從分數(shù)到分式教案

課題16.1.1從分數(shù)到分式教學目標知識與技能在現(xiàn)實情境中進一步理解用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感；了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，以及分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系；掌握分式有意義的條件，認識事物間的聯(lián)系。過程與方法從具體到抽象、人特殊到一般，體會類比的方法；能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，經(jīng)歷對具體問題的探索過程，進一步培養(yǎng)學符號感和觀察、猜想、類比的能力。情感態(tài)度與價值觀通過豐富的現(xiàn)實情境，使學生在已有的數(shù)學經(jīng)驗的基礎上，了解數(shù)學的價值，發(fā)展“用數(shù)學”的信心。教學重點使學生理解并掌握分式的概念知識難點正確識別分式是否有意義，通過類比，加強對分式意義的理解。教具準備投影儀、相應圖片教學環(huán)節(jié)教學過程一、創(chuàng)設問題情境、引入新課師：前面我們學過整式，但在研究許多問題時常常會遇到整式以外的式子，請看下面的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，江水的流速為多少？設江水的流速為v千米/時，則輪船順流航行100千米所用時間為eq\f(100,20+v)小時,逆流航行60千米所用時間為eq\f(60,20-v)小時,由方程eq\f(100,20+v)=eq\f(60,20-v)可以解出v的值。以上我們用了式子eq\f(60,20-v)和eq\f(100,20+v)，像這樣分母中含有字母的式子屬于分式。在這一章中，我們將學習分式及其性質、運算和應用。這將會給我們進一步研究數(shù)量關系帶來很大的方便。今天我們先學習第一節(jié)：分式16.二、講授新課活動(一)感知分式教師出示思考：1、長方形的面積10cm，長7cm,寬應為cm；長方形的面積為s，長為a，寬為2、體積為200cm3的水倒入底面積為33cm2圓柱形容器中，水面高度為cm；把體積v的水倒入底面積為s的圓柱形容器中水面高度為師生行為：學生分組討論、思考歸納；教師糾正，指出正確答案?；顒?二)歸納分式概念觀察：eq\f(S,a)、eq\f(V,S)、eq\f(100,20+v)、eq\f(60,20-v)有什么共同點？它們與分數(shù)有何異同？師生行為：教師出示問題，引導學生觀察思考、歸納，然后師生共同總結：一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫作分式.分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當B≠0時，分式eq\f(A,B)才有意義.想一想，練一練：下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？eq\f(b-3,2π),eq\f(x2,2x-1),eq\f(4,5b+c),eq\f(2,7),3x2-1,eq\f(2a,3a),eq\f(2a,3)+eq\f(1,2)b,-6師生活動：教師出示問題，學生思考，回答。方法歸納：整式與分式的區(qū)別：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母。活動(三)探究分式的意義出示思考：我們知道，除數(shù)不能為0，那么分式中的分母應滿足什么條件？師生行為：教師提出問題，學生討論、歸納。分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0。即，當B≠0時，分式eq\f(A,B)才能有意義。否則，無意義。例1填空:(1)當x時，分式eq\f(2,3x)有意義；（2）當x時，分式eq\f(x,x-1)有意義；(3)當b時，分式eq\f(1,5-3b)無意義；(4)當x,y滿足關系時，分式eq\f(x+y,x-y)無意義.師生行為：根據(jù)“分母的取值不能為0”，教師與學生互動練習，鞏固所學知識。[<板書>解：(1)當分母3x≠0；即x≠0時，分式eq\f(2,3x)有意義；余略。]鞏固練習：教科書第6頁。教師巡視指導，學生交流，完成練習，師生評價?；顒?四)課堂小結這節(jié)課我們學習了哪些知識？你能說一說嗎？師生行為：教師引導學生回憶本節(jié)課所學內(nèi)容；學生回憶、交流；教師和學生一起補充完善，使學生更加明晰所學的知識。活動(五)課后作業(yè)，學習延伸教材第10頁第1、2、3、8、13題，學習階梯練中的練習。師生行為：布置作業(yè)，學生記錄作業(yè)。