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文檔簡介
安徽省宿州市埇橋區(qū)2025屆高三壓軸卷數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對 B.3對C.4對 D.5對2.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點P是C的右支上一點,連接與y軸交于點M,若(O為坐標原點),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.3.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.4.棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()A. B. C. D.15.已知雙曲線:,,為其左、右焦點,直線過右焦點,與雙曲線的右支交于,兩點,且點在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.6.設函數(shù)的定義域為,命題:,的否定是()A., B.,C., D.,7.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知,且,則的值為()A. B. C. D.9.已知角的終邊與單位圓交于點,則等于()A. B. C. D.10.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.11.已知正方體的棱長為2,點為棱的中點,則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為()A. B. C. D.12.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設的內(nèi)角的對邊分別為,,.若,,,則_____________14.設滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為_.15.已知,記,則的展開式中各項系數(shù)和為__________.16.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當最大時,三棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點.(1)求橢圓C的標準方程;(2)點P是橢圓上異于短軸端點A,B的任意一點,過點P作軸于Q,線段PQ的中點為M.直線AM與直線交于點N,D為線段BN的中點,設O為坐標原點,試判斷以OD為直徑的圓與點M的位置關系.18.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個有序集合組,其中.記集合中元素的個數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時,求的值;利用數(shù)學歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.19.(12分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若,且,證明:.20.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點,且滿足>1,求實數(shù)a的取值范圍;(3)若?x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實數(shù)a的最大值.22.(10分)為響應“堅定文化自信,建設文化強國”,提升全民文化修養(yǎng),引領學生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”,某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中,在某高中學校隨機抽取了120名學生做調(diào)查,統(tǒng)計結果顯示:樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系?男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計(2)為做好文化建設引領,實驗組把該校作為試點,和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經(jīng)從所調(diào)查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表,這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會,記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù),求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對.【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結構特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.2、C【解析】
利用三角形與相似得,結合雙曲線的定義求得的關系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O,,由,與相似,所以,即,又因為,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結合思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力。3、A【解析】
將雙曲線方程化為標準方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應用.4、C【解析】
連結并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,推導出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.5、D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.設直線l的方程x=my+,m>0,設,,即y1=﹣3y2①,聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點,則F2(,0),設直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯(lián)立①②得,聯(lián)立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查向量知識,屬于中檔題.6、D【解析】
根據(jù)命題的否定的定義,全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為:,是全稱命題,所以其否定是特稱命題,即,.故選:D【點睛】本題主要考查命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.7、D【解析】
將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題,畫出函數(shù)的圖象,易知直線過定點,故與在時的圖象必有兩個交點,故只需與在時的圖象有兩個交點,再與切線問題相結合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可,即,當設切點,則,.故選:D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題,曲線的切線問題,注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合思想,屬于較難的壓軸題.8、A【解析】
由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用,考查學生的基本計算能力,是一道基礎題.9、B【解析】
先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點,,故選:B【點睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎題.10、A【解析】
由題意求得c與的值,結合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),屬于基礎題.11、A【解析】
根據(jù)球的特點可知截面是一個圓,根據(jù)等體積法計算出球心到平面的距離,由此求解出截面圓的半徑,從而截面面積可求.【詳解】如圖所示:設內(nèi)切球球心為,到平面的距離為,截面圓的半徑為,因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半,所以球的半徑為,又因為,所以,又因為,所以,所以,所以截面圓的半徑,所以截面圓的面積為.故選:A.【點睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面積的計算,難度一般.任何一個平面去截球,得到的截面一定是圓面,截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.12、C【解析】
根據(jù)雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、或【解析】試題分析:由,則可運用同角三角函數(shù)的平方關系:,已知兩邊及其對角,求角.用正弦定理;,則;可得.考點:運用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)14、【解析】
根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結合的思想方法,屬于基礎題.15、【解析】
根據(jù)定積分的計算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計算,可得,令,則,即的展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題主要考查了定積分的應用,以及二項式定理的應用,其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得的表示是解答本題的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.16、4【解析】設,則,,,,當且僅當,即時,等號成立.,故答案為4三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)點在以為直徑的圓上【解析】
(1)根據(jù)題意列出關于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的標準方程;(2)設點,,則,,求出直線的方程,進而求出點的坐標,再利用中點坐標公式得到點的坐標,下面結合點在橢圓上證出,所以點在以為直徑的圓上.【詳解】(1)由題意可知,,解得,橢圓的標準方程為:.(2)設點,,則,,直線的斜率為,直線的方程為:,令得,,點的坐標為,,點的坐標為,,,,又點,在橢圓上,,,,點在以為直徑的圓上.【點睛】本題主要考查了橢圓方程,考查了中點坐標公式,以及平面向量的基本知識,屬于中檔題.18、;證明見解析.【解析】
當時,集合共有個子集,即可求出結果;分類討論,利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時,集合共有個子集,所以;①當時,,由可知,,此時令,,,,滿足對任意,都有,且;②假設當時,存在有序集合組滿足題意,且,則當時,集合的子集個數(shù)為個,因為是4的整數(shù)倍,所以令,,,,且恒成立,即滿足對任意,都有,且,綜上,原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究,結合數(shù)學歸納法的應用,屬于難題.19、(1)極大值為;極小值為;(2)見解析【解析】
(1)對函數(shù)求導,進而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;(2)構造函數(shù),求導并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結合,,可得到,即可證明結論成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,所以當時,;當時,,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因為,所以,又,則,因為,且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導數(shù)證明不等式,構造函數(shù)是解決本題的關鍵,屬于難題.20、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當且僅當時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應用,屬于中檔題.21、(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】
(1)是研究在動區(qū)間上的最值問題,這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點與所研究的區(qū)間的大小關系來進行求解.(2)注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點A,B連線的斜率總大于1,等價于h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,從而構造函數(shù)F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,進而等價于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立來加以研究.(3)用處理恒成立問題來處理有解問題,先分離變量轉(zhuǎn)化為求對應函數(shù)的最值,得到a≤,再利用導數(shù)求函數(shù)M(x)=的最大值,這要用到二次求導,才可確定函數(shù)單調(diào)性,進而確定函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,則x=1.當t≥1時,f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(t)=t-lnt;當0<t<1時,f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(1,t+1)上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=1.綜上,m(t)=(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,不妨取0<x1<x2,則x1-x2<0,則由,可得h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2,變形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,x>0,則F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(
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