2021年江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)完整學(xué)案講義(共72個專題)

1第一章集合、常用邏輯用語與不等式全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握考點(diǎn)不等式的性質(zhì)1.考查形式本章在高考中一般考查1或2個小題，主要以選擇題為主，很少以填空題的形式出現(xiàn).2.考查內(nèi)容從考查內(nèi)容來看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性；二是集合間的關(guān)系；三是集合的運(yùn)算，包含集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算.常用邏輯用語主要從兩個方面考查：充分必要條件的判斷及全稱量詞與存在量詞；不等式的解法常與集合運(yùn)算交匯，不等式的性質(zhì)常題.基本不等式一般不單獨(dú)考查.3.備考策略(1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律①集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算問題；②充分條件、必要條件的”指命題說明：“I1”指全國卷I第1題，“IⅡ全國卷Ⅱ第1題，“II1”指全國卷Ⅲ第2判斷問題；③含有一個量詞的命題的否定問題；④一元二次不等式的解法及基本不等式的應(yīng)用.(2)重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)集與交集.(2)理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)知識課前自主回顧掃除雙基盲點(diǎn)[必備知識填充]集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集符號NN(或N+)ZQ2.集合的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖3子集集合A的任意一個元素都是集合B的元素(即若x∈A,則x∈B).ASB或(B2A)真子集如果AEB且A≠B集合相等如果兩個集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元運(yùn)算自然語言符號語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合ANB={x|x∈A且并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合AUB={x|x∈A或補(bǔ)集設(shè)ASU,由U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為U的子集A的補(bǔ)集[vA={x|x∈U且x神2.集合子集的個數(shù)對于有限集合A,其元素個數(shù)為n,則集合A的子集個數(shù)為2”,真子集個數(shù)3.集合的運(yùn)算性質(zhì)4(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：AU([A)=U;AN(一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)任何一個集合都至少有兩個子集.()(4)直線y=x+3與y=—2x+6的交點(diǎn)組成的集合是{1,4}.二、教材改編A.{a}EAB.aSAC.{a}∈Aa4A.]2.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},則集合MUN的子集的個數(shù)為∴MUN的子集有2?=64個.]3.已知U={a|0°<a<180°},A={x|x是銳角},B={x|x是鈍角},[答案]{x|x是直角}4.方程的解集為[5故方程組的解集 _,AUB=∴A∩B={x|-2<x<1},AUB={x|x<3}.]課堂考點(diǎn)探究破解高考疑難際通法與集合中的元素有關(guān)的問題的求解思路(1)確定集合的元素是什么,即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.(2)看清元素的限制條件.(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù).做典題1.(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個數(shù)為()x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的個數(shù)為C?Cs=9,故選A.][由題意得m+2=3或2m2+m=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題6,,3.若集合A={x∈R|ax2—3x+2=0}中只有一個元素，則a=0[當(dāng)a=0時，顯然成立；當(dāng)a≠0時，△=(—3)2—8a=0,即a=1[由已知得a≠0,則又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去，因此a=-1,故a2020+b220=(-1)2020+02020=1.]巧點(diǎn)評(1)求解此類問題時，要特別注意集合中元素的互異性，如T?,T?.(2)常用分類討論的思想方法求解集合問題，如T?.示通法判斷兩集合關(guān)系的方法(1)列舉法：用列舉法表示集合，再從元素中尋求關(guān)系.(2)化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較復(fù)雜，往往需化簡表達(dá)式，再尋求兩個集合的關(guān)系.講典例(1)(2019·沈陽模擬)已知集合A={x|y=√1-x,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},則()(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},則滿足條件ASCEB的集合C的個數(shù)為()A.1(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m—1},若BEA,則實(shí)7數(shù)m的取值范圍為(2)因?yàn)锳={1,2},B={1,2,3,4},ASCEB,則集合C可以為：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4個.(3)因?yàn)锽EA,所以①若B=0,則2m—1<m+1,此時m<2.由①②可得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(一0,3).)[母題探究]重1.(變問法)本例(3)中，若求m的取值范圍.重②若B≠o,則且邊界點(diǎn)不能同時取得，解得2≤m≤3.綜合①②,m的取值范圍為(一0,3).2.(變問法)本例(3)中，若AEB,求m的取值范圍.[解]若則即所以m的取值范圍為0.3.(變條件)若將本例(3)中的集合A改為A={x|x<-2或x>5},試求m的取值范圍.所以①當(dāng)B=0時，2m—1<m+1,即m<2,符合題意.8②當(dāng)B≠0時，或綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(一0,2)U(4,十○).巧點(diǎn)評(1)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.(2)空集是任何集合的子集，當(dāng)題目條件中有BSA時，應(yīng)分B=0和B≠c兩種情況討論.則這樣的集合M共有()2.