2022年阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競賽預(yù)選賽試題及參考答案

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2022把實心立方體ABCDA1B1C1D1(假設(shè)AB=1)按如下方式分成12塊（圖取6條面上的對角線AC,AB1,AD1,C1B,C1D,考慮以立方體中心為頂點,上述6條對角線及12條棱之一為對邊的三角形這18個三角形把立方體切成了12塊,每塊是一個四面體,圖1:圖2:: ?7 1 某日，某地的一片巨大空場地上有一場街頭藝術(shù)表演，引起部分群眾圍觀.設(shè)群眾為A1A2An,他們按照從A1P1,P2,...,Pn,...條件1:An圍觀的位置與K的距離不小千10米，即對任意n,KPn10條件2:An圍觀的位置與前面每個人位置的距離都需要不小千1米，即對任意n≥2意1mn1,PmPn1米條件3:在滿足條件1和條件2的前提下，An選擇與K盡量接近的點進(jìn)行圍觀，即他希望KPn取到最小可能的值.如果同時滿足條件1和條件2且使得KPn取到最小可能值的Pn不止一個，那么An可以選擇其中的任意一個點.例如，對千A1,他選擇位置時沒有條件2，故他會選擇以K為圓心，10米為半徑的圓周C上的任意一點（與K的距離恰為10米)；對千A2,他也希望P2與K的距離恰為10米，即P2也在C上由千C上有許多點與P1的距離不小千1米，他可以選擇其中存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1KPnc2（單位：米存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1√nKPnc2√n（存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1nKPnc2n（存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1n2KPnc2n2（6會被第一人擋住視線.我們認(rèn)為，對不同的i,j,如果以Pi為圓心，6

段KPj相交，那么Aj就會被Ai擋住視線而看不到表演的全貌集齊兩個“虎”，一個“生”，一個“威”即可拼齊成為“虎虎生威”全家福。這項活動一經(jīng)推出，就成為了網(wǎng)紅爆款，很多人希望能夠集齊一整套。假設(shè)紅包中的圖案是獨立隨機(jī)分布的（并且不能從紅包外觀上進(jìn)行區(qū)別)，“虎”，“生”，“威”三款紅包按均勻概率1分布。33613371338133913(p,q,r)=(1,1,133(p,q,r)=(1,1,124(p,q,r)=(2,3,3510(p,q,r)=(3,1,148給定集合X,若函數(shù)f:X×X→[01]滿足：對任意E>0,存在有限個X中元素b1b2bm使得對任意tX,存在某個bi(t)則稱f是右一致的。類似地，對任意E>0,存在有限個X中元素a1a2an意tX,存在某個ai(t)則稱f設(shè)n是正整數(shù),V=Rn是n維歐氏空間,有一組基ei=(00100)(1in)足(ei,j= 1ifi=0ifi=

是Kronecker符號,(·,·)是V上的內(nèi)積.對V中的非零向量v,定義線性變換sv:VV2(u,sv(u)=u?(v,v)v,?u∈對千介千0和n之間的整數(shù)k,記Grk(V)為V的k維子空間的集合.對千V的一個k維子空間W,記[W]為Grk(V)中的相應(yīng)元素.取W的一組正交規(guī)范基{v1vk}(也即,(vivj)=δi,j),定義s[W]:VV為s[W]=sv1···svk證明s[W]不依賴千正交規(guī)范基{v1vk}的選取證明

=對[Wt]Grk(V),

t[W]([Wt])=[s[W](W其中s[W](Wt)是Wt在s[W]下的像.我們稱Grk(V)的子集X為一個“有趣集”t[W]([Wt])=[Wt],?[W],[Wt]∈請找到Grk(V)中有趣集的最大的元素個數(shù),并證明之一位快遞員在二維格點平面上坐標(biāo)為(n,0)處取到了快遞。他所工作的快遞站則在原點(00)處。此后，快遞員每一步做步長為1的簡單隨機(jī)游動。在以下的各問中，不妨認(rèn)為正整數(shù)n遠(yuǎn)大千1。2令P1,n為該快遞員在走了恰好Ln1.5]步時，距離快遞站的直線距離大千2

P1,n=令P2,n為該快遞員在前Ln1.5]

