湖北省隨州市部分高中2025屆高三上學期12月月考數(shù)學試卷（含解析）

2024年秋季湖北省隨州市部分高中12月月考高三數(shù)學試題本試卷共4頁，全卷滿分150分，考試用時120分鐘?？荚嚂r間：2024年12月21日8:00——10:00★祝考試順利★考試范圍：高中全部高考內容注意事項：1、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應的答題區(qū)域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、考試結束后，請將答題卡上交。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、若0<m<1,則不等式(x-m)<0的解集為()A. B.C. D.2、sin15°cos45°+sin105°sin135°=()A. B. C. D.13、已知cosα=,sin(β-α)=-,α,β均為銳角,則β=()A. B.C. D.4、在平面直角坐標系中,O為坐標原點,,若繞點O逆時針旋轉60°得到向量,則=()A.(0,1) B.(1,0)C. D.5、如圖,已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1,點E為線段CD1的中點,則直線AE與平面A1BCD1所成角的正切值為()A. B.C. D.6、已知橢圓C:16x2+4y2=1,則下列結論正確的是()A.長軸長為 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為7、10名工人某天生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)是:15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有()A.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.b>c>a8、甲、乙兩羽毛球運動員之間的訓練,要進行三場比賽,且這三場比賽可看做三次伯努利試驗,若甲至少取勝一次的概率為,則甲恰好取勝一次的概率為()A.B.C.D.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、(多選題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個零點x1,x2,且x1<x2,則下列說法正確的是()A.a>eB.x1+x2>2C.x1x2>1D.有極小值點x0,且x1+x2<2x010、(多選題)已知向量a,b滿足a·b=1,|b|=1,且|a+b|=,則()A.|a|=2 B.a⊥(a-b)C.a與b的夾角為 D.a與b的夾角為11、(多選題)下列說法正確的是()A.在經(jīng)驗回歸方程=-0.85x+2.3中,當解釋變量x每增加1個單位時,響應變量平均減少2.3個單位B.在經(jīng)驗回歸方程=-0.85x+2.3中,相對于樣本點(1,1.2)的殘差為-0.25C.在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄,其模型的擬合效果越好D.若兩個變量的決定系數(shù)R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、函數(shù)y=的單調遞減區(qū)間是。

13、已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=3an-2n+1,則an=。

14、設P為直線l:2x+y+9=0上的任一點,過點P作圓x2+y2=9的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,則直線AB恒過定點。

