遼寧省丹東市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】依題意，，而，則,所以.故選：D.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意有.故選：A.3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐底面的半徑為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線為，則，解得，所以側(cè)面展開圖扇形的弧長為，有，解得，即圓錐的底面圓半徑為1.故選：A4.已知對(duì)數(shù)函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為且，由，得，解得，所以對(duì)數(shù)函數(shù)解析式為.所以，得或，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得.故原不等式的解集為.故選：B5.有6個(gè)座位連成一排，安排3個(gè)人就坐，恰有兩個(gè)空位相鄰的坐法為（）A.48種 B.72種 C.96種 D.108種【答案】B【解析】根據(jù)題意，有6個(gè)座位連成一排，安排3個(gè)人就座，有3個(gè)空座位，把這三個(gè)空座位分成兩組，2個(gè)相鄰的，1個(gè)單獨(dú)放置的．將三人連同座位全排列，共有種情況，再把兩組不同的空座位插入到三個(gè)人產(chǎn)生的四個(gè)空位里，有種，所以不同坐法有種．故選：B6.已知圓過，，三點(diǎn)，則（）A. B. C.5 D.【答案】C【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A過，，三點(diǎn)，所以，解得，所以，故，故選:C.7.已知銳角，滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，.故選:A.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令可得，則，故A錯(cuò)誤令，則，所以，故B錯(cuò)誤，令，則，所以，令，則，則，，，D錯(cuò)誤，令，則，則，令，則，則，故C正確，故選：C二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.有一個(gè)零點(diǎn)B.的極小值為C.的對(duì)稱中心為D.直線是曲線的切線【答案】ACD【解析】A：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；B：由選項(xiàng)A的分析可知，函數(shù)的極小值為，故B錯(cuò)誤；C：令，定義域?yàn)镽，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖象向下平移1個(gè)長度單位，得函數(shù)的圖象，所以的對(duì)稱中心為，故C正確；D：由選項(xiàng)A知，令，又，所以切線方程為，即，所以直線是曲線在點(diǎn)處的切線，故D正確.故選：ACD10.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上遞增 D.關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BCD【解析】A：將函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得，再向左平移個(gè)單位長度，得，所以函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A知，則，故B正確；C：由，，得，令，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；D：易知，又，所以直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故D正確.故選：BCD11.已知直三棱柱的體積為，，，，O為的中點(diǎn)，則（）A. B.點(diǎn)A到平面的距離為C.直三棱柱的外接球的半徑為 D.直線與所成角的余弦值為【答案】AC【解析】設(shè)，由，得，所以，解得，即，故A正確；B：因?yàn)槊?，所以面，由面，?設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，由等體積法可得，，即，又，，所以，即點(diǎn)A到平面的距離為，故B錯(cuò)誤；C：由題意，易知為直三棱柱的外接球的球心，設(shè)半徑為R，則，所以，故C正確；D：如圖，取的中點(diǎn)D，連接OD、AD，則且，所以（或其補(bǔ)角）為直線AO與直線BC所成角，在中，，由余弦定理，得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線：的焦點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，直線與C交于N，若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則（）A.直線的斜率為 B.C.線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 D.【答案】ACD【解析】由題意若直線與的傾斜角互補(bǔ)，其中，由題意設(shè)中點(diǎn)為，則垂直平分，所以，又A第一象限，所以，所以，即，所以直線（）的斜率為，故A正確；由A選項(xiàng)分析可知，直線（）的斜率為，所以直線（、）的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得，所以，所以，故B錯(cuò)誤，由A選項(xiàng)分析，又直線與的傾斜角互補(bǔ)，，所以由直線的斜率為，所以直線的方程為，將其代入拋物線方程得，，由，得線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故C正確；由，，得，，所以，又，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.若隨機(jī)變量，且，則__________.【答案】0.8【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，所以，所以.故答案為：0.814.設(shè)單位向量，的夾角為60°，則___________.【答案】2【解析】,故答案為：215.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則___________.【答案】【解析】由題意設(shè)等比數(shù)列首先公比分別為（否則與矛盾），所以，，兩式相比得，解得，所以.故答案為：.16.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在上，點(diǎn)B在y軸上，，，則C的離心率為_________.【答案】【解析】令橢圓C的半焦距為c，設(shè)，則，由點(diǎn)B在y軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以C的離心率為.故答案為：.四、解答題17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）結(jié)合題意：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以①②得，即，所以，當(dāng)時(shí)，上式也成立.故的通項(xiàng)公式.（2）記，由（1）問所以，即，所以，所以③④得即，整理得：.18.記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，D是邊上的點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由可得,由于，所以，因此（2）由，可得，由余弦定理可得,即，化簡可得，又，，代入可得，化簡得，進(jìn)而，解得.19.如圖，在三棱錐中，，，，，點(diǎn)M，N分別為，的重心.（1）求證：面；（2）若平面與平面所成的角為45°，且平面平面，求三棱錐的體積.（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是的重心，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，如圖，則，在中，，所以，故，又面，面，所以面；（2）解：由題意知，，，取BC中點(diǎn)O，取AC的中點(diǎn)E，連接OP，OE，則，由面面，面面，面，得面，又面，所以，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，得，所以，易知為面的一個(gè)法向量，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，故，由，解得.所以，即三棱錐的體積為.20.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的文化瑰寶，它源遠(yuǎn)流長，某地區(qū)舉行中國象棋比賽，先進(jìn)行小組賽，每三人一組，采用單循環(huán)賽（任意兩人之間只賽一場），每場比賽勝者積3分，負(fù)者積0分，平局各1分.根據(jù)積分排名晉級(jí)淘汰賽，若出現(xiàn)積分相同的情況，則再進(jìn)行同分加賽，直到排出小組1，2，3名為止，已知甲、乙、丙三人分在同一個(gè)小組，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲、乙對(duì)局時(shí)，甲勝概率為，平局概率為；甲、丙對(duì)局時(shí)，甲勝概率為，平局概率為；乙、丙對(duì)局時(shí)，乙勝概率為，平局概率為，各場比賽相互獨(dú)立.（1）甲乙丙單循環(huán)賽分出勝負(fù)的局?jǐn)?shù)為，求；（2）甲乙丙單循環(huán)賽結(jié)束，乙丙同積4分，設(shè)加賽次后乙獲得小組第一名的概率為，證明：.（1）解：單循環(huán)賽共賽3場，故X可能取值為0,1,2,3，則，，所以；（2）證明：當(dāng)乙丙同積4分式，說明乙丙各勝1場，各平局1場，而甲負(fù)2場得0分.若乙丙加賽1場后乙勝，此時(shí)乙獲得小組第一的概率為；若乙丙加賽2場后乙勝，說明加賽的第1場平局，第2場乙勝，此時(shí)；若乙丙加賽3場后乙勝，說明加賽的前2場平局，第3場乙勝，此時(shí)；若乙丙加賽4場后乙勝，說明加賽的前3場平局，第4場乙勝，此時(shí)；若乙丙加賽n場后乙勝，說明加賽的前場平局，第n場乙勝，此時(shí).所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，即證.21.已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線、與軸的交點(diǎn)分別為、，求證：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，又因?yàn)?，則，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，直線與雙曲線相切，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可知，，解得，由韋達(dá)定理可得，，直線的方程為，在直線的方程中，令，得，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，因?yàn)?，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).22.已知定義在上的函數(shù)和.（1）求證：；（2）設(shè)在存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：記（），所以，因此在上單調(diào)遞減，故，故，（2）解：,則，由于在存在極值點(diǎn)，所以有