2025屆上海市五愛中學(xué)高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆上海市五愛中學(xué)高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)2.函數(shù)的圖象如圖所示,為了得到的圖象,可將的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位3.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.4.已知是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.5.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.1206.某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分,則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成樣本,則這兩個樣本不變的數(shù)字特征是()A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)7.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.8.對于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時,函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.9.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.1010.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?11.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知非零向量的夾角為,且,則______.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為________.15.若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍為________.16.已知,橢圓的方程為,雙曲線方程為,與的離心率之積為,則的漸近線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是線段PC中點,G為線段EC中點.Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.18.(12分)已知函數(shù)(1)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:19.(12分)以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點的直角坐標(biāo).20.(12分)已知橢圓的短軸長為,左右焦點分別為,,點是橢圓上位于第一象限的任一點,且當(dāng)時,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓上點與點關(guān)于原點對稱,過點作垂直于軸,垂足為,連接并延長交于另一點,交軸于點.(ⅰ)求面積最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.21.(12分)某大學(xué)開學(xué)期間,該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量,現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機選取一天,估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘,四人選擇日工資方案相互獨立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)22.(10分)已知函數(shù),且.(1)若,求的最小值,并求此時的值;(2)若,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項A,函數(shù),故錯誤;選項B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯誤;選項C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯誤.故選:C【點睛】本題考查對題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.2、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到,結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知:,∴.又時函數(shù)值最大,所以.又,∴,從而,,只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象,故選C.【點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求,一般用最高點或最低點求.3、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點睛】本題考查向量投影的計算,同時也考查利用向量的模計算向量的夾角,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求出的值,再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題.5、C【解析】

試題分析:由題意得,自習(xí)時間不少于小時的頻率為,故自習(xí)時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應(yīng)用.6、A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變,中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知,中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績相比,成績和平均數(shù)都增加了50,所以沒有改變,根據(jù)方差公式可知方差不變.故選:A【點睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、D【解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.8、A【解析】

由已知可得的單調(diào)性,再由可得對稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因為函數(shù)關(guān)于點對稱,當(dāng)時,是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..9、C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點中心對稱是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】試題分析:由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數(shù)考點:交集及其運算.11、C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得:,故選:C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運行的過程.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由已知條件得出,可得,解之可得答案.【詳解】向量的夾角為,且,,可得:,

可得,

解得,

故答案為:1.【點睛】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模,關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方,利用向量的數(shù)量積化簡求解即可,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點坐標(biāo),并將該交點代入拋物線的方程,即可求出實數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點為.由題意得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用拋物線上的點求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.15、【解析】

化簡函數(shù),求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間,然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增,列出不等式求解即可.【詳解】由知,當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在和上均單調(diào)遞增,,

,

的取值范圍為:.

故答案為:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組,屬中檔題.16、【解析】

求出橢圓與雙曲線的離心率,根據(jù)離心率之積的關(guān)系,然后推出關(guān)系,即可求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】,橢圓的方程為,的離心率為:,雙曲線方程為,的離心率:,與的離心率之積為,,,的漸近線方程為:,即.故答案為:【點睛】本題考查了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),掌握橢圓、雙曲線的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因為G.、F為EC和PC的中點,,又平面,平面,所以平面(II)因為菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因為平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.點睛:(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系,一般有幾何法和向量法,本題利用幾何法比較方便.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對任意恒成立等價于對任意恒成立,令,,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時,即,,,令,則,令,則,在上是增函數(shù),又,當(dāng)時,;當(dāng)時,,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,即,.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.19、【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為,所以,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由,得,所以曲線的普通方程為.由,得,所以(舍),所以,所以曲線的交點坐標(biāo)為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化,考查學(xué)生的計算能力,是一道容易題.20、(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)證明見解析.【解析】

(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(?。┰O(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直線方程為,聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo),再利用兩點的斜率公式計算即可.【詳解】(1)設(shè),由,得.將代入,得,即,由,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,則,(?。┮字獮榈闹形痪€,所以,所以,又滿足,所以,得,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號,所以面積最大值為.(ⅱ)記直線斜率為,則直線斜率為,所以直線方程為.由,得,由韋達定理得,所以,代入直線方程,得,于是,直線斜率,所以直線與斜率之積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到橢圓中的最值及定值問題,在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時,一般會用到根與系數(shù)的關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力,是一道有一定難度的題.21、(1)0.4;(2);(3)應(yīng)選擇方案,理由見解析【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式,即可計算兩種計算方式下的數(shù)學(xué)期望,并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】(1)設(shè)事件為“

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