板書設計：16.1.1從分數(shù)到分式一、分式的意義eq\f(S,a)、eq\f(V,S)、eq\f(100,20+v)、eq\f(60,20-v)一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫作分式.注意：(1)分式的分母不能為0；即當B≠0時，分式eq\f(A,B)才有意義.(2)分式與整式的區(qū)別：分母中是否含有字母。二、例題：三、練習四、小結：（1）用數(shù)、式通性的思想，類比分數(shù)，引導學生獨立思考、小組協(xié)作，完成對分式概念及意義的自主建構，突出數(shù)學合情推理能力的養(yǎng)成；（2）加強應用性，通過“應用新知”、“深化拓展”兩個環(huán)節(jié)，密切分式與現(xiàn)實生活及其他學科的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學應用意識，突出分式的模型思想。活動中注重運用態(tài)勢、語言對學生進行即興評價，在評價表的設計中安排多維評價：合作交流的意識與能力、數(shù)學思維能力與發(fā)展水平、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力課題16.1.2分式的基本性質三維目標知識與技能1、理解并掌握分式的基本性質；2、利用分式的基本性質對分式進行“等值”變形；3、了解分式通分、約分的步驟和依據(jù)，掌握分式通分、約分的方法過程與方法1、能類比分數(shù)的基本性質，推測出分式的基本性質；2、通過思考、研討等活動，發(fā)展學生實踐能力和合作意識。情感態(tài)度與價值觀通過類比分數(shù)的基本性質及分數(shù)的約分、通分，推測出分式的基本性質、約分和通分，在學生已有數(shù)學經(jīng)驗的基礎上，提高學生學數(shù)學的樂趣。教學重點1、分式的基本性質；2、利用分式的基本性質約分、通分。知識難點分子、分母是多項式的分式的約分和通分。教具準備電腦、課件、投影儀教學環(huán)節(jié)教學過程一、創(chuàng)設問題情境，引入新課出示問題：看如何做不同分母的分數(shù)加法。eq\f(1,2)+eq\f(1,3)=eq\f(1×3,2×3)+eq\f(1×2,3×2)=eq\f(3,6)+eq\f(2,6)=eq\f(5,6)這里將異分母化為同分母的依據(jù)是什么？師生評價：分數(shù)的基本性質：一個分數(shù)的分子、分母同乘(或除以)一個不為0的數(shù)，分數(shù)的值不變。由分數(shù)的基本性質可知，如果數(shù)c≠0，那么eq\f(2,3)=eq\f(2c,3c),eq\f(4c,5c)=eq\f(4,5)所以，一般地，對于任意一個分數(shù)eq\f(a,b)都有：eq\f(a,b)=eq\f(a·c,b·c)，eq\f(a,b)=eq\f(a÷c,b÷c)(c≠0)二、講授新課活動(一)思考：類比分數(shù)的基本性質，你能想出分式的性質嗎？怎樣用式子表示分式的基本性質？(學生分組討論、歸納)師生：分式是一般化了的分數(shù)，類比分數(shù)的基本性質，我們可以推想出分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不為零的整式，分式的值不變。分式的基本性質可用式子表示為：eq\f(A,B)=eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)=eq\f(A÷C,B÷C)(c≠0)其中A、B、C是整式。應用：我們利用分式的基本性質可以對分式進行等值變形。活動(二)出示例2填空：（1）eq\f(a+b,ab)=eq\f((),a2b),eq\f(2a－b,a2)=eq\f((),a2b)；(2)eq\f(x2+xy,x2)=eq\f(x+y,()),eq\f(x,x2－2x)=eq\f((),x－2).(學生分析，解決問題)師生互動分析：我們利用分式的基本性質，使分子和分母同乘適當?shù)恼剑蛔兎质降闹?，把eq\f(a+b,ab)和eq\f(2a－b,a2)化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.我們利用分式的基本性質，約去eq\f(x2+xy,x2)的分子和分母的公因式x，不改變分式的值，使eq\f(x2+xy,x2)化為eq\f(x+y,x),這樣的分式變形叫做分式的約分.活動(三)聯(lián)想分數(shù)的通分和約分，由上例你能想出如何對下面的分式進行通分和約分？出示例3約分：（1）eq\f(－25a2bc3,15ab2c)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9).分析：為約分要先找出分子和分母的公因式.