若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且BEA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為解得一2<m<2,符合題意；②若1∈B,則12+m+1=0,解得m=—2,此時B={1},符合題意；③若2∈B,則22+2m+1=0,解得事此時不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-2,2).]O考點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算示通法集合運(yùn)算三步驟9確定集合中的元素及其滿足的條件，如函數(shù)元素化簡根據(jù)元素滿足的條件解方程或不等式，得出元素滿足的最簡條件，將集合清晰地表示出運(yùn)算利用交集或并集的定義求解，必要時可應(yīng)用數(shù)軸或Venn圖來直觀解決A.{x|-4<x<3}B.{x|—4<x<—2}{-1,0,1},則([A)∩B=()A.{—1}(3)設(shè)集合A={y|y=2“,x∈R},B={x|x2-1<0},則AUB等于()(2)∵luA={-1,3},∴([uA)∩B={-1},故選A.[逆向問題]已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集，且AA.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D[法一：(直接法)因?yàn)锳∩B={3},所以3∈A,又([?B)∩A={9},所以9∈A.若5∈A,則54B(否則5∈A∩B),從而5∈[?B,則([B)∩A={5,9},與題中條件矛盾，故54A.同理，14A,74A,故A={3,9}.法二：(Venn圖)如圖所示.巧點(diǎn)評集合運(yùn)算的常用方法(1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解.(2)若集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點(diǎn)的情況.?考向2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)講典例(1)集合A={0,2,a},B={1,a},若AUB={0,1,2,4,16},則a的值為()(2)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<1B.a≤1(1)D(2)D[(1)根據(jù)并集的概念，可知{a,a}={4,16},故只能是a=4.又A∩B=B,故BEA.又A={x|x<a},結(jié)合數(shù)軸，可知a≥2.]巧點(diǎn)評利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解.如T?).(2)與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到，如提醒：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足互異性).[教師備選例題]|y|≤2,x,y∈Z},定義集合AB={(x?+x?,y?+y?)|(x?,y?)∈A,(x?,y?)∈B},則AB中元素的個數(shù)為()A.77B.49C.45D.30C[如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“o”,集合B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“o”十所有圓點(diǎn)“?！?集合AB顯然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四個點(diǎn){(一3,—3),(一3,3),(3,一3),(3,3)}之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)),則集合AB表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“o”十所有圓點(diǎn)“?！笔袌A點(diǎn)“。”,共45個.故AB中元素的個數(shù)為45.故選C.ANB中恰含有一個整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()B[A={x|x2+2x—3>0}={x|x>1或x<-3},設(shè)函數(shù)f(x)=x-2ax—1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2ax—1圖象的對稱軸為直線x=a(a>0),f(0)=-1<0,根據(jù)對稱性可知若A∩B中恰有一個整數(shù)，則這個整數(shù)為2,即故選B.]做典題1.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A={x|x-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B=()C.(一3,—1)D.(3,十一)A[由題意得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},2≤x≤2},則如圖所示陰影部分所表示的集合為()C.{x|-2≤x≤—1}D.{x|—1≤x≤2}D[依題意得A={x|x<-1或x>4},因此[A={x|-1≤x≤4},題中的陰影部分所表示的集合為([nA)∩B={x|-1≤x≤2},故選D.]3.已知A={1,2.3,4},B={a+1,2a}.若A∩B={4},則a=={4,6},符合題意；若2a=4,則a=2,此時B={3,4},不符合題意.綜上，第二節(jié)充分條件、必要條件[最新考綱]1.理解必要條件的含義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.2.[必備知識填充]若p=q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p=q且q+pp是q的必要不充分條件p≠q且qpp是q的充要條件p→qp是q的既不充分也不必要條件p≠q且q≠p③數(shù)學(xué)定義中條件是結(jié)論的充要條件.即定義可以用于判定也可以作為性3.充分條件與必要條件的兩個特征Fp”.Fr”).[常用結(jié)論][常用結(jié)論]1.p是g的充分不必要條件，等價于二g是了p的充分不必要條件.其他[學(xué)情自測驗(yàn)收]一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)“a>-1”是“a≥-1”的必要條件.()(2)“x∈AUB”是“x∈A∩B”的充分條件.()(3)當(dāng)q是p的必要條件時，p是q的充分條件.()(4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”.二、教材改編1.已知m,n為兩個非零向量，則“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B[設(shè)m,n的夾角為θ,若m,n的夾角為鈍角，則則cos的夾角不為鈍角.故“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的必要不充分條件，故選B.]A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件的充分而不必要條件.故選A.]A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B[若x=1,則(x—1)(x+2)=0顯然成立，但反之不成立，即若(x—1)(x+2)=0,則x的值也可能為-2.故選B.]4.△ABC中，是“cos的條件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)所以所以的必要不充分條件.]課堂考點(diǎn)探究考點(diǎn)1充分、必要條件的判定示通法充分條件和必要條件的3種判斷方法(1)定義法：可按照以下三個步驟進(jìn)行①確定條件p是什么,結(jié)論q是什么;②嘗試由條件p推結(jié)論q,由結(jié)論q推條件p;③確定條件p和結(jié)論q的關(guān)系.(2)等價轉(zhuǎn)化法：對于含否定形式的命題，如二p是二g的什么條件，利用原命題與逆否命題的等價性，可轉(zhuǎn)化為求q是p的什么條件.