內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗2024屆高三上學(xué)期期末綜合模擬數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古鄂爾多斯市西四旗2024屆高三上學(xué)期期末綜合模擬數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.集合，則間的關(guān)系是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，則，，，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，B正確.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，則，又，所以，即.故選：C．3.已知符號(hào)函數(shù)，則“”是“”的（

）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則同號(hào)，所以或，即或，即，所以“”是“”的充要條件.故選：A4.已知單位向量與單位向量的夾角為，則（

）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，故.故選：D.5.教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)不超過(guò).經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開(kāi)窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A.11分鐘 B.13分鐘 C.15分鐘 D.17分鐘【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，將其代入解析式，解得，故解析式為，令，解得，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，可得，所以該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時(shí)間為13分鐘.故選：B.6.已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能為（）A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5【答案】D【解析】由題意得，正方體的正視圖的面積最小為（為正方體的一個(gè)面），正方體的正視圖的面積最大為（為正方體的對(duì)角面），所以正方體正視圖的面積取值范圍為，無(wú)法取得1.5.故選：D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則（）A.輸出的的最小值為，最大值為5 B.輸出的的最小值為，最大值為6C.輸出的的最小值為，最大值為5 D.輸出的的最小值為，最大值為6【答案】D【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值5，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，因?yàn)椋遥暂敵龅淖钚≈禐?，最大值?.故選：D8.函數(shù)的最小值為（

）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)的最小值為.故選：B.9.已知數(shù)列，且，則數(shù)列的前2023項(xiàng)之和為（

）A.2 B.3 C.2023 D.2024【答案】A【解析】數(shù)列中，，且，所以令，得，令，得，同理可得，所以，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)之和等于數(shù)列的第1項(xiàng)，等于2.故選：A10.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線(xiàn)上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，由橢圓，得到左頂點(diǎn)，又由過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)，可得方程為，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，可得，代入直線(xiàn)，可得，整理得，所以橢圓的離心率為.故選：A.11.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，由，即，在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則，解得.故選：D12.若過(guò)點(diǎn)可以作三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)：相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)一個(gè)切點(diǎn)為，則由，可得該點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有，即，則過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)的條數(shù)即為方程的解的個(gè)數(shù).設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由，，可得時(shí)，有三個(gè)解，故選：D.二、填空題13.已知雙曲線(xiàn)：的焦距為8，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，則，不妨設(shè)其中一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)為，即，所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.故答案為：.14.德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，此方法也稱(chēng)為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則=_______.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，令，兩式相加，可得，所以.故答案為：.15.下列四個(gè)命題中為真命題的是_________.（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）①若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則其方差；②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則；③已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是6；④對(duì)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量，其線(xiàn)性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】①②④【解析】對(duì)于①，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則其方差，故①正確；對(duì)于②，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，故②正確；對(duì)于③，已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差是，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，對(duì)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量，其線(xiàn)性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則，則，即實(shí)數(shù)的值是，故④正確.故答案為：①②④16.已知都在球的球面上，且平面．在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題可知，所以，如圖設(shè)外接圓的圓心為，連接取中點(diǎn)為，連接，則平面，因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半徑，所以，所以在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)的概率為故答案為：三、解答題（一）必考題17.在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足______．（1）求C；（2）點(diǎn)D在邊AB上，且，，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．解：（1）選條件①：由，可得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，故，又，于是，即，因?yàn)?，所以．選條件②：由題意知，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由（1）得，故，在中，由正弦定理得，又，所以，在中，，因?yàn)?，故，即，故．又由?）知，所以，解得，可得．18.為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；（1）求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；（2）以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）因?yàn)椋?，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過(guò)130的頻率為，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為；（2）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為，所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)，則，，所以，，，，，所以的分布列為01234P.19.如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖．（1）求證：．（2）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．（1）證明：，分別為中點(diǎn)，，即，為中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解：取中點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)，，即，，；則以坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，假設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)和所成角的余弦值為，設(shè)，則，，，整理可得：，解得：，存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，此時(shí).20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小2.（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）已知是曲線(xiàn)上一點(diǎn)，是曲線(xiàn)上異于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)、的傾斜角分別為，且，則直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，依題意，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以曲線(xiàn)的方程為；（2）由（1）可得，當(dāng)直線(xiàn)?中其中一條的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，易得，直線(xiàn)的直線(xiàn)為，與聯(lián)立，可得，故直線(xiàn)的方程為；當(dāng)直線(xiàn)?的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)?的斜率分別為，設(shè)，所以，同理可得，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以，即，由題意，斜率不為0，設(shè)方程為，聯(lián)立，消整理得，所以，，，所以，即，所以，令，得，，此時(shí)有定點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)?中其中一條的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)過(guò)，符合題意.綜上所述，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，.由，得；由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，所以在區(qū)間上的最大值為0，最小值為.（2）證明：.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，所以，由，得，所以在上單調(diào)遞增；由，得，所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，為滿(mǎn)足題意，必有，得.因?yàn)槭莾蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，兩式相減得.設(shè)，要證，只需證，即證.設(shè)，只需證，設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，從而，所以成立，從而（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，射線(xiàn)l的方程為，曲線(xiàn)C的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求射線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程；（2）若射線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于點(diǎn)P，將射線(xiàn)繞極點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)交C于點(diǎn)Q，求的面積．解：（1