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文檔簡介
山東省廣饒一中重點中學2025屆高三3月份第一次模擬考試數學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.162.根據最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關系數為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關3.設為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.4.已知函數,則下列結論中正確的是①函數的最小正周期為;②函數的圖象是軸對稱圖形;③函數的極大值為;④函數的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④5.已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.6.函數的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.37.已知數列的通項公式為,將這個數列中的項擺放成如圖所示的數陣.記為數陣從左至右的列,從上到下的行共個數的和,則數列的前2020項和為()A. B. C. D.8.若復數滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-59.某歌手大賽進行電視直播,比賽現場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分,場內外的觀眾可以通過網絡平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后,現場嘉賓的評分情況如下表,場內外共有數萬名觀眾參與了評分,組織方將觀眾評分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評分嘉賓評分的平均數為,場內外的觀眾評分的平均數為,所有嘉賓與場內外的觀眾評分的平均數為,則下列選項正確的是()A. B. C. D.10.已知函數,集合,,則()A. B.C. D.11.“且”是“”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.若滿足,且目標函數的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在數列中,,,曲線在點處的切線經過點,下列四個結論:①;②;③;④數列是等比數列;其中所有正確結論的編號是______.14.不等式對于定義域內的任意恒成立,則的取值范圍為__________.15.函數的定義域為____.16.如圖是一個算法流程圖,若輸出的實數的值為,則輸入的實數的值為______________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;(2)設與交于,兩點,線段的中點為,求.18.(12分)已知函數,.(1)若函數在上單調遞減,且函數在上單調遞增,求實數的值;(2)求證:(,且).19.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)若,求曲線與的交點坐標;(2)過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線,交于點,且的最大值為,求的值.20.(12分)已知函數.(1)若曲線在處的切線為,試求實數,的值;(2)當時,若有兩個極值點,,且,,若不等式恒成立,試求實數m的取值范圍.21.(12分)設函數,其中是自然對數的底數.(Ⅰ)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數與函數的圖象交于,且線段的中點為,證明:.22.(10分)如圖,在直棱柱中,底面為菱形,,,與相交于點,與相交于點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據正弦定理邊化角以及三角函數公式可得,再根據面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.2、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數據中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關系數為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關系數r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應從左到右是上升的,則變量x與y正相關,故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質,意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】
用誘導公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式,解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.4、D【解析】
因為,所以①不正確;因為,所以,,所以,所以函數的圖象是軸對稱圖形,②正確;易知函數的最小正周期為,因為函數的圖象關于直線對稱,所以只需研究函數在上的極大值與最小值即可.當時,,且,令,得,可知函數在處取得極大值為,③正確;因為,所以,所以函數的最小值為,④正確.故選D.5、A【解析】
根據雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,可得出,結合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解:由雙曲線可知,焦點在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質,以及雙曲線的漸近線方程.6、A【解析】
根據正切函數的圖象求出A、B兩點的坐標,再求出向量的坐標,根據向量數量積的坐標運算求出結果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正切函數的圖象,平面向量數量積的運算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關鍵是利用圖象與正切函數圖象求出坐標,再根據向量數量積的坐標運算可得結果,屬于簡單題.7、D【解析】
由題意,設每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項相消即可求解.【詳解】由題意,設每一行的和為故因此:故故選:D【點睛】本題考查了等差數列型數陣的求和,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.8、C【解析】
把已知等式變形,再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算,考查復數的基本概念,是基礎題.9、C【解析】
計算出、,進而可得出結論.【詳解】由表格中的數據可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場外有數萬名觀眾,所以,.故選:B.【點睛】本題考查平均數的大小比較,涉及平均數公式以及頻率分布直方圖中平均數的計算,考查計算能力,屬于基礎題.10、C【解析】