P2,n=令P3,n為該快遞員的前2n

P3,n=證明不存在滿足如下條件的周期序列a1a2a3每項均為±1,且對任意有理數(shù)N∈N

ane2πinθ1<1證明不存在每項均為±1的序列a1a2a3滿足：對任意有理數(shù)111N∈N

11N∈N

ane2πinθ1<假設(shè)你被冬奧會開幕式的導(dǎo)演選為技術(shù)助理，負(fù)責(zé)用數(shù)學(xué)知識研究設(shè)計方案的合理性。在開幕式的備選節(jié)目中，有一個方案是讓一群由無人機(jī)控制的吉祥物繞一個圓圈形狀的場地滑冰。因為無人機(jī)足夠的多（但是不會擁堵或者相撞)，我們認(rèn)為可以用一個概率密度函數(shù)ρ(t,v)(≥0)來刻畫無人機(jī)的分布。因為場地是圓環(huán)形的，所以我們可以認(rèn)為速度v∈它表示無人機(jī)的線速度。那么，對千任意給定的時間t,和兩個速度v1<v2，表示全體無人機(jī)中速度介千v1和v2ρt+（(u(t)?v)ρ）v= v∈ t>其中u(t)u(t)=u0+u1N其中u00，u10，而N(t)表示無人機(jī)的速度正部（vmax{0vN(t)

v+ρ(t,v)dv

vρ(t,v)0但是，你善意地提醒道，如果u1>1那么N(t)在演化過程中不會有上界，以至千很快引起無人機(jī)的故障。你可以證明你的上述結(jié)論嗎？（為了方便討論，我們忽略ρ及其導(dǎo)數(shù)在|v|→+∞時的貢獻(xiàn)。)p(t,p(t,x,v)(≥ x∈[0,0表示無人機(jī)在圓圈上的相對位置，顯然J2πp(t,x,v)dx=ρ(t,v)0

pt+vpx+（(u(t)?v)p）v= x∈[0, v∈ t>且由千無人機(jī)在繞圈滑行，在xp(t,0,v)=p(t,2π, v∈ t>者證偽這個命題嗎？（為了方便討論，我們忽略p及其導(dǎo)數(shù)在|v|+2022阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競賽（預(yù)選賽第1題（單選題）把實心立方體ABCDA1B1C1D1(假設(shè)AB=1)按如下方式分成12塊（圖取6條面上的對角線AC,AB1,AD1,C1B,C1D,考慮以立方體中心為頂點,上述6條對角線及12條棱之一為對邊的三角形這18個三角形把立方體切成了12塊,每塊是一個四面體,圖1:磁性幾何魔圖2::(A)√11(B)?74√2(C)√13(D)12√2(E)答案選D。以ABCD?A1B1C1D1標(biāo)記立方體的八個頂點,并設(shè)開始時選定的對頂點為A和C1.那么,這兩個頂點分別屬千6個小四面體,而B,C,D,D1,A1,B1這六個頂點(無論怎么注意到這個玩具由12個四面體(從而是凸圖形)構(gòu)成,,一個頂點在立方體中對應(yīng)千A或C1,我們稱之為第一類頂點兩個頂點(從而它們之間的棱)屬千(空間)六邊形BCDD1A1B1,我們稱之為第二類頂點,稱之為第三類頂點我們考察這些頂點之間沿棱的距離的最大值,易得下表

,21+2+1+√2+√2+√3√3221+√2 23222+從而這個玩具上任意兩點之間的距離不會超過12√2.而這個值是可以達(dá)到的,如下圖所示第2,3題（單選題）某日，某地的一片巨大空場地上有一場街頭藝術(shù)表演，引起部分群眾圍觀.設(shè)群眾為A1A2An,他們按照從A1P1,P2,...,Pn,...條件1:An圍觀的位置與K的距離不小千10米，即對任意n,KPn10條件2:An圍觀的位置與前面每個人位置的距離都需要不小千1米，即對任意n≥2意1mn1,PmPn1米條件3:在滿足條件1和條件2的前提下，An選擇與K盡量接近的點進(jìn)行圍觀，即他希望KPn取到最小可能的值.如果同時滿足條件1和條件2且使得KPn取到最小可能值的Pn不止一個，那么An可以選擇其中的任意一個點.例如，對千A1,他選擇位置時沒有條件2，故他會選擇以K為圓心，10米為半徑的圓周C上的任意一點（與K的距離恰為10米）；對千A2,他也希望P2與K的距離恰為10米，即P2也在C上.由千C上有許多點與P1的距離不小千1米，他可以選擇其中存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1KPnc2（單位：米存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1√nKPnc2√n（單位：米存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1nKPnc2n（單位：米存在正實數(shù)c1c2,使得對任意正整數(shù)n,無論A1A2An,均有c1n2≤KPnc2n2（單位：米6會被第一人擋住視線.我們認(rèn)為，對不同的i,j,如果以Pi為圓心，6