(3)集合法：根據(jù)p,q成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件“|AB+AC|>|BC”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件即ab≤4,充分性成立；當(dāng)a=4,b=1時，滿足ab≤4,足a+b≤4,必要性不成立.故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件，選A.∴“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分條件，故選B.[逆向問題](2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2—x+m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()C.m>0C[若不等式x2—x+m>0在R上恒成立，則△=(-1)2—4m<0,解得m因此當(dāng)不等式x2—x+m>0在R上恒成立時，必有m>0,但當(dāng)m>0時，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0.]巧點(diǎn)評判斷充要條件需注意3點(diǎn)(1)要分清條件與結(jié)論分別是什么.(2)要從充分性、必要性兩個方面進(jìn)行判斷.(3)直接判斷比較困難時，可舉出反例說明.A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件∵x=—1→x=—1或x=6,而x=—1或x=6推不出x=—1,∴“x=—1”是“x—5x—6=0”的充分而不必要條件，故選B.]2.給定兩個命題p,q,若□p是q的必要不充分條件，則p是二q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A[因?yàn)橐籶是q的必要不充分條件，所以q→7p,但一p≠q,其等價3.王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”,請問“有志”是到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的()A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件D.必要不充分條件D[非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分條件.]O考點(diǎn)2充分條件、必要條件的應(yīng)用示通法根據(jù)充要條件求參數(shù)值(或范圍)的方法是先把充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，再根據(jù)集合的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.m},若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為由x∈P是x∈S的必要條件，知SEP.又S為非空集合，兒即所求m的取值范圍是[0,3].][母題探究]把本例中的“必要條件”改為“充分條件”,求m的取值范[解]由x∈P是x∈S的充分條件，知PES,則即所求m的取值范圍是(9,十○).巧點(diǎn)評利用充要條件求參數(shù)的2個關(guān)注點(diǎn)(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)端點(diǎn)取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍.提醒：含有參數(shù)的問題，要注意分類討論.做典題設(shè)n∈N,則一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n3或4[由△=16—4n≥0,得n≤4,當(dāng)n=1,2時，方程沒有整數(shù)根；當(dāng)n=3時，方程有整數(shù)根1,3,當(dāng)n=4時，方程有整數(shù)根2.[最新考綱]1.理解全稱量詞與存在量詞的意義.2.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.夯實(shí)基礎(chǔ)知識課前自主回顧掃除雙基盲點(diǎn)1.全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞：“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞.通常用符號“Vx”表示“任意x”.(2)存在量詞：“有一個”“有些”“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯2.全稱命題和存在性命題命題名稱語言表示符號表示命題的否定全稱命題對M中任意一個x,都有p(x)成立存在性命題存在M中的一個x,使p(x)成立3.全稱命題和存在性命題真假的判斷(1)全稱命題為真，嚴(yán)格證明；全稱命題為假，列舉反例；(2)存在性命題為真，列舉特例；存在性命題為假，嚴(yán)格證明.[常用結(jié)論][常用結(jié)論]含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)3x∈M,p(x)與Vx∈M,□p(x)的真假性相反.()(2)命題“末位數(shù)字都是0的整數(shù)能被5整除”的否定為“末位數(shù)字都不是0的整數(shù)不能被5整除”.()(3)命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”.()(4)“全等的三角形面積相等”是全稱命題.()二、教材改編1.命題“Vx∈R,x2+x≥0”的否定是()C.Vx∈R,x2+x≤0D.Vx∈R,x2+x<0B[由全稱命題的否定是存在性命題知選項(xiàng)B正確.故選B.]2.下列命題中的假命題是()A.3x?∈R,lgxo=1B.3x?∈R,sinxo=0C.Vx∈R,x3>0D.Vx∈R,2“>0為真命題；當(dāng)x≤0時，x3≤0,則C為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，Vx∈R,2”>0,則D為真命題.故選C.]3.若tanx≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為,故m≥1,即m的最小值為1.]4.命題“實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是存在一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)[全稱命題的否定是存在性命題，故應(yīng)填：存在一個實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù).]課堂考點(diǎn)探究破解高考疑難考點(diǎn)1全稱命題、存在性命題示通法(1)全稱命題與存在性命題的否定①改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進(jìn)行改寫.②否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.(2)全稱命題與存在性命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真存在性命題真存在一個對象使命題真否定為假?考向1全稱命題、存在性命題的否定講典例(1)(2019·西安模擬)命題“Vx>0,的否定是()A.3x<0,B.3x>0(2)已知命題p:3m∈R,f(x)=2*—mx是增函數(shù)，則□p為()A.3m∈R,f(x)=2“—mx是減函數(shù)B.Vm∈R,f(x)=2“—mx是減函數(shù)C.3m∈R,f(x)=2“—mx不是增函數(shù)D.Vm∈R,f(x)=2“—mx不是增函數(shù)所的否定是0≤x≤1,所以命題的否定是3x>0,0≤x≤1,故選B.(2)由存在性命題的否定可得□p為“Vm∈R,f(x)=2“—mx不是增函p(x?),簡記：改量詞，否結(jié)論.?考向2全稱命題、存在性命題的真假判斷講典例(1)下列命題中的假命題是()D.3x?