分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.11、A【解析】
畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【詳解】如圖,“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,記為集合P,“”表示的區(qū)域是單位圓及其內部,記為集合Q,顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件,故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.12、A【解析】
作出可行域,由,可得.當直線過可行域內的點時,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當直線過可行域內的點時,最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當且僅當,即時,等號成立.的最小值為8.故選:.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③④【解析】
先利用導數求得曲線在點處的切線方程,由此求得與的遞推關系式,進而證得數列是等比數列,由此判斷出四個結論中正確的結論編號.【詳解】∵,∴曲線在點處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項為1,公比為的等比數列,從而,,.故所有正確結論的編號是①③④.故答案為:①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據遞推關系式證明等比數列,考查等比數列通項公式和前項和公式,屬于基礎題.14、【解析】
根據題意,分離參數,轉化為只對于內的任意恒成立,令,則只需在定義域內即可,利用放縮法,得出,化簡后得出,即可得出的取值范圍.【詳解】解:已知對于定義域內的任意恒成立,即對于內的任意恒成立,令,則只需在定義域內即可,,,當時取等號,由可知,,當時取等號,,當有解時,令,則,在上單調遞增,又,,使得,,則,所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性和最值,解決恒成立問題求參數值,涉及分離參數法和放縮法,考查轉化能力和計算能力.15、【解析】由題意得,解得定義域為.16、【解析】
根據程序框圖得到程序功能,結合分段函數進行計算即可.【詳解】解:程序的功能是計算,若輸出的實數的值為,則當時,由得,當時,由,此時無解.故答案為:.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷,理解程序功能是解決本題的關鍵,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】
(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程,把點P的極坐標化成直角坐標;(2)把直線l的參數方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程,根據韋達定理以及參數t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2=1,設點P的直角坐標為(x,y),因為P的極坐標為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點P的直角坐標為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因為△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可設方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對應的參數,且t1+t2,依題意,點M對應的參數為,所以|PM|=||.【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程,屬中檔題.18、(1)1;(2)見解析【解析】
(1)分別求得與的導函數,由導函數與單調性關系即可求得的值;(2)由(1)可知當時,,當時,,因而,構造,由對數運算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數在上單調遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數在上單調遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當時,函數在上為減函數,在上為增函數,而,∴當時,,當時,.∴∴即,∴.【點睛】本題考查了導數與函數單調性關系,放縮法在證明不等式中的應用,屬于難題.19、(1),;(2)或【解析】
(1)將曲線的極坐標方程和直線的參數方程化為直角坐標方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點坐標;(2)由直線的普通方程為,故上任意一點,根據點到直線距離公式求得到直線的距離,根據三角函數的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標方程為.當時,直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數方程為(為參數)故上任意一點到的距離為則.當時,的最大值為所以;當時,的最大值為,所以.綜上所述,或【點睛】解題關鍵是掌握極坐標和參數方程化為直角坐標方程的方法,和點到直線距離公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)根據題意,求得的值,根據切點在切線上以及斜率等于,構造方程組求得的值;(2)函數有兩個極值點,等價于方程的兩個正根,,不等式恒成立,等價于恒成立,,令,求出導數,判斷單調性,即可得到的范圍,即的范圍.【詳解】(1)由題可知,,,聯(lián)立可得.(2)當時,,,有兩個極值點,,且,,是方程的兩個正根,,,不等式恒成立,即恒成立,,由,,得,,令,,在上是減函數,,故.【點睛】該題考查的是有關導數的問題,涉及到的知識點有導數的幾何意義,函數的極值點的個數,構造新函數,應用導數研究函數的值域得到參數的取值范圍,屬于較難題目.21、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)依題意在上存在兩個極值點,等價于在有兩個不等實根,由參變分類可得,令,利用導數研究的單調性、極值,從而得到參數的取值范圍;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:,即:,只需證:,設,即證:,再分別證明,即可;【詳解】解:(Ⅰ)由題意可知,,在上存在兩個極值點,等價于在有兩個不等實根,由可得,,令,則,令,可得,當時,,所以在上單調遞減,且當時,單調遞增;當時,單調遞減;所以是的極大值也是最大值,又當,當大于0趨向與0,要使在有兩個根,則,所以的取值范圍為;(Ⅱ)由題解得,,要證成立,只需證:即:,只需證:設,即證:要證,只需證:令,則在上為增函數,即成立;要證,只需證明:令,則在上為減函數,,即成立成立,所以成
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