經(jīng)驗證，此時是集合，元素大于1的個數(shù)