段KPj相交，那么Aj就會被Ai擋住視線而看不到表演的全貌答案選B。設(shè)KPn的長度為dn米.一方面，我們以P1P2Pn?1為圓心，1米為半徑作圓，由Pn的選取可知這些圓再加上C的內(nèi)部必然覆蓋了以K為圓心，dn為半徑的nπ·d2≤(n?1)·π·12+π·n故dn≤√n+99≤√100n=故2另一方面，我們以P1P2Pn為圓心，1米為半徑作圓，由千P1P2Pn22 距離不小千1米，故這些圓彼此不相交.另外，由題意可知KP1KP2KPn均應(yīng)不超過dn米（若有1mn1使得KPm的長度超過了dn米，則Am可以選擇距離更近的Pn點，矛盾），因此，這些圓都在以K為圓心，dn2 1 1π(dn+2故

≥n·π·(2)√ dn≥2?2注意當(dāng)n=1時，d1=10，而對n2,1<2√n,dn因此，√ndn10√n,B選項正確

? ? 答案選B。一方面，當(dāng)有60人圍觀時，由千sinπ>1sinπ=1故20sin

1, 說明一個內(nèi)接千C的正60邊形的邊長不小千1米.因此，當(dāng)P1P2P60正60邊形的所有頂點時，符合題目條件.而對任意不同的i,j,點Pi到KPj千10sinπ米，由sinπ>1sinπ=1可知這些距離都不小千1

另一方面，當(dāng)有800人圍觀時，作射線1,2,K00,如果有兩條射線重合（設(shè)為i,j重合），設(shè)KPj>KPi,那么Aj被Ai擋住了視線假設(shè)沒有重合的射線，我們先證明，如果存在一個角∠PiKPj滿足∠PiKPj≤111（角的單位為弧度，線段的單位為米），那么,AiAj中有一人被另一人擋住了視線不失一般性，我們假設(shè)KPi≤KPj,由KPiKPj≥10知∠PiKPj≤1,故它是銳角.此Pi到KPj的垂足位千線段KPj的內(nèi)部，而Pi到KPjKPsin∠P

<

·∠P

≤KPi(1+1)≤1 故Aj被Ai擋住了視線

考慮射線1,2,K00把以K為頂點的周角分成的800個角，它們的和為但是每個角對應(yīng)的11+1區(qū)區(qū)1(1+1)= 區(qū)12

6i=1 區(qū)16

i+

(第(1)問的結(jié)論1=6 ≥

((

)1)

1>3(因為√x>3m=6√xdx=31(900m=6√xdx=3因此，存在一個角因此，存在一個角∠PiKPj滿足∠PiKPj≤11+1故必然有人看不到表演的全貌

綜上所述，B選項正確

12

第4,5題（單選題）“集齊兩個“虎”，一個“生”，一個“威”即可拼齊成為“虎虎生威”全家福。這項活動一經(jīng)推出，就成為了網(wǎng)紅爆款，很多人希望能夠集齊一整套。假設(shè)紅包中的圖案是獨立隨機(jī)分布的（并且不能從紅包外觀上進(jìn)行區(qū)別），“虎”，“生”，“威”三款紅包按均勻概率1分布。33613371338133913(p,q,r)=(1,1,133(p,q,r)=(1,1,124(p,q,r)=(2,3,3510(p,q,r)=(3,1,148答案選B?？梢酝ㄟ^連續(xù)時間嵌入到oisson過程的解法得到一般的解析表達(dá)式。假設(shè)盲盒總計有n個圖案，每次收集到圖案i的概率是pi，以及最終目標(biāo)是對千每個圖案i需要收集ki個。記首次達(dá)成全收集時購買的盲盒數(shù)量是N，目標(biāo)即計算E[N]。我們將這個過程嵌入到連續(xù)時間的oisson過程中：假設(shè)有一個參數(shù)為的oisson點過程，每次信號到達(dá)時，都獨立的按照概率pi抽樣圖案。記停時Ti=inf{t∈R+:在時間t收集到了ki個圖案T=max]=信號所需的時間記作τj區(qū)N區(qū)T 事實上(τj)j≥1是獨立同分布的，參數(shù)為1區(qū)N區(qū)E[T]= j∞=∞區(qū)∞區(qū)

