遼寧省名校聯盟2024-2025學年高一上學期12月月考數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯盟2024-2025學年高一上學期12月月考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，故，A錯誤；由于，故，，所以B正確，C錯誤；，則不是A的子集，D錯誤.故選：B.2.下列函數中是奇函數，且在定義域內單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A項，的定義域為，在，上單調遞減，但不能說在定義域內單調遞減，故A項錯誤；對于B項，的定義域為，且，所以不是奇函數，故B項錯誤；對于C項，的定義域為，故函數為非奇非偶函數，故C項錯誤；對于D項，的定義域為，且，所以為奇函數，又在上單調遞減，故D項正確．故選：D．3.已知某種污染物的濃度（單位：摩爾/升）與時間（單位：天）的關系滿足指數裺型，其中是初始濃度（即時該污染物的濃度），是常數，第天（即）測得該污染物的濃度為摩爾/升，第天測得該污染物的濃度為摩爾/升，若第天測得該污染物的濃度變?yōu)?，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得則，解得．令，即，所以，所以，解得．故選：B.4.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由解析式，知的定義域為，，所以奇函數，當時，，，則，所以，在上，結合各項函數圖象，知：C選項滿足要求.故選：C.5.已知函數為偶函數，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】若函數有意義，則，當時，不等式解集為，即函數定義域為，又函數為偶函數，則，解得；當時，不等式的解集為，即函數定義域為，此時函數不是偶函數，舍；當時，不等式的解集為，即函數的定義域為，又函數為偶函數，則，解得，不滿足，舍；當時，不等式的解集為，舍；當時，不等式的解集為，即函數的定義域為，又函數為偶函數，則，解得，不滿足，舍；綜上所述，此時函數，設，則，即函數為奇函數，所以若使為偶函數，則需函數為奇函數，即，即，解得，綜上所述，滿足，即為偶函數，綜上所述，.故選：D.6.已知，且函數在上有最小值，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，；當時，，若時，，且，∴函數在上有最小值，當時，，此時，顯然函數在上沒有有最小值，最小值無限趨近于零；綜上：a的取值范圍為.故選：A.7.已知為偶函數，若對任意，，總有成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，即，也即，當時，，當時，，所以函數在單調遞增，又因為為偶函數，所以的圖象關于對稱，所以在單調遞減，且，所以由得解得.故選：A.8.已知函數，若關于的方程有8個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數定義域為，，所以為偶函數，當時，令，則可作出的圖象：關于的方程有8個不同的實數根，方程在區(qū)間內有兩個不相等的實數根.令，則..故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，假命題為（）A.命題“，”的否定是“，”B.與是同一個函數C.函數的增區(qū)間為D.函數的最小值是2【答案】ACD【解析】對于A選項，命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；對于B選項，由，解得，故的定義域為，由，解得，故的定義域為，又，故B正確；對于C選項，由，解得或，其中在上單調遞增，在上單調遞減，又在上單調遞增，由復合函數單調性可知，的增區(qū)間為，故C錯誤；對于D選項，因為，所以，當且僅當時等號成立，無實數解，所以，故D錯誤.故選：ACD.10.若，，且，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】令，則由一次函數知，在上單調遞增，由對數函數知，在上單調遞增，所以在上單調遞增，由，得，即，所以，故A正確；由A知，，又，，，所以，因為在上單調遞減，所以，故B正確，由B知，，令，，，此時，故C錯誤；由B知，，令，，，此時，故D錯誤.故選：AB.11.某數學興趣小組對函數進行研究，得出如下結論，其中正確的有（）A.B.，都有C.的值域為D.，，都有【答案】ABD【解析】對于A：，A正確；對于B：當時，，因為單調遞減，所以單調遞減，且，，當時，，因為單調遞減，所以單調遞減，且，所以，則在R上單調遞減，故B正確；對于C：當時，，當時，，綜上的值域為，故C不正確；對于D：當，時，，僅當等號成立，故，，都有，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則___________.【答案】【解析】，，所以.13.甲說：已知是R上的減函數，乙說：存在，使得關于的不等式在時成立，若甲、乙兩人說的話都不對，則的取值范圍是___________．【答案】或【解析】若甲對，則，解得．若乙對，由存在，使得關于的不等式在時成立．可得，，因在內單調遞減，在內單調遞增，且，可知在內的最大值為，可得，解得．若甲說的話不對，則或，若乙說的話不對，則，若甲、乙說的話都不對，則或，故的取值范圍是或.14.已知函數（且）只有一個零點，則實數的取值范圍為______．【答案】或或【解析】∵函數（a>0且）只有一個零點，∴，∴，當時，方程有唯一根2，適合題意，當時，x=2或，顯然符合題意的零點，∴當時，，當時，，即，綜上：實數的取值范圍為或或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，全集，集合，函數的定義域為.（1）當時，求；（2）若是成立的充分不必要條件，求a的取值范圍.解：（1），即.由，得，解得，即.當時，.∴.（2）由是的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集.所以解得，經檢驗符合集合是集合的真子集，所以a的取值范圍是.16.已知函數，其中且．（1）若函數的圖象過點，求不等式的解集；（2）若存在實數，使得，求的取值范圍.解：（1），則，，，，，定義域為0,+∞，要解不等式，則，．又在定義域內是嚴格增函數，由，則，解得．綜上所述，不等式的解集為．（2）的定義域為0,+∞，則在方程中，應滿足，由，解得，問題轉化為時，方程有實數解．又，則，即．為嚴格單調函數，，，兩邊同除以得．令，由，則，在有解．又在0,+∞上嚴格增函數，，即，又，則.17.已知函數.（1）當時，求函數的零點；（2）若函數為偶函數，求的值；（3）當時，若關于的不等式在時恒成立，求的取值范圍.解：（1）當時，，令，解得，所以當時，函數的零點為0.（2）因為函數為偶函數，所以，即，所以，又不恒為0，所以，即.（3）當時，，因為關于的不等式在時恒成立，所以，又因為，當且僅當，即時等號成立，所以，即的取值范圍是.18.已知定義在上的函數滿足：對任意的實數，均有，且，當時，．（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調性，并證明；（3）若對任意，，，總有恒成立，求的取值范圍．解：（1）函數為R上的奇函數.證明如下：易知函數的定義域為R，令，則，又，所以f-x=-fx，所以函數奇函數.（2）在0,+∞上的單調遞增，證明如下：由（1）知，，當時，，所以，從而，，則，因為，所以，又當時，，所以，所以，所以，故在0,+∞上的單調遞增.（3）由（1）知，函數為R上的奇函數，所以，由（2）知，當時，，且在0,+∞上的單調遞增，所以在上的單調遞增，所以當時，函數的最大值為，最小值為，又任意，總有恒成立，所以，即，由題意，對恒成立，令，則，所以，解得或，故實數的取值范圍是.19.我們知道，函數的圖像關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發(fā)現可以將其推廣為：函數的圖像關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數．（1）判斷函數的奇偶性，求函數的圖像的對稱中心，并說明理由；（2）已知函數，問是否有對稱中心？若有，求出對稱中心；若沒有，請說明理由；（3）對于不同的函數與，若的圖像都是有且僅有一個對稱中心，分別記為和．（i）求證：當時，的圖像仍有對稱中心；（ii）問：當時，的圖像是否仍一定有對稱中心？若一定有，請說明理由；若不一定有，請舉出具體的反例．解：（1）為奇函數，證明如下：首先的定義域為R，關