∈R,sinxo+cos,;其中的真命題是()(1)D(2)D[(1)A顯然正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知21>0恒成立，所以(2)對于p,當(dāng)x∈(0,十一)時，總成立，故p?是假命于ps,結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在(0,十一)上的圖象，可以判斷ps是假命題；對于p,結(jié)合指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)上的圖象可以判斷p是真命題.]命題，當(dāng)其真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假.B.Vn∈N,f(n)4N或f(n)>n否定為存在性命題，故選D.]2.已知命題使得cosx?≤xo,則綈p為,是 命題(填“真”或“假”).此命題是假命題.]際通法根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法步驟(1)根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況).(2)求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍.(3)根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.p或q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[解]依題意知p,q均為假命題，當(dāng)p是假命題時，mx2+1>0恒成立，則有m≥0;當(dāng)q是真命題時，則有△=m2-4<0,—2<m<2.因此由p,q均為假命題即m≥2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2,十○).[母題探究]1.(變問法)在本例條件下，若pAq為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[解]依題意知p,q均為真命題，當(dāng)p是真命題時，有m<0;當(dāng)q是真命題時，有一2<m<2,可得一2<m<0.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-2,0).2.(變問法)在本例條件下，若pAq為假，pVq為真，求實(shí)數(shù)m的取值范所以m≤-2;所以0≤m<2.所以m的取值范圍是(一0,—2)U[0,2).巧點(diǎn)評根據(jù)命題的真假求參數(shù)取值范圍的策略值解決.毒毒3x?∈[1,2],使得f(x?)≥g(x?),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(若對Vx∈[0,3],)所以故選A.]2.已知命題p:關(guān)于x的方程x2-ax+4=0有實(shí)根；命題q:關(guān)于x的函數(shù)y=2x+ax+4在(3,十○)上是增函數(shù).若p或q是真命題，p且q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是或a≥4;命題q等價于事即a≥-12.由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假.若p真q假，則a<—12;若p假q真，則一4<a<4.故a的取值范圍是(一0,—12)U(-4,4).]第四節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式[最新考綱]1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.會從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖.課前自主回顧1.兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差2.不等式的性質(zhì)(7)倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab>0,則3.“三個二次”的關(guān)系判別式△=b2—二次函數(shù)y=ax+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程(a>0)的根有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根x?=x?=沒有實(shí)數(shù)根c>0(a>0)的解集 ax2+bx十c<0(a>0)的解集 2.(x—a)(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解法口訣：大于取兩邊，小于取中間.3.恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a>f(x)恒成立→a>f(x);a≤f(x)恒成立4.能成立問題的轉(zhuǎn)化：a>f(x)能成立→a>f(x)ain;a≤f(x)能成立一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x?,x?),則必有a>0.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2+bx+c>0的解(4)不等式ax+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且△=b2-4ac≤0.二、教材改編解得0≤x≤3.]2.設(shè)A=(x—3)2,B=(x—2)(x—4),則A與B的大小關(guān)系為()A.A≥BB.A>BC.A≤B∴A>B,故選B.]A.充分不必要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件4.若不等式ax2+bx+2>0的解集則a+b=事-14[由題意知是方程ax2+bx+2=0的兩個根，事課堂考點(diǎn)探究破解高考疑難理化、通分等).單調(diào)性比較.做典題1.若a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式一定成立的是()A.a+c≥b—cB.(a—b)c2≥0q=a+b的大小關(guān)系為()A.p<qB.p≤qB[法一：(作差法綜上，p≤q.故選B.法二：(特殊值排除法)令a=b=—1,則p=q=—2,排除選項(xiàng)A、C;令a=-1,b=-2,則p<q,排除選項(xiàng)D.故選B.]C[法一：由函數(shù)y=lnx的圖象(圖略)知，當(dāng)0<a—b)<0,故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y=3*在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時，3">3°,故B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時，a>b,即a3-b>0,故C正確；當(dāng)b<a<0時，|a|<|b,故D不正確.故選C.A,B,D.故選C.]圍是[5,10][法一：(待定系數(shù)法)設(shè)f(一2)=mf(一1)+nf(1)(m,n為待定系即4a—2b=(m+n)a+(n—m)b.解于是解∴f(一2)=3f(一1)+f(1).又∵1≤f(一1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(一1)+f(1)≤10,故5≤f(一2)≤10.法二：(運(yùn)用方程思想)∴f(一2)=4a—2b=3f(一1)+f(1).又∵1≤f(一1)≤2,2≤f(1)≤4,巧點(diǎn)評(1)盡管特值法可以較快的排除干擾選項(xiàng)，但直接應(yīng)用該法作出正確判斷是有風(fēng)險的，如T?,T?.