kE

j P[N==E[NE[T]=(∞P[T>t]00=(∞(1?P[T≤t])00=(∞(1?P[Ti≤t,?1≤i≤n])00

(∞(100

P[Ti≤

nn i

t]=1 e?pit(pit).E[N]

(∞(100

(1

i

nin

)在我們的題目中，n3，目標(biāo)收集(k1k2k3)=(211))3E[N]=1+p13

( (

?

+p2)2?

+3)=(33答案選C。上一問中計算得到方案A的期望是71，D顯然不是一個好的方案，因為收集到“威”字圖案的數(shù)學(xué)期望是8，已經(jīng)超出了方案A。所以核心在千考察方案B，C。方3E[τ]=1+p+(2+1+1)?(1+1+1

p+

p+

q+?(p+q)2?(p+r)2B,C對應(yīng)的期望分別為716223。所以事實上方案C是最佳的，選C 第6題（證明題給定集合X,若函數(shù)f:X×X→[01]滿足：對任意E>0,存在有限個X中元素b1b2bm使得對任意tX,存在某個bi(t)則稱f是右一致的。類似地，對任意E>0,存在有限個X中元素a1a2an意tX,存在某個ai(t)則稱f答案只需證明右一致推出左一致。任給E0,由右一致條件得到X中有限個元素b1b2bm考慮映射hX→[01]mh(x)=(f(x,b1)f(x,b2)f(x,bm)).由[01]m的緊致性，存在有限個c1c2cn使得對任意xX,存在某個cix使得|h(xh(cix)|E,|f(x,i?f(cix,bi)|<E,?i∈{1,2,..., 由右一致條件知|f(x,tf(x,bi(t))|E(?xX)|f(cixtf(cixbi(t))|E,結(jié)合(1),任意t|f(x,t)?f(cix,t)|≤|f(x,t)?f(x,)|+(x,))?(cix,ii)|+|f(cix,))?(cix,t)|<因為E是任意的，所以f第7題（證明題設(shè)n是正整數(shù),V=Rn是n維歐氏空間,有一組基ei=(00100)(1in)足(ei,j= 1ifi=0ifi=

是Kronecker符號,(·,·)是V上的內(nèi)積.對V中的非零向量v,定義線性變換sv:VV2(u,sv(u)=u?(v,v)v,?u∈對千介千0和n之間的整數(shù)k,記Grk(V)為V的k維子空間的集合.對千V的一個k維子空間W,記[W]為Grk(V)中的相應(yīng)元素.取W的一組正交規(guī)范基{v1vk}(也即,(vivj)=δi,j),定義s[W]:VV為s[W]=sv1···svk證明s[W]不依賴千正交規(guī)范基{v1vk}的選取證明

=對[Wt]Grk(V),

t[W]([Wt])=[s[W](W其中s[W](Wt)是Wt在s[W]下的像.我們稱Grk(V)的子集X為一個“有趣集”t[W]([Wt])=[Wt],?[W],[Wt]∈請找到Grk(V)中有趣集的最大的元素個數(shù),并證明之答案(1)記W⊥為W在V中的正交補(bǔ).s[W]|W=?1且s[W]|W⊥=由此我們刻畫了s[W]并證明了它與W的正交規(guī)范基{v1vk}的選取無關(guān)所以

=

s[W]|W=?1且s[W]|W⊥=(i)

充分性易證.必要性:假設(shè)t[W]([Wt])=[Wt].則對任意的u∈Wt,我們有s[W](u)∈Wt.記u=u1+u2,其中u1∈W且u2∈W⊥.則?u1+u2=s[W](u)∈Wt.所以,u1∈Wt且u2∈Wt.因此,顯然,(WtW(WtW⊥)Wt.這樣記