解：（1）eq\f(－25a2bc3,15ab2c)=－eq\f(5abc·5ac2,5abc·3b)=eq\f(5ac2,3b)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)=eq\f((x+3)(x－3),(x+3)2)=eq\f(x－3,x+3).例4通分：（1）eq\f(3,2a2b)與eq\f(a－b,ab2c)；（2）eq\f(2x,x－5)與eq\f(3x,x+5).分析：為通分要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，它叫做最簡公分母.解：（1）最簡公分母是2a2b2c.eq\f(3,2a2b)=eq\f(3·bc,2a2b·bc)=eq\f(3bc,2a2b2c),eq\f(a－b,ab2c)=eq\f((a－b)·2a,ab2c·2a)=eq\f(2a2－2ab,2a2b2c).（2）最簡公分母是(x－5)(x+5).eq\f(2x,x－5)=eq\f(2x(x+5),(x－5)(x+5))=eq\f(2x2+10x,x2－25),eq\f(3x,x+5)=eq\f(3x(x－5),(x+5)(x－5))=eq\f(3x2－15x,x2－25).活動(四)1、思考：分數(shù)和分式在約分和通分的做法上有什么共同特點？根據(jù)什么原理？(師生行為：學生思考、分組討論)(教師在學生回答的基礎上，強調：分式的約分和通分的依據(jù)是分式的基本性質。)2、課堂練習：教科書第10頁練習1、2三、課堂小結1、掌握分式的基本性質；2、學會分式的約分方法。(學生思考，分組討論交流)四、課后作業(yè)教科書：第11頁內(nèi)容五、附板書設計：16.1.2分式的基本性質(2)一、教學目標1．使學生理解并掌握分式的基本性質及變號法則，并能運用這些性質進行分式的恒等變形．2．通過分式的恒等變形提高學生的運算能力．3．滲透類比轉化的數(shù)學思想方法．二、教學重點和難點1．重點：使學生理解并掌握分式的基本性質，這是學好本章的關鍵．2．難點：靈活運用分式的基本性質和變號法則進行分式的恒等變形．課題16.2.1分式的乘除(一)三維目標知識與技能類比分數(shù)乘除法的運算法則，探索分式乘除法的運算法則；在分式乘除運算過程中，體會因式分解在分式乘除法中的作用，發(fā)展有條理的思考和語言表達能力；用分式的乘除法解決生活中的實際問題，提高“用數(shù)學”的意識。過程與方法在學生積極思考，參與活動的過程中，采用引導、啟發(fā)、探求的方法，使學生理解掌握分式乘除法的運算法則，并會進行乘除法的運算。情感態(tài)度與價值觀1、通過師生共同交流、探討，使學生在掌握知識的基礎上，認識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，獲得成就感。2、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應用數(shù)學的意識。教學重點掌握分式乘除法的法則及其應用。知識難點分子、分母是多項式的分式的乘除法的運算。教具準備電腦、課件、投影儀教學環(huán)節(jié)教學過程一、創(chuàng)設問題情境，引入新課問題1：一個長方體容器的容積為V，底面的長為a，寬為b，當容器內(nèi)的水占容積的eq\f(m,n)時，求高為多少？問題2：大拖拉機m天耕地a公頃，小拖拉機n天耕地b公頃，大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍？(師生行為：教師提出問題，學生思考)二、講授新課(一)類比分數(shù)乘除法法則，歸納分式乘除法法則觀察：eq\f(3,5)×eq\f(10,9)=eq\f(3×10,5×9)=eq\f(30,45)=eq\f(2,3)eq\f(3,5)÷eq\f(10,9)=eq\f(3,5)×eq\f(9,10)=eq\f(3×9,5×10)=eq\f(27,50)想一想：1、這兩個算式用到了哪些法則？2、類比分數(shù)的乘除法法則，你能說出分式的乘除法法則嗎？(師生行為：學生分組討論、歸納，教師引導、說明)歸納：類似分數(shù)的乘除法法則，分式的乘除法法則如下：乘法法則分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母。除法法則分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。上述法則可以用式子表示為eq\f(a,b)·eq\f(c,d)=eq\f(a·c,b·d),eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)=eq\f(a,b)·eq\f(d,c)=eq\f(a·d,b·c)。