(2)利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件，如T?,O考點(diǎn)2一元二次不等式的解法示通法解一元二次不等式的一般步驟一化一化把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式計算對應(yīng)方程的判別式程有沒有實(shí)根(2)ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).[解](1)原不等式化為x-2x—3≤0,故所求不等式的解集為{x|-1≤x≤3}.(2)若a=0,原不等式等價于一x+1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等價x>1.若a>0,原不等式等價于綜上所述：當(dāng)a<0時，解集時，解集為{xx>1};當(dāng)0<a<1時，解集時，解集為a;a>1時，解集將本例(2)中不等式改為x2—(a+1)x+a<0(a∈R),求不等式將本例(2)中不等式改為x2—(a+1)x+a<0(a∈R),求不等式[解]原不等式可化為(x—a)(x—1)<0,當(dāng)a>1時，原不等式的解集為(1,a);時，原不等式的解集為a;a<1時，原不等式的解集為(a,1).巧點(diǎn)評解含參不等式的分類討論依據(jù)二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等討論二次于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式判斷方程判斷方程的根的個數(shù)，討論判根的個數(shù)別式△與0的關(guān)系確定無根時可直接寫出解集，討論兩根確定方程有兩個根時，要討論的大小兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式[解]對于方程x2-2ax+2=0,因?yàn)椤?4a2-8.{x|a-√a-2≤x≤a+√a-2}.做典題1.(2019·濟(jì)南模擬)已知不等式ax2-5x+b>0的解集為則不等式bx2-5x+a>0的解集為()C.{xl-3<x<2D.{xlx<-3或解解得一3<x<2,故選C.]的解集為[將原不等式移項(xiàng)通分得∴原不等式的解集3.解不等式12x2-ax>a2(a∈R).[解]原不等式可化為12x2-ax-a2>0,解得當(dāng)a>0時，不等式的解集當(dāng)a=0時，不等式的解集為(一0,0)U(0,十一);當(dāng)a<0時，不等式的解集考點(diǎn)3一元二次不等式恒成立問題考向1在R上恒成立，求參數(shù)的范圍示通法一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件講典例不等式(a-2)x2+2(a-2)x-取值范圍是時，不等式即為-4<0,對一切x∈R恒成當(dāng)a≠2時，則綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2).)若不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為A.(—3,0)B.(-3,0)C.[—3,0]D.(一3,0)D[當(dāng)k=0時，顯然成立；當(dāng)k≠0時，即一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則解得—3<k<0.綜上，滿足不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是?考向2在給定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的范圍示通法在給定某區(qū)間上恒成立，形如f(x)>0或的不等式確定參數(shù)范圍時，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.講典例[一題多解]已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.若對于x∈[1,3],f(x)<5一m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.即在x∈[1,3]上恒成立.有以下兩種方法：法一：(函數(shù)最值法)令當(dāng)m=0時，—6<0恒成立；綜上所述，m的取值范圍法二：(分離參數(shù)法)因?yàn)橛忠驗(yàn)閙(x2—x+1)—6<0,所以在[1,3]上的最小值所以只需即所以m的取值范圍是[母題探究]若將“f(x)<5—m恒成立”改為“存在x,使立”,如何求m的取值范圍?[解]由題意知f(x)<5—m有解，又x∈[1,3],得m<6,即m的取值范圍為(一0,6).巧點(diǎn)評函數(shù)最值法、分離參數(shù)法及數(shù)形結(jié)合法是解決不等式在給定某區(qū)間上恒成立問題的三種常用方法.每種方法對于不同試題各有優(yōu)劣，要牢牢掌握，靈活使用，特別是數(shù)形結(jié)合時，滿足條件的圖象要畫全，畫對.二次函數(shù)問題建議多考慮，對應(yīng)二次函數(shù)圖象，建議恒成立或能成立問題求參數(shù)范圍時，首選分離參數(shù)法.(-5,十0)[由不等式x+ax+4≥0對一切x∈(0,1]恒成立，得對一切x∈(0,1)恒成立.則只要a≥[f(x)]..即可.2.若不等式x2+mx—1<0對于任意x∈[m,m+1]都成立，則實(shí)數(shù)m的取[由題意，得函數(shù)f(x)=x2+mx—1在[m,m+1]上的最大值小于0,又拋物線f(x)=x2+mx—1開口向上，所以只即即g(k)=(x—2)k+(x2-4x+4)>0,在k∈[-1,1]時恒成立.解得x<1或x>3.]做典題函數(shù)f(x)=x+ax+3.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-6,2].①如圖1,當(dāng)g(x)的圖象與x軸不超過1個交點(diǎn)時，②如圖2,g(x)的圖象與x軸有2個交點(diǎn)，即可解得a∈0.③如圖3,g(x)的圖象與x軸有2個交點(diǎn)，但當(dāng)x∈[一。,2]時，g(x)≥0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-7,2].第五節(jié)基本不等式[最新考綱]1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.(1)基本不等式成立的條件：a≥0,b(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.2.兩個重要的不等式(1)a2+b≥2ab(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.3.利用基本不等式求最值已知x≥0,y≥0,則記：積定和最小).和定積最大).[常用結(jié)論][常用結(jié)論]b同號),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩個不等式a2+b2≥2ab與成立的條件是相同的.(2)若a>0,則的最小值為2√a.()(3)函數(shù)π)的最小值為4.()(4)x>0且y>0的充要條件.()二、教材改編1.設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為()A.80B.77當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，等號成立.故選C.]A.有最小值，且最小值為2B.有最大值，且最大值為2C.有最小值，且最小值為一2D.有最大值，且最大值為一2D[因?yàn)閤<0,事事當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時，等號成立，3.函數(shù)的最小值為當(dāng)且僅當(dāng)即x=3時取等號.]4.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是 25[設(shè)矩形的一邊為xm,矩形場地的面積為y,則另一邊則?