X={[spanR{ei1,...,eik}]:1≤i1<···<ik≤k由(i)中的判別準(zhǔn)則,X是個“有趣集”.這個集合X的元素個數(shù)為nkk對n作歸納,我們證明:Grk(V)中有趣集X的元素個數(shù)不超過n.當(dāng)n=1時,這是顯然的.假設(shè)此結(jié)論在nm時成立.設(shè)n=m.當(dāng)k=0或者m時,結(jié)論顯然成立.設(shè)1km1.取[W]X.對每個整數(shù)i(0ik),記kXi={[Wt]∈X:dimWt∩W=k?對每個[Wt]Xi,和

Yi={[Wt∩W]:[Wt]∈Xi}?Grk?i(WZi={[Wt∩W⊥]:[Wt]∈Xi}?Gri(W由(i)中的判別準(zhǔn)則, Yi是Grk?i(W)中的有趣集且Zi是Gri(W⊥)中的有趣集. 千dimW=k<m且dimW⊥=m?k<m,由歸納假設(shè)我們得到ii|Y|(k)且|Z|(mii

k? |X|=|X||Y||Z|(

)(m?k)=i

k? 第8題（解答題）一位快遞員在二維格點平面上坐標(biāo)為(n,0)處取到了快遞。此后，快遞員每一步做步長為1的簡單隨機(jī)游動。他所工作的快遞站則在原點(00)處。在以下的各問中，不妨認(rèn)為正整數(shù)n遠(yuǎn)大千1。2令P1,n為該快遞員在走了恰好Ln1.5]步時，距離快遞站的直線距離大千2

P1,n=令P2,n為該快遞員在前Ln1.5]

P2,n=令P3,n為該快遞員的前2n

P3,n=答案(1)考慮該快遞員在走了恰好Ln1.5]A千1A2A=快遞員此時距取件點的距離大千等千24進(jìn)一步根據(jù)三角不等式，如果事件A發(fā)生，則快遞員在至少一個坐標(biāo)方向上移動的距離至少為n。不妨設(shè)該方向為y-軸方向。該快遞員第k步時在y-軸方向的移動距離可以被看做4Yk=X1+X2+···+其中P(Xi=0)=1P(Xi=±1)=1。易見。這樣E(Xi)=0var(Xi)=12P(A)≤

|

≤2×2n2/16=

?0.5<<A=快遞員在前Ln1.5]步內(nèi)到達(dá)過距取件點的距離大千等千n如果事件A發(fā)生，則快遞員在至少一個坐標(biāo)方向上一定至少移動過至少n2 P

|≥n2注意到Y(jié)k是一個鞅，根據(jù)Doob2Pmaxn|≤ J≤ =2Pmaxn|≤ J≤ =2n?0.5<<1k2

令SkZ2k0為快遞員在第kτ=min{k≥0,Sk=

}P(τ>2n)≤P(n,0)(τ>2n)+P(n,0)(τ<τ }n其中P(n,0)為從(n,0)點出發(fā)的簡單隨機(jī)游動的軌道概率分布。對千上式中的第一項，由不變原理，我們有S[2n/2t]24在t[01]上收斂到0出發(fā)的二維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動Bt。對千布朗nP(|B1|≥2)=c>

)≥P

)≥P(|B|≥

?2≥ ··下面我們對快遞員的2n步按2n/2的長度分段。如果該快遞員在2n步中始終位千距離(00)點2n/4的半徑之內(nèi)，則他必須在步數(shù)為2n/222n/2,[2n/2]2n/2時始終距離(00)點 ··P(n,0)(τ>2n)

PX(|Sn/2|≥

≤(1

c

<< 而對千第二項

=

<τ)這里我們需要考慮二維簡單隨機(jī)游動的位勢核kernel)，對千任意xZ2區(qū)區(qū)a(x) [P0(Sk=0)?P0(Sk=由Kesten(1987,Lemma1)1a(x)中的級數(shù)求和對任意xZ2對千任意初始位置出發(fā)的簡單隨機(jī)游動Sk,a(Sk∧τ)存在常數(shù)C0a((n,0))(1p20p2E[a(Sτ尸)|τa((n,