(二)例題教學例1計算：（1）eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)；(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd).解:（1）eq\f(4x,3y)·eq\f(y,2x3)=eq\f(4xy,6x3y)=eq\f(2,3x2).(2)eq\f(ab3,2c2)÷eq\f(－5a2b2,4cd)=eq\f(ab3,2c2)·eq\f(4cd,－5a2b2)=－eq\f(4ab3cd,10a2b2c2)=－eq\f(2bd,5ac).例2計算：（1）eq\f(a2－4a+4,a2－2a+1)·eq\f(a－1,a2－4)；(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m).解:（1）eq\f(a2－4a+4,a2－2a+1)·eq\f(a－1,a2－4)=eq\f((a－2)2,(a－1)2)·eq\f(a－1,(a－2)(a+2))=eq\f((a－2)2(a－1),(a－1)2(a－2)(a+2))=eq\f(a－2,(a－1)(a+2))(2)eq\f(1,49－m2)÷eq\f(1,m2－7m)=－eq\f(1,m2－49)·(m2－7m)=－eq\f(m(m－7),(m+7)(m－7))=－eq\f(m,m+7)(師生行為：教師展示問題，學生嘗試解答，并互相交流、總結，歸納解題步驟，教師結合學生的具體活動，加以指導；通過分析，學生可以靈活運用運算法則來解題)教師強調注意事項：將算式對照乘除法法則進行運算；強調運算結果如果不是最簡分式時，一定要進行約分，使運算結果化為最簡分式或整式。當分子、分母是多項式時，一般應先分解因式，并在運算過程中約分，可以使運算簡化，避免走彎路。例3“豐收1號”小麥的實驗田是邊長為a的正方形減去一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的實驗田是邊長為（a－1）米的正方形，兩塊實驗田的小麥都收獲了500千克。哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？(新P15)解：（1）“豐收1號”小麥的實驗田面積是(a2－1)米2，單位面積產(chǎn)量是eq\f(500,a2－1)千克/米2；“豐收2號”小麥的實驗田面積是(a－1)2米2，單位面積產(chǎn)量是eq\f(500,(a－1)2)千克/米2.∵0<(a－1)2<a2－1,∴eq\f(500,a2－1)<eq\f(500,(a－1)2).“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量高.(2)eq\f(500,(a－1)2)÷eq\f(500,a2－1)=eq\f(500,(a－1)2)·eq\f(a2－1,500)=eq\f((a+1)(a－1),(a－1)2)=eq\f(a+1,a－1).“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號”小麥的單位面積產(chǎn)量的eq\f(a+1,a－1)倍.(師生行為：教師提出問題；學生分組討論，解答問題，教師參與討論，并作指導)(三)隨堂練習：教科書第16頁的練習2、3(可讓兩名學生板演)(師生行為：學生分組討論其解法，并找尋規(guī)律。教師深入小組，給予適當?shù)膸椭椭笇?，并引導學生注意運算法則的應用。)三、課堂小結與作業(yè)1、學生歸納總結本節(jié)課的主要內(nèi)容，交流在探索分式的乘除法法則過程的心得和體會，不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗。2、布置作業(yè)：教科書第27頁習題16.21、2題。四、板書設計：課題16.2.1分式的乘除(二)三維目標知識與技能1．能應用分式的乘除法法則進行混合運算；2．了解分式的乘方的意義及其運算法則；過程與方法1．能靈活應用分式的乘除法法則進行分式的乘除混合運算；2．在進一步體會冪的意義的過程中，發(fā)展學生的推理能力及有條理的表達能力。情感態(tài)度與價值觀在發(fā)展推理能力和有條理的表達能力的同時，體會學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學習數(shù)學的信心。教學重點分式乘方的運算法則及其應用。教學難點分式乘方的運算法則。教具準備電腦、課件、投影儀教學環(huán)節(jié)教學過程一、復習鞏固：1．提問：分式的乘除法法則內(nèi)容是什么？2．計算：(1)eq\f(a+2,a－2)·eq\f(1,a2+2a)(2)3xy2÷eq\f(6y2,x)(3)eq\f(2x,5x－3)÷eq\f(3,25x2－9)·eq\f(x,5x+3)師生行為：學生獨立完成，并展示其分式乘方要把分子分母分別成方。