考向1配湊法求最值示通法配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，即將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、湊系數(shù)等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形,式(如：湊成的形式等),然后利用基本不等式求解最值的方,講典例(1)(2019·大連模擬)已知a,b是正數(shù)，且4a+3b=6,則a(a+3b)的最大值是()(3)已知則的最小值為,此時x=當(dāng)且僅當(dāng)3a=a+3b,即a=1,b當(dāng)且僅當(dāng)事事[母題探究]把本例(3)中的條件,改為,則y=4x+當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時，等號成立.的最大值為3.此時x=1.]巧點(diǎn)評(1)本例(1)解答易忽視兩項(xiàng)和為定值的條件，常見的錯誤解法為：當(dāng)且僅當(dāng)a=a+3b,且4a(a+3b)的最大值,從而錯選B.(2)應(yīng)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法求最值時，應(yīng)注意檢驗(yàn)基本不等式的前提條件：“一正、二定、三相等”,如T(1),T(2.考向2常數(shù)代換法求最值際通法常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.4[因?yàn)閍+b=1,所2+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.][母題探究]1.若本例條件不變，的最小值.[解]當(dāng)且僅當(dāng),等號成立.2.若將本例條件改為a+2b=3,如何求的最小值.所巧點(diǎn)評常數(shù)代換法主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),最值”的問題，先化再用基本不等式求最值.[教師備選例題]設(shè)a+b=2,b>0,貝取最小值時，a的值為當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.∴當(dāng)b=—2a,a=—2時，得最小值.]做典題(2019·深圳市福田區(qū)模擬)已知a>1,b>0,a+b=2,C.3+2√2當(dāng)且僅a+b=2時取等號.則的最小值故選A.]?考向3消元法求最值示通法對于含有多個變量的條件最值問題，若直接運(yùn)用基本不等式無法求最值時，可嘗試減少變量的個數(shù)，即根據(jù)題設(shè)條件建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)的最值問題，即減元(三元化二元，二元化一元).的最小值為()當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.A.]然巧點(diǎn)評求解本題的關(guān)鍵是將等式“2a+b=ab—1”變形為然后借助配湊法求最值.A.3C[由正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-2ab得又因?yàn)閍2-2ab+9b2—c=0,所以此時c=12b2,故最大值為1.]考向4利用兩次基本不等式求最值示通法當(dāng)運(yùn)用一次基本不等式無法求得代數(shù)式的最值時，常采用第二次基本不等式；需注意連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性.講典例已知a>b>0,那么的最小值為4[由題意a>b>0,則a—b>0,所以所以當(dāng)且僅當(dāng)b=a—b且即a=√2,時取等號，所以的最小值為4.]巧點(diǎn)評由于b+(a—b)為定值，故可求出b(a-b)的最大值，然后再由基本不等式求出題中所給代數(shù)式的最小值.所則的最小值為當(dāng)且僅時取等號，i的最小值當(dāng)且僅是4.](1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.講典例經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(L)與速度(1)該型號汽車的速度為多少時，可使得每小時耗油量最少?(2)已知A,B兩地相距120km,假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少?[解](1)當(dāng)x∈[50,80]時，所以當(dāng)x=65時，y取得最小值，最小值當(dāng)x∈[80,120]時，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?<10,所以當(dāng)x=65,即該型號汽車的速度為65km/h時，可使得每小時耗油量最少.(2)設(shè)總耗油量為1L,由題意可知當(dāng)且僅當(dāng)即x=70時，1取得最小值，最小值為16.所以當(dāng)x=120時，1取得最小值，最小值為10.因?yàn)?0<16,所以當(dāng)速度為120km/h時，總耗油量最少.巧點(diǎn)評當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.企業(yè)等最常采用的訂貨方式，即某種物資在單位時間的需求量為某常數(shù)，經(jīng)過某段時間后，存儲量消耗下降到零，此時開始訂貨并隨即到貨，然后開始下一個存儲周期，該模型適用于整批間隔進(jìn)貨、不允許缺貨的存儲問題，具體如下：年存儲成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系年需求量，B為每單位物資的年存儲費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi).某化工廠需用甲醇作為原料，年需求量為6000噸，每噸存儲費(fèi)為120元/年，每次訂貨費(fèi)為2500(1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇，求年存儲成本費(fèi)；(2)每次需訂購多少噸甲醇，可使該化工廠年存儲成本費(fèi)最少?最少費(fèi)用為多少?[解](1)因?yàn)槟甏鎯Τ杀举M(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)=其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi).由題意可得：A=6000,B=120,C事所以年存儲成本費(fèi)事若該化工廠每次訂購300噸甲醇，所以年存儲成本費(fèi)為(2)因?yàn)槟甏鎯Τ杀举M(fèi),x>0,即x=500時，取等號.所以每次需訂購500噸甲醇，可使該化工廠年存儲成本費(fèi)最少，最少費(fèi)用示通法基本不等式的綜合應(yīng)用的2類問題(1)與函數(shù)、數(shù)列等知識交匯的最值問題：此類問題常以函數(shù)、數(shù)列等知識為載體，以基本不等式為解題工具，求解最值或取值范圍.(2)求參數(shù)值或取值范圍：對于此類題目，要觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)關(guān)系式成立的條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍。講典例(1)(2019·臺州模擬)若兩個正實(shí)數(shù)x,y滿且存在這樣的x,y使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()B.(一4,1)(2)(2019·衡陽一模)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.函數(shù)y=[x](x∈R)稱為高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[-2.1]=—3,[3.1]=3.已知函數(shù)則函數(shù)y=[f(x)]的值域是()A.{0,1}B.(0(3)(2019·定遠(yuǎn)模擬)已知在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,C.D.2√5式當(dāng)且僅即x=2,y=8時取等號，∵存在x,y使不等,則函數(shù)y=[f(x)]的值域?yàn)閧0,1},故選A.