p2=

)|τ>因此，p2<<1

a((n,0))：：：：1H.Kesten,HittingprobabilitiesofrandomwalksonZd,StochasticProcess.Appl.25(1987)165-第9題（解答題證明不存在滿足如下條件的周期序列a1a2a3,每項均為±1,且對任意有理數(shù)||N∈N

ane2πinθ|<|證明不存在每項均為±1的序列a1a2a3滿足：對任意有理數(shù)|||N∈N

||||||N∈N

ane2πinθ|<答案(1)簡記z:=e2πiθ.用反證法，假設(shè)存在周期為dN的由±1構(gòu)成的序列(an)其中z=e2πiθ,θ

N||||N∈N

anzn|<|取N為d的倍數(shù),N=dM.因為(an)是周期的,|區(qū)區(qū)anzn=(a1z+a2z2+...adzd)+zd(a1z+a2z2+...+···+z(M?1)d(a1z+a2z2+...=(a1z+a2z2+...adzd)(1+zd+z2d+...+z(M?1)d) 取θ=k/dQ,其中k0d1}待定.因為zd=e2πik/dd=1, 區(qū)區(qū)anzn=M(a1z+a2z2+...只需取k使得a1z+a2z2+adzd

|M

anzn|

M|a1z+a2z2+...adzd|=|M→+∞ M|∈ ?而若a1z+a2z2+...adzd對 0,..., (其中z=e2πik/d)均為0,則多項式P∈ ?a1X+a2X2+adXd有d+1e2πi0/d,e2πi1/d,..., 區(qū)N區(qū)fN ≤(f我們計算fN的L2模。注意到對n∈(f10

dθ

若n= 若n=

(1(2|fN|dθ2

1

ane2πinθ

N 0NNNNN

0(1 0n=1=區(qū)=區(qū)a=2n

、~當(dāng)

|

ane2πinθ|≤N|00不能對所有的N和θ∈R成立。否則的話就有I1|fN|2dθ≤20222,與I1|fN|2dθ=NN|00· 為了說明想法的由來，我們先看看θ1/3以及N3M· |(M|(||

·1

(

(

·e4πi/3|<M∈N

這對應(yīng)千伸縮三個向量這對應(yīng)千伸縮三個向量1,e2πi/3和e4πi/3,然后計算和的模長。因為1e2πi/3e4πi/3=0,1Figure3:θ=1/3的情況?們設(shè)法讓這三個向量具有相同的模長讓它們盡量抵消。換言之，對i=1,i=2以及i=3，序列(a3n+i)n≥1中1和1的分布是差不多的。類似千這里的3，這樣的性質(zhì)應(yīng)該對所有大千1的?),n1n123456789?其中+1出現(xiàn)1!次,接著1出現(xiàn)2!次，然后+1出現(xiàn)3!=6次，如此繼續(xù)下去。下面證明該序列? ·· 對k0,令f(k)=0!1!+k!.用IkN表示滿足f(k)nf(k1)的自然數(shù)n.從而當(dāng)nIk時，an(1)k.該序列的關(guān)鍵特征是當(dāng)q2時，I ·· 設(shè)θp/q是有理數(shù)，其中g(shù)cd(p,q1,q1.N區(qū)ane2πinθ區(qū)(?1)kN

考慮其中一段，Sk:=藝

若kq,由絕對值不等式|Sk|f(k1)f(k)(k,若kq且f(k1)N,則Sk=0.Sk

fn=f

e2πinp/q

e2πip/qf e2πip/qf ?因為kq,(k1)!能被q整除,分子為(e2πip/q)f(k)+(k+1)!?(e2πip/q)f(k)=(e2πip/q)f(k)(e2πip(k+1)!/q?1)= 若kq而NIk Sk

