遼寧省點(diǎn)石聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省點(diǎn)石聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.2,3 C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C2.已知命題，命題，則（）A.命題和命題都是真命題B.命題的否定和命題都是真命題C.命題的否定和命題都是真命題D.命題的否定和命題的否定都是真命題【答案】D【解析】對(duì)于命題，當(dāng)或時(shí)，，故命題是假命題，命題否定為真命題；對(duì)于命題，因?yàn)椋悦}為假命題，命題的否定為真命題；綜上可得：命題的否定和命題的否定都是真命題，故選：D3.函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】定義域?yàn)?，，故該函?shù)為偶函數(shù)，故可排除B、D，當(dāng)時(shí)，有，故可排除A.故選：C.4.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】由，得或，則A錯(cuò)誤．由，得或相交，則B錯(cuò)誤．由，得或，則C錯(cuò)誤．由，得，則D正確．故選：D5.已知向量，，且，則向量與的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，得，由，得，解得，則，則，，，因此，而，所以.故選：D6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題.今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文如下：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還的粟(單位：升)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】5斗＝50升.設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還粟的量分別為a1，a2，a3，由題意可知a1，a2，a3構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，且S3＝50，則＝50，解得a1＝，所以馬主人應(yīng)償還粟的量為a2＝2a1＝，故選：D.7.已知正數(shù)滿足，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則；令函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而，，則；令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，則，所以的大小關(guān)系為.故選：D8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）A.2024 B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，進(jìn)而可得：又，所以，即，所以函數(shù)的周期為4，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】依題意是的真子集，則可以是，或.當(dāng)時(shí)，易得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得.故選：BCD.10.已知函數(shù)，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）A.的圖像關(guān)于軸對(duì)稱B.不是的一個(gè)周期C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】，fx定義域是全體實(shí)數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，A正確；，，所以不是的一個(gè)周期，B正確；，，，C錯(cuò)；時(shí)，，又，則，時(shí)，，又，所以，綜上，時(shí)，，D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.是函數(shù)的極大值點(diǎn)C.既無最大值，也無最小值 D.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】由題意得，所以，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以x=1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故B正確;對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又,的大致圖象如圖所示，的值域?yàn)?所以有最小值，無最大值，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以,所以在上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x<2時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,又，當(dāng)時(shí)，.結(jié)合的大致圖象（如上圖），在有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列其前項(xiàng)和為，則______.【答案】5000【解析】由題意.故答案：5000.13.如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且//平面，則與平面所成角的正切值的最大值是_________.【答案】【解析】設(shè)分別為邊上的中點(diǎn),則四點(diǎn)共面，且平面平面，又面，落在線段上，是與平面所成的角，，設(shè)的中點(diǎn)為,則當(dāng)與重合時(shí)最小，此時(shí)與平面所成角的正切值有最大值為，故答案為.14.已知曲線與有公共切線，則實(shí)數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】設(shè)曲線與的切點(diǎn)分別為，，因?yàn)?，，則兩切線斜率，，所以，，所以，所以，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C的大?。?）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．解：（1）由正弦定理可得：,,,,,.（2）由三角形面積可知：,，由余弦定理可知：,解得：，所以三角形的周長(zhǎng)為：.16.某運(yùn)輸公司今年初用49萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)大型運(yùn)輸車用于運(yùn)輸.若該公司預(yù)計(jì)從第1年到第年花在該臺(tái)運(yùn)輸車上的維護(hù)費(fèi)用總計(jì)為萬元，該車每年運(yùn)輸收入為25萬元.（1）該車運(yùn)輸幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值）（2）若該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以17萬元的價(jià)格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出.哪一種方案較為合算？請(qǐng)說明理由.解：（1）由題意可得，即，解得，，該車運(yùn)輸3年開始盈利.；（2）該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以17萬元的價(jià)格賣出，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，方案①最后的利潤(rùn)為：（萬；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出，，時(shí)，利潤(rùn)最大，方案②的利潤(rùn)為（萬，兩個(gè)方案的利潤(rùn)都是59萬，按照時(shí)間成本來看，第一個(gè)方案更好，因?yàn)橛脮r(shí)更短，方案①較為合算.17.已知向量，，函數(shù).（1）若，求；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.（3）若將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象，求的解集.解：（1）因?yàn)?，，，則，顯然，所以，則；（2），，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）由（2）知，結(jié)合題意，得，，即，即，所以，，即的解集為，.18.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．（1）證明：平面ABC；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、．因?yàn)椋?，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因?yàn)椋云矫鍭BC.（2）解：法一：因?yàn)?，且，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為m=x1,y1令，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,y2令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角余弦值為.法二：將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體．連接，過點(diǎn)C作，垂足為P，再過P作，垂足為Q，連接CQ，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)?，由于BD，平面，且，所以平面，則為直角三角形，由于平面，所以，因?yàn)?，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因?yàn)槠矫鍯PQ，所以，則∠CQP為平面與平面的夾角或補(bǔ)角，在中，由等面積法可得,因?yàn)椋?，因此平面與平面夾角的余弦值為.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)；時(shí)；綜上，時(shí)，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；時(shí)，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)