故選A.]巧點(diǎn)評條件不等式的最值問題，常通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.在轉(zhuǎn)化過程中相應(yīng)知識起到穿針連線的作用.做典題1.已知a>0,b>0,若不等成立，則m的最大值為()A.9B.12即a=3b時等號成立),∴m≤12,∴m的最大值為12.]2.兩圓x+y-2my+m2—1=0和x2+y2-4nx+4n2-9=0恰有一條公切線，D[由題意可知兩圓內(nèi)切，x2+y2-2my+m2-1=0化為x2+(y-m)2=1,x23.設(shè)等差數(shù)列{a}的公差是d,其前n項(xiàng)和是S?(n∈N),若a?=d=1,則事事事當(dāng)且僅當(dāng)n=4時取等號.的最小值]全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握考點(diǎn)1.考查形式本章在高考中一般為2~3個客觀題.2.考查內(nèi)容高考中基礎(chǔ)題主要考查對基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握.主要涉及函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性、指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分段函數(shù)求函數(shù)值等.3.備考策略(1)重視函數(shù)的概念和基本性質(zhì)的理解：深刻把握函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)等概念.研究函數(shù)的性質(zhì)，注意分析函數(shù)解析式的特征，同時注意函數(shù)圖象的作用.(2)重視對基本初等函數(shù)的研究，復(fù)習(xí)時通過選擇、填空題加以訓(xùn)練和鞏固，將問題和方法進(jìn)行歸納整理.[最新考綱]1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)段).[必備知識填充]1.函數(shù)的概念函數(shù)映射兩集合設(shè)A,B是非空的數(shù)集設(shè)A,B是非空的集合對應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的一個映射記法映射f:A→B2.函數(shù)的有關(guān)概念在函數(shù)y=f(x),x∈A中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域.若A是函數(shù)y=f(x)的定義域，則對于A中的每一個x,都有一個輸出值y與之對應(yīng).所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.函數(shù)的值域可以用集合{y|y=f(x),x∈A}表示.相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).若函數(shù)在其定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但是它表示的是一個函數(shù).[常用結(jié)論][常用結(jié)論]1.常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y=a“(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.(7)y=tanx的定義域2.基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.a<0時，值域(4)y=a“(a>0且a≠1)的值域是(0,十○).(5)y=log?x(a>0且a≠1)的值域是R.一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)對于函數(shù)f:A→B,其值域是集合B.()(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù).(3)函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,2]的值域?yàn)閇0,4].()(4)若A=R,B=(0,十○),f:x→y=|x|,則對應(yīng)f可看作從A到B的映(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的.()二、教材改編1.若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()B[由函數(shù)定義可知，選項(xiàng)B正確.]2.函數(shù)的定義域?yàn)?)解得x≠3.]3.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+1D.(3,十一)是相等函數(shù)的是()且函數(shù)定義域?yàn)镽,故選B.](1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集.(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.A.(0,2)B.(0,2)故其定義域是(0,2).]的定義域?yàn)閇要使函數(shù)f(x)有意義，則(log?x)2-1>0,即log?X故所求函數(shù)的定義域b的值為∴不等式ax2+abx+b≥0的解集為{x|1≤x≤2}.可知a<0,不等式化為a(x—1)(x—2)≥0,巧點(diǎn)評求函數(shù)定義域時，對函數(shù)解析式先不要化簡，求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式.若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符合“U”連接.(如T?).a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]時的值域.解得1≤x≤3.故f(x+1)+f(x—1)的定義域?yàn)閇1,3].]f(x)的定義域?yàn)?.函數(shù)f(x—1)的定義域?yàn)閇0,2020],則函數(shù)的定義域?yàn)?-2,1)U(1,2018][∵函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)閇0,2020],∴-1≤x—1≤2019.∴函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?-2,1)U(1,2018].)O考點(diǎn)2求函數(shù)的解析式示通法求函數(shù)解析式的4種方法及適用條件先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程(組),通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù).對于形如y=f(g(x))的函數(shù)解析式，令t=g(x),從中求出x=φ(t),然后代入表達(dá)式求出f(t),再將t換成x,得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍.由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(一x)+2f(x)=2“,求f(x).所解所法二：(換元法)法三：(配湊法)(2)(解方程組法)①×2—②,得3f(x)=2*+1—2?*,即故f(x)的解析式是(1)在求函數(shù)解析式時，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域問題.求出解析式后要標(biāo)注x的取值范圍.(2)利用換元法求解析式時要注意新元的取值范圍.x2+1,函數(shù)f(x)的定義域是(0,十○),而不是(-0,十○).B[(換元法求解)得且x≠1).]A.(x+1)2B.