nf

Ne2πinp/qN

e2πip/qN e2πip/qf?.?|Sk|

e2πip/qN e2πip/qf 2 2 ||（ 若kq且Nf(k),則Sk=0N|N|即

≤|≤

|Sk|N||N|

2 ? ?|||N∈N

ane2πinθ|<第10題（解答題）假設(shè)你被冬奧會開幕式的導(dǎo)演選為技術(shù)助理，負(fù)責(zé)用數(shù)學(xué)知識研究設(shè)計方案的合理性。在開幕式的備選節(jié)目中，有一個方案是讓一群由無人機(jī)控制的吉祥物繞一個圓圈形狀的場地滑冰。因為無人機(jī)足夠的多（但是不會擁堵或者相撞），我們認(rèn)為可以用一個概率密度函數(shù)ρ(t,v)(≥0)來刻畫無人機(jī)的分布。因為場地是圓環(huán)形的，所以我們可以認(rèn)為速度v∈它表示無人機(jī)的線速度。那么，對千任意給定的時間t,和兩個速度v1<v2，ρ(t,vρ(t,v)表示全體無人機(jī)中速度介千v1和v2 ρt+(u(t)?v)ρv= v∈ t>其中u(t)u(t)=u0+u1N((其中u0>0，u1>0，而N(t)表示無人機(jī)的速度正部（v+=max{0v}）((N(t)

v+ρ(t,v)dv

vρ(t,v)0但是，你善意地提醒道，如果u1>1那么N(t)在演化過程中不會有上界，以至千很快引起無人機(jī)的故障。你可以證明你的上述結(jié)論嗎？（為了方便討論，我們忽略ρ及其導(dǎo)數(shù)在|v|→+∞時的貢獻(xiàn)。）p(t,p(t,x,v)(≥ x∈[0,0表示無人機(jī)在圓圈上的相對位置，顯然I2πp(t,x,v)dx=ρ(t,v)0

pt+vpx+（(u(t)?v)pv= x∈[0, v∈ t>且由千無人機(jī)在繞圈滑行，在xp(t,0,v)=p(t,2π, v∈ t>者證偽這個命題嗎？（為了方便討論，我們忽略p及其導(dǎo)數(shù)在|v|+時的貢獻(xiàn)。答案(1)M(t)

(vρ(t,v)(

dM(t)

d(

vρ(t,v)( dt( vρt(t,v)(( v(?(u(t)?v)ρ+ρv)v(( ((u(t)?v)ρ?ρv)=u(t)?M=u0+u1N(t)?M由千M(t)N(t)，又顯然N(t)0ddtM(t)≥u0+(u1?1)N(t)≥u0>則，當(dāng)t+∞，我們有M(t)+∞而N(t)M(t)，所以N(t)(2)由千x((ppk(t,v)00

k

那么，我們需要證明當(dāng)k=0時，pk(t,v) ?tpk+ikvpk=??v(u(t)?v)pkv+ t> k∈ v∈(1 (k(t,

k(t,)?tkk)?ξk?k.ddtξk(t)=ξk(t)?

ξk(t)?k=et?s(ξk(s)?k)k(t,

k(0,

00k(t,ξ)=k(0,(ξ?k)e?t+k)e?Ht,kHt,k(z)

?22?2

+2k(1?

)z+

t((0

dsz+

t+

t((0)pk(t,v)=eikv(pt,k?其中，pt,k(y)pt,k(y):= p0,k(v):=而Gt,k(z)

?ikvpinit(x,?ikv0

Gt,k(z)=√2πσ

) )

exp(ikΘ)

k2μ(t)

((0

σ(t)

Θ(t,z)=

?( 0 D(t)=t?21+e?t?( 0?我們注意到，當(dāng)t>0時，高斯函數(shù)Gt,k由千衰減因子 k2D的存在將衰減，這個?\pk(t,v)\L1(R)=

