內(nèi)蒙古包頭市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古包頭市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】全集，集合，則，而，所以.故選：A2.復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（）A.6 B. C. D.7【答案】C【解析】復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，則，由為實(shí)數(shù)，得，解得，又，顯然，由為純虛數(shù)，得，解得，所以.故選：C.3.為了鼓勵(lì)學(xué)生積極鍛煉身體，強(qiáng)健體魄，某學(xué)校決定每學(xué)期對(duì)體育成績(jī)?cè)谀昙?jí)前100名的學(xué)生給予專項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì).已知該校高三年級(jí)共有600名學(xué)生，如圖是該年級(jí)學(xué)生本學(xué)期體育測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖.據(jù)此估計(jì)，該校高三年級(jí)學(xué)生體育成績(jī)的中位數(shù)為（）A.70 B.70.5 C.71.25 D.72【答案】C【解析】由給定的頻率分布直方圖，可得前2個(gè)矩形的面積為，前3個(gè)小矩形的面積為，所以學(xué)生體育成績(jī)的中位數(shù)位于之間，設(shè)學(xué)生體育成績(jī)總位數(shù)為，可得分.故選：C.4.若，滿足約束條件，則的最大值為（）A.4 B.3 C. D.【答案】A【解析】由約束條件作出可行域如下圖：由圖可知，，由，可得，由圖可得當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，所以故選：A5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以為奇函數(shù)，此時(shí)可排除AC,由于當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)可排除D，故選：B.6.若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】〖祥解〗將指數(shù)化為對(duì)數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳析】因，則，可知，且，可知.故選：C.7.已知圓錐PO的母線長(zhǎng)為2，O為底面的圓心，其側(cè)面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓錐PO的底面圓半徑為，由母線長(zhǎng)為2，側(cè)面積等于，得，解得，因此圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：C8.如圖，已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離分別為，，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】由于平面,平面,故,且，,因此,故，又,所以,平面，故平面，平面，故,同理可得,又，因此四邊形為正方形，所以,故選：B9.已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，令半焦距為c，由及，得，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)取等號(hào)，因此，即，又，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A10.在三棱錐中，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，畫出三棱錐，分別作出的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，所得圖形如下圖：根據(jù)中位線的性質(zhì)可得：，，且，，所以異面直線與所成角即為和所成銳角，由于，，所以在等邊中，，同理在等邊中，，故，所以為等邊三角形，故，所以在中，，，，故由余弦定理可得：，由于異面直線的夾角范圍為，所以異面直線與所成角為的補(bǔ)角，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.C.函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】由函數(shù)（，，）的部分圖象，可得，可得，則，又由，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以A正確；由，可得，又由，所以B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，此時(shí)函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以C正確；由，可得，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：D.12.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，得在上有解，即不等式在上有解，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以的取值范圍是.故選：D二、填空題13.已知向量，滿足，，，則______.【答案】【解析】由向量，滿足，，且，則，所以.故答案為：.14.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】對(duì)于雙曲線，其漸近線方程為,對(duì)于圓，有，圓心為，半徑為，漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：,則由則.故答案為：.15.從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為______.【答案】【解析】由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的總數(shù)為個(gè)，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：，共有15個(gè)，所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為：.16.已知為銳角三角形，是角分別所對(duì)的邊，若，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】在銳角中，由，得，即，由正弦定理得，而，則，又，則有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，則，由，得，即，于是，所以的取值范圍是.故答案為：三、解答題（一）必考題17.已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）求，，；（2）判斷數(shù)列否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式解：（1）由條件可得，將代入，得，而，所以，將代入，得，所以，又，從而，，.（2）數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：由條件可得，即，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列（3）由（2）可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接．在底面中，因?yàn)?，，由，可得，因?yàn)椋?，所以在中，，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)，連接，由，，得為等邊三角形，所以．在等邊三角形中，，所以．因?yàn)椋?9.某地區(qū)為了解在鄉(xiāng)村振興過程中鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)的發(fā)展情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)鄉(xiāng)村，得到這些鄉(xiāng)村今年先對(duì)于去年集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率W的頻數(shù)分布表.分組鄉(xiāng)村數(shù)61030401031（1）估計(jì)這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的鄉(xiāng)村比例；（2）求這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）解：（1）根據(jù)集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表，得所調(diào)查的100個(gè)鄉(xiāng)村中，集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的鄉(xiāng)村頻率為，用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，得這個(gè)地區(qū)集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的鄉(xiāng)村比例為.（2），，.所以這個(gè)地區(qū)鄉(xiāng)村集體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為，.20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：在上.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，于是，即，所以當(dāng)時(shí)，，即.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點(diǎn).點(diǎn)在上，且.（1）求的方程；（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：.（1）解：設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)，代入方程中，得，所以的方程為.（2）證明；因?yàn)榫趻佄锞€上，設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，可得，，所以.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，（1）寫出的普通方程，并指出它是什么曲線；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的極徑與極角的正切值.（1）解：由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，將代入，可得，整理得，所以曲線的普通方程為，該曲線是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向上的拋物線.（2）解：因?yàn)?，可得，根?jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得曲線的普通方程為