(x—1)2C.x2—x+1D.x2+x+1把①中的x換[(解方程組法求解)聯(lián)立①②可解此方程組可4.已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求的解析式.[解](待定系數(shù)法求解)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=0,知c=又由f(x+1)=f(x)+x+1,考向1求函數(shù)值示通法解決分段函數(shù)有關(guān)問題的關(guān)鍵是“分段歸類”,即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用哪一段的解析式來解決問題.講典例(1)(2019·合肥模擬)已知函數(shù)則f(f(1))=()2)=5,f(一1)=3,則f(f(一3))=()f(-1)=a1+b=3,聯(lián)立①②,結(jié)合0得,b=1,所以則,f(f(一3))=f(9)=log?9=2,巧點(diǎn)評求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應(yīng)的解析式求值.(2)當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn).[教師備選例題]已知函數(shù)則的值為()A.—1B[依題意得2=1.故選B.]?考向2求參數(shù)或自變量的值示通法解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可.一a)=當(dāng)a>1時，由f(a)=—log?(a+1)=—3,得a+1=8,解得a=7,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=巧點(diǎn)評求解本題的關(guān)鍵是就a的取值討論f(a)的情形，另本題也可作出f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解，即f(a)=0或f(a)=-2,從而求得a的值.考向3分段函數(shù)與方程、不等式問題示通法解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類討論.如果分段函數(shù)的圖象比較容易畫出，也可以畫出函數(shù)圖象后，結(jié)合圖象求解.則不等式f(x)<0的解集是(1,4)[不等式f(x)<0等價于故不等式f(x)<0的解集為(1,4).]巧點(diǎn)評本例借助圖象較直觀地求解得出不等式的解集，另注意求解時要思考全面，需考慮變量可能落在同一區(qū)間，也可能落在不同區(qū)間的情況.[教師備選例題]設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范[根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)分情況討論，當(dāng)x≤0時，則f(x)十當(dāng)x>0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象可得，恒成立，所以x的取值范圍A.—2B.4B[由題意得2.已知函數(shù)則使f(x)=2的x的集合是()3.(2018·全國卷I)設(shè)函數(shù)則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是()大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，要使f(x+1)<f(2x),則需所以x<0,故選D.] 課外素養(yǎng)提升①數(shù)學(xué)抽象——函數(shù)的新定義問題以學(xué)習(xí)過的函數(shù)相關(guān)知識為基礎(chǔ)，通過一類問題共同特征的“數(shù)學(xué)抽象”,引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問題.【典例】(2019·深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N)個整點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù).給出下列函數(shù)：①f(x)=sin2x;②g(x)=其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是()A.①②③④B.①③④C[對于函數(shù)f(x)=sin2x,它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(diǎn)(0,0),所以它是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除D;對于函數(shù)g(x)=x3,它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0,0),(1,1),…,所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除A;對于函數(shù)它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0,1),(-1,3),…,所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除B.故選C.][評析]本題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是：緊扣新定義的函數(shù)的含義，學(xué)會語言的翻譯、新舊知識的轉(zhuǎn)化，便可使問題順利獲解.如本例，若能把新定義的一階整點(diǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過1個整點(diǎn)，問題便迎刃而解.【素養(yǎng)提升練習(xí)】1.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,則函數(shù)解析式為y=x2+1,值域?yàn)閧1,3}的同族函數(shù)有()個.]2.若定義在R上的函數(shù)f(x)當(dāng)且僅當(dāng)存在有限個非零自變量x,使得f(一x)=f(x),則稱f(x)為“類偶函數(shù)”,則下列函數(shù)中為類偶函數(shù)的是()A.f(x)=cosxB.f(x)=sinxC.f(x)=x2-2xD.f(x)=x3-2xD[A中函數(shù)為偶函數(shù)，則在定義域內(nèi)均滿足f(x)=f(一x),不符合題意；得x-2x=-x+2x,解得x=0或x=±√2,滿足題意，故選D.][最新考綱]1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).夯實(shí)基礎(chǔ)知識課前自主回顧1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?,X?定義當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)<f(x?),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)>f(x?),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的0自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義前提函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,存在x∈A條件結(jié)論f(x)為y=f(x)的最大值f(x?)為y=f(x)的最小值記法Vaan=f(x?)Vin=f(x?)[常用結(jié)論] (1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是(一0,0)U(0,十一).()(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)有f(一1)<f(3),則函數(shù)f(x)在R上為增函(3)函數(shù)y=f(x