四、解答題：本題共5小題，共77分15、（本小題滿分15分）設函數(shù)y=f(x)的不動點集合為A,穩(wěn)定點集合為B,求證:(1)A?B;(2)若函數(shù)f(x)單調遞增,則A=B。16、（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=ax-sinx。(1)若函數(shù)f(x)為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)求證:當x>0時,ex>2sinx。17、（本小題滿分15分）已知正項數(shù)列{an},其前n項和Sn滿足an(2Sn-an)=1(n∈N*)。(ⅰ)求證:數(shù)列{}是等差數(shù)列,并求出Sn的表達式;(ⅱ)數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)三項ak,ak+1,ak+2,使得,,構成等差數(shù)列?請說明理由。18、（本小題滿分16分）如圖所示,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD的中點。(1)求證:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,請說明理由。19、（本小題滿分16分）為豐富學生的課外活動,某學校羽毛球社團舉辦羽毛球團體賽,賽制采取5局3勝制,每局都是單打模式,每隊有5名隊員,比賽中每名隊員至多上場一次且上場順序是隨機的,每局比賽結果互不影響,經(jīng)過小組賽后,最終甲乙兩隊進入最后的決賽,根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計,甲隊明星隊員M對乙隊的每名隊員的勝率均為,甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為。(注:比賽結果沒有平局)(1)求甲隊明星隊員M在前4局比賽中不上場的前提下,甲乙兩隊比賽4局,甲隊獲得最終勝利的概率;(2)求甲乙兩隊比賽3局,甲隊獲得最終勝利的概率;(3)若已知甲乙兩隊比賽3局,甲隊獲得最終勝利,求甲隊明星隊員M上場的概率。高三數(shù)學試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、解析當0<m<1時,m<,所以不等式的解集為。故選D。2、解析因為sin105°=sin(90°+15°)=cos15°,sin135°=sin(180°-45°)=sin45°,所以sin15°cos45°+sin105°sin135°=sin15°cos45°+cos15°sin45°=sin(15°+45°)=sin60°=。故選C。3、解析因為cosα=,sin(β-α)=-<0,α,β均為銳角,所以sinα=,β-α∈,可得cos(β-α)=,sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=-,所以β=。故選B。4、解析因為,所以與x軸的夾角為30°,依題意,向量與x軸的夾角為90°,則點B在y軸正半軸上,且||=1,所以點B(0,1),則=(0,1)。故選A。5、解析(圖略)連接AB1,設AB1與A1B交于點F,易知AF⊥A1B,AF⊥BC,且A1B∩BC=B,A1B,BC?平面A1BCD1,所以AF⊥平面A1BCD1。連接EF,則∠AEF是直線AE與平面A1BCD1所成的角,tan∠AEF=。故選A。6、解析把橢圓方程16x2+4y2=1化為標準方程可得=1,所以a=,b=,c=,則長軸長2a=1,焦距2c=,短軸長2b=,離心率e=。故選D。7、解析從小到大排列此數(shù)據(jù)為:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17。平均數(shù)為×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;數(shù)據(jù)17出現(xiàn)了三次,17為眾數(shù);第5位、第6位均是15,故15為中位數(shù)。所以a=14.7,b=15,c=17,即a<b<c。故選B。8、解析假設事件A=“甲取勝”,設每場比賽甲勝的概率為p,由題意得,事件A發(fā)生的次數(shù)X~B(3,p),則有1-(1-p)3=,得p=,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為。故選C。二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、解析由f(x)=ex-ax知f'(x)=ex-a。f(x)有極小值點x=lna,而極小值f(lna)=a-alna<0,所以a>e,A正確。f(x)有兩個零點x1,x2,則-ax1=0,-ax2=0,即x1=lna+lnx1①,x2=lna+lnx2②。①-②,得x1-x2=lnx1-lnx2,根據(jù)對數(shù)均值不等式,,得x1+x2>2,而1>,因此x1x2<1,B正確,C錯誤。由①+②,得x1+x2=2lna+lnx1x2<2lna,即x1+x2<2x0,D正確。故選ABD。10、解析因為a·b=1,|b|=1,且|a+b|=,所以a2+2a·b+b2=7,則|a|2+2+1=7,則|a|=2,故A正確;因為a·(a-b)=a2-a·b=3≠0,所以a與a-b不垂直,故B錯誤;cos<a,b>=,又<a,b>∈[0,π],所以a與b的夾角為,故C正確,D錯誤。故選AC。11、解析對于A,根據(jù)經(jīng)驗回歸方程,當解釋變量x每增加1個單位時,響應變量y平均減少0.85個單位,故A錯誤;對于B,當解釋變量x=1時,響應變量=1.45,則樣本點(1,1.2)的殘差為-0.25,故B正確;對于C,在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明擬合精度越高,即擬合效果越好,故C正確;對于D,由決定系數(shù)R2的意義可知,R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好,故D正確。故選BCD。三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、解析因為y==-1+,故其單調遞減區(qū)間為(-∞,-1),(-1,+∞)。13、解析因為an+1=3an-2n+1,所以an+1-(n+1)=3(an-n),所以=3,又因為a1-1=2-1=1≠0,所以{an-n}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,所以an-n=3n-1,所以an=3n-1+n。14、解析因為P是直線l:2x+y+9=0上的任一點,所以設P(m,-2m-9),由于圓x2+y2=9的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,則點A,B在以線段OP為直徑的圓上,即線段AB是圓O和圓C的公共弦,則圓心C的坐標是,且半徑的平方是r2=,所以圓C的方程是①,又x2+y2=9②,②-①得mx-(2m+9)y-9=0,即公共弦AB所在的直線方程是mx-(2m+9)y-9=0,即m(x-2y)-(9y+9)=0,由所以直線AB恒過定點(-2,-1)。四、解答題：本題共5小題，共77分15、（本小題滿分15分）【證明】(1)不妨設x0∈A,則由題知f(x0)=x0,則f(f(x0))=f(x0)=x0,故x0∈B,所以A?B。(2)設t∈B,則f(f(t))=t,因為函數(shù)f(x)單調遞增,所以存在唯一a,使f(t)=a,f(a)=t,若a<t,則f(a)<f(t),得到t<a,與a<t矛盾;若a>t,則f(a)>f(t),得到t>a,與a>t矛盾,故必有a=t,所以f(t)=t,即t∈A,又由(1)知A?B,所以,當函數(shù)f(x)單調遞增時,A=B。16、（本小題滿分15分）解(1)因為f(x)=ax-sinx,所以f'(x)=a-cosx,由函數(shù)f(x)為增函數(shù),則f'(x)=a-cosx≥0恒成立,即a≥cosx在R上恒成立,因為y=cosx∈[-1,1],所以a≥1,即實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)。(2)證明:由(1)知,當a=1時,f(x)=x-sinx為增函數(shù),當x>0時,f(x)>f(0)=0?x>sinx,要證當x>0時,ex>2sinx,只需證當x>0時,ex>2x,即證ex-2x>0在(0,+∞)上恒成立,設g(x)=ex-2x(x>0),則g'(x)=ex-2,令g'(x)=0,解得x=ln2,所以g(x)在(0,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增,所以g(x)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2(1-ln2)>0,所以g(x)≥g(ln2)>0,所以ex>2x成立,故當x>0時,ex>2sinx。17、（本小題滿分15分）解(ⅰ)證明:由an(2Sn-an)=1,得(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=1(n∈N*,n≥2),所以=1(n≥2,n∈N*)。又a1(2S1-a1)==1,an>0,所以a1=1,=1。所以{}是以=1為首項,公差為1的等差數(shù)列,所以=n,Sn=(n∈N*)。(ⅱ)數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項ak,ak+1,ak+2,使得,,構成等差數(shù)列。理由如下:當n≥2時,an=Sn-Sn-1=,因為當n=1時,a1=1,符合上式,所以an=(n∈N*),所以。假設數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項ak,ak+1,ak+2,使得,,構成等差數(shù)列,則2()=,即,兩邊同時平方,得k+1+k+2··,所以(k+1)k=(k-1)(k+2)。整理得k2+k=k2+k-2,得0=-2,又0≠-2,所以假設錯誤,所以數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項ak,ak+1,ak+2,使得,,構成等差數(shù)列。18、（本小題滿分16分）解(1)證明:以A為原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系。設AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1)。故=(0,1,1),·×0+1×1+(-1)×1=0,所以,即B1E⊥AD1。(2)存在滿足要求的點P,假設在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此時=(0,-1,z0)。設平面B1AE的法向量為n=(x,y,z)。=(a,0,1),。因為n⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得取x=1,則故n=是平面B1AE的一個法向量。要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即-az0=0,解得z0=。所以存在點P,滿足DP∥平面B1AE,此時A