例5計算：(1)(eq\f(－2a2b,3c))2；(2)(eq\f(a2b,－cd3))3÷eq\f(2a,d3)·(eq\f(c,2a))2.解:(1)(eq\f(－2a2b,3c))2=eq\f((－2a2b)2,(3c)2)=eq\f(4a4b2,9c2).(2)(eq\f(a2b,－cd3))3÷eq\f(2a,d3)·(eq\f(c,2a))2=eq\f(a6b3,－c3d9)÷eq\f(2a,d3)·eq\f(c2,4a2)=eq\f(a6b3,－c3d9)·eq\f(d3,2a)·eq\f(c2,4a2)=－eq\f(a3b3,8cd6).同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母分式相加減，，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。上述法則可用式子表示為eq\f(a,c)±eq\f(b,c)=eq\f(a±b,c),eq\f(a,b)±eq\f(c,d)=eq\f(ad,bd)±eq\f(bc,bd)=eq\f(ad±bc,bd).例6計算：(1)eq\f(5x+3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2)；(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p－3q).解:(1)eq\f(5x+3y,x2－y2)－eq\f(2x,x2－y2)=eq\f(5x+3y－2x,x2－y2)=eq\f(3x+3y,x2－y2)=eq\f(3,x－y).(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p－3q)=eq\f(2p－3q,(2p+3q)(2p－3q))+eq\f(2p+3q,(2p+3q)(2p－3q))=eq\f(2p－3q+2p+3q,(2p+3q)(2p－3q))=eq\f(4p,4p2－9q2).例7在圖16.2-2的電路中，已測定CAD支路的電阻是R1歐姆，又知CBD的電阻R2比R1大50歐姆，根據(jù)電學有關定律可知總電阻R與R1、R2滿足關系式eq\f(1,R)=eq\f(1,R1)+eq\f(1,R2)，試用含有R1的式子表示總電阻R.解：∵eq\f(1,R)=eq\f(1,R1)+eq\f(1,R2)=eq\f(1,R1)+eq\f(1,R1+50)=eq\f(R1+50,R1(R1+50))+eq\f(R1,R1(R1+50))=eq\f(2R1+50,R1(R1+50)).即eq\f(1,R)=eq\f(2R1+50,R1(R1+50)).∴R=eq\f(R1(R1+50),2R1+50)=eq\f(R12+50R1,2R1+50).例8計算：(eq\f(a,b))2·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)÷eq\f(b,4).解：(eq\f(2a,b))2·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)÷eq\f(b,4)=eq\f(4a2,b2)·eq\f(1,a－b)－eq\f(a,b)·eq\f(4,b)=eq\f(4a2,b2(a－b))－eq\f(4a,b2)=eq\f(4a2,b2(a－b))－eq\f(4a(a－b),b2(a－b))=eq\f(4a2－4a2+4ab,b2(a－b))=eq\f(4ab,b2(a－b)).例9計算：(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)(a－1b2)3=a－3b6=eq\f(b6,a3).(2)a－2b2·(a2b－2)－3=a－2b2·a－6b6=a－8b8=eq\f(b8,a8).例10下列等式是否正確？為什么？(1)am÷an=am·a－n；(2)(eq\f(a,b))n=anb－n.解：(1)∵am÷an=am－n=am+(－n)=am·a－n.∴am÷an=am·a－n.(2)∵(eq\f(a,b))n=eq\f(an,bn)=an·eq\f(1,bn)=anb－n.∴(eq\f(a,b))n=anb－n.例11納米是非常小的長度單位，1納米=10－9米.把1納米的物體放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空間可以放多少個1立方納米的物體？解：1毫米=10－3米，1納米=10－9米.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018.1立方毫米的空間可以放1018個1立方納米的物體.分式的加減法(一)教學目標(一)知識與技能目標1、會進行簡單分式的加減運算，具有一定的代數(shù)化歸能力．2、引導學生不斷小結運算方法和技巧，提高運算能力．