黑龍江省龍東聯(lián)盟2025屆高三上學期11月月考數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東聯(lián)盟2025屆高三上學期11月月考數(shù)學試題一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.若集合,則()A. B.C. D.【答案】D【解析】,故選:D.2.“”是“”的()A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由,可得成立,即充分性成立;反正:若,可得或,即必要性不成立,所以是的充分不必要條件.故選:A.3.已知函數(shù),則()A. B.-2 C. D.【答案】B【解析】由題意可得,故B正確.故選:B.4.如圖,圓柱的軸截面ABCD是正方形,點是底面圓周上異于的一點,若,當三棱錐體積最大時,則點到平面的距離()A.2 B. C. D.【答案】D【解析】法一:因為三棱錐的高即為圓柱的高,即,當三棱錐體積最大時,即直角的面積最大,由于,所以點是弧AB的中點時,即是等腰直角三角形,此時,,連接交于點,所以點為的中點,所以點到平面的距離等于點到平面的距離,設點到平面的距離為,因為平面,平面,所以,又,,平面,所以平面,由于平面,所以,,所以,所以,解得.法二:因為三棱錐的高即為圓柱的高,即,當三棱錐體積最大時,即直角的面積最大,由于,所以點是弧AB的中點時,即是等腰直角三角形,所以,,連接交于點,所以點為的中點,所以點到平面的距離等于點到平面的距離,做,且交于點,因為平面,平面,所以,又,,平面,所以平面,平面,所以,又,平面,所以平面,因此點到平面的距離為點到直線DE的距離,即.法三:因為三棱錐的高即為圓柱的高,即,當三棱錐體積最大時,即直角的面積最大,由于,所以點是弧AB的中點時,即是等腰直角三角形,可得,,設為平面的一個法向量,則,即,令,則,所以,所以點到平面的距離為.故選:D.5.已知平面向量和滿足,在上的投影向量為,則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】A【解析】在上的投影向量為.在上的投影向量為,故選:A.6.已知首項為1的等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且成等差數(shù)列,若恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由等比數(shù)列的各項均為正數(shù),可知公比.成等差數(shù)列,.,,即,解得(舍),或,則的通項公式,.構造數(shù)列bn,設.當時,;當時,;當時,,故.下面證明當時,.構造函數(shù),則,且在單調遞增;則,故在上單調遞增,則,所以當,成立,即,故當時,,則,,則當時,.綜上可知,數(shù)列bn的最大項為,即.要使恒成立,即恒成立,則.故選:C7.當時,曲線與的交點個數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】在同一個坐標系下,作出曲線與在內的圖像,由圖像可知,共有4個交點.故選:B.8.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的.它由八個正三角形和六個正方形構成(如圖所示),點滿足,則直線與平面所成角的正弦值()A.為定值 B.存在最大值,且最大值為1C.為定值1 D.存在最小值,且最小值為【答案】A【解析】,即在線段(不包括點).如圖,將該半正多面體補成正方體,則平面平面,因此直線與平面所成角等于直線與平面所成角.在正四面體中,設正四面體的棱長為2,作平面,垂足為,連接,則即為直線與平面所成角.易求,所以,所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.故選:A.二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小給出的選項中,有多項符合目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.設復數(shù),則下列結論正確的是()A. B.C.若,則或 D.若,則【答案】ABC【解析】A選項,方法一:,,又,方法二:設,則,故,又,故,故A正確;B選項,,,,∴,故B正確;C選項,方法一:,,,將①式兩邊乘以得,代入②式得或,或或;方法二:設,且不恒等于0,,即或,故C正確;D選項,當時,,但虛數(shù)與不能比較大小,故D不正確.故選:ABC10.已知,則a,b滿足()A. B.C. D.【答案】AD【解析】A選項,由得,,故A正確;B選項,由得,,故B錯誤;C選項,,故C錯誤;D選項,由基本不等式得:,故D正確.故選:AD11.已知函數(shù)的定義域為,且,若,則()A. B.C.函數(shù)為減函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】因為,令,得,,,故A正確;令,,得,,,,故B正確;令得,,,所以,則函數(shù)為增函數(shù),且函數(shù)為奇函數(shù),故C錯誤,D正確;故選:ABD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?,最上面一層鋪了瓦?2塊,往下每一層多鋪2塊,斜面上鋪了瓦片19層,共鋪瓦片____________塊.【答案】1900【解析】瓦片塊數(shù)可以看作首項為82,公差2的等差數(shù)列,則.故答案為:1900.13.已知函數(shù)在處有極大值,則的值為____________.【答案】【解析】,令,解得;令,解得;故在上單調遞增;在上單調遞減,因此在處有極大值,即.14.如圖,已知是半徑為1,圓心角為的扇形.是扇形弧上的動點,是扇形的內接平行四邊形,則四邊形ABCD的面積最大值為____________.【答案】【解析】如圖:作于點,作于點,則矩形EFCD的面積等于平行四邊形ABCD的面積,設,則,在Rt中,,所以,所以矩形EFCD的面積為因為,所以,當即時,矩形EFCD的面積最大為,所以平行四邊形ABCD的面積最大值為.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式(2)若,設數(shù)列bn的前項和為,求.解:(1)設數(shù)列的公差為,由得,,則(2),則,又是首項為3,公比為9的等比數(shù)列,則.16.已知分別為三個內角的對邊,且(1)求;(2)若,求的周長.解:(1)在中,,由正弦定理得,,,且,即.(2)且,.由正弦定理得,的周長為.17.已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)在處切線;(2)當時,若的極小值小于0,求的取值范圍解:(1)當時,,所以,所以,所以函數(shù)在處的切線為,即;(2)的定義域為,且,當時,令,則,所以單調遞增;令,則,所以單調遞減.故當時,取極小值,所以.設,則,所以是增函數(shù).因為,所以時,.綜上所述,的取值范圍是.18.如圖,多面體中,四邊形與四邊形均為直角梯形,,且點四點共面.(1)證明:(i)平面平面;(ii)多面體是三棱臺;(2)若動點在內部及邊界上運動,且,求異面直線與所成角的最小值.解:(1)(i)四邊形ABED與四邊形ACFD均為直角梯形,,故,因為平面平面,所以平面,同理可得平面,因為平面,所以平面平面DEF;(ii)在梯形中,延長交于點,平面平面BEFC,同理平面ADFC,又平面平面故直線EB,F(xiàn)C,DA相交于點,又由(i)可知:平面平面DEF,故多面體ABCDEF是三棱臺;(2)∵四邊形ABED與四邊形ACFD均為直角梯形,,,又平面DEF,又動點在內部及邊界上運動,且,是等腰直角三角形,點軌跡是以點為圓心,2為半徑的圓(在內部及邊界上)如圖以DE,DF,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設,則,,設異面直線AP與FB所成角為,則,設(取為銳角),則,且為銳角,,當,即時,異面直線AP與FB所成角的最小值.19.若為上任意個實數(shù),滿足,當且僅當時等號成立,則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”.也可設可導函數(shù)在上的導函數(shù)為在上的導函數(shù)為,當時,函數(shù)在上的為“凸函數(shù)”.若為上任意個實數(shù),滿足,當且僅當時等號成立,則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設可導函數(shù)在上的導函數(shù)為在上的導函數(shù)為,當時,函數(shù)在上的為“凹函數(shù)”.這里關于凹凸函數(shù)的不等式即為著名的

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