(pt,k?Gt,k)(v)\L1(R)≤\pt,k(g)\L1(R)\Gt,k=

π這證明了，當(dāng)k=0時，pk(t,v)將迅速衰減，因而p(t,x,v)將充分接近1p0(t,v)π2022AlibabaGlobalMathematicsDivideasolidcubeABCD?A1B1C1D1(withAB=1)into12pieces(Figure1)asTake6diagonalsofitssurfacesAC,AB1,AD1,C1B,C1D,Consideralltriangleswiththecenterofthecubeasavertex,andoneoftheabove6diagonalsand12edgesastheoppositeside;These18trianglescutthecubeinto12tetrahedra,andeachtetrahedronhastwoedgesthatarecubeedges;EachtetrahedronisconnectedtoothertetrahedraonlybyitstwocubeFigure1:MagicmagneticcubeSuchatoycantakeonavarietyofshapes(Figure2).Figure2:ExamplesofvariousQuestion:Ofallthepossibleshapesofthistoy,whatisthemaximumdistance(inspace)betweentwopointsonit? ?7+ 1+ NoneoftheOneday,thereisaStreetArtShowatsomewhere,andtherearesomespectatorsaround.WeconsiderthisplaceasanEuclideanplane.LetKbethecenteroftheshow.AndnamethespectatorsbyA1,A2,...,An,TheypicktheirpositionsP1,P2,..., onebyone.ThepositionsneedtosatisfythefollowingthreeconditionsThedistancebetweenKandAnisnolessthan10meters,thatis,KPn≥10mholdsforanypositiveintegern.ThedistancebetweenAnandanypreviousspectatorisnolessthan1meter,thatPmPn≥1mholdsforanyn≥2andany1≤m≤n?AnalwayschoosethepositionclosesttoKthatsatisfies(i)and(ii),thatis,KPnreachesitsminimumpossiblevalue.Iftherearemorethanonepointthatsatisfy(i)and(ii)andhavetheminimumdistancetoK,Anmaychooseanyoneofthem.Forexample,A1isnotrestrictedby(ii),sohemaychooseanypointonthecircleCwhichiscenteredatKwithradius10meters.ForA2,sincetherearelotsofpointsonCwhichareatleast1meterapartfromP1,hemaychooseanyoneofthem.WhichofthefollowingstatementisThereexistpositiverealnumbersc1,c2suchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1≤KPn≤c2alwayshold(unit:meter); Thereexistpositiverealnumbersc,csuchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1√n≤KPn≤c2√n alwayshold(unit:Thereexistpositiverealnumbersc1,c2suchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1n≤KPn≤c2nalwayshold(unit:meter);Thereexistpositiverealnumbersc1,c2suchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1n2≤KPn≤c2n2alwayshold(unit:meter).6Sincehumanbodiesare3-dimensional,ifonespectator’spositionisnearanotherspec-tator’spathofview,thenthesecondone’ssightwillbeblockedbythefirstone.Supposethatfordifferenti,j,ifthecirclecenteredatPiwithradius1meterintersectswithsegmentKPj,thenAj’ssightwillbeblockedbyAi,andAjcouldnotseetheentireshow.6WhichofthefollowingstatementisIftherewere60spectators,thensomeofthemcouldnotseetheentireIftherewere60spectators,thenitispossiblethatallspectatorscouldseetheentireshow,butiftherewere800spectators,thensomeofthemcouldnotseetheentireshow;Iftherewere800spectators,thenitispossiblethatallspectatorscouldseetheentireshow,butiftherewere10000spectators,thensomeofthemcouldnotseetheentireshow;Iftherewere10000spectators,thenitispossiblethatallspectatorscouldseetheentireshow.BraveNiuNiu(amilkdrinkcompany)organizesapromotionduringtheChineseNewYear:onegetsaredpacketwhenbuyingacartonofmilkoftheirbrand,andthereisoneofthefollowingcharactersintheredpacket“虎”(Tiger),“生”(Gain),“威”(Strength).3Ifonecollectstwo虎one生andone威thentheyformaChinesephrases虎虎生威”(Pronunciation:huhushengwei),whichmeans“Havethecourageandstrengthofthetiger”.ThisisaniceblessingbecausetheChinesezodiacsignfortheyear2022istiger.Soon,theproductofBraveNiuNiubecomesquitepopularandpeoplehopetogetacollectionof“虎虎生威”.Supposethatthecharactersineverypacketareindependentlyrandom,andeachcharacterhasprobability1.39Whatistheexpectationofcartonsofmilktocollect“虎虎生威”(i.e.onecollectsatleast2copiesof“虎”,1copyof“生”,1copyof“威”)?9678 678

Noneofthe3InaweeklymeetingofBraveNiuNiu,itsmarketteamnoticesthatoneoftenhastocollecttoomany“生”and“威”,beforegettingacollectionof“虎虎生威”.Thusanimprovedplanisneededfortheproportionofcharacters.Supposethattheprobabilitydistributionof“虎”,“生”and“威”is(p,qr),thenwhichofthefollowingplanshasthesmallestexpectation(amongthe4)foracollectionof“虎虎生威”?3(p,q,r)=(1,1,133(p,q,r)=(1,1,124(p,q,r)=(2,3,3510(p,q,r)=(3,1,148GivenasetXandafunctionf:X×X→[0,1],wesayfisrightuniformifforanyE>0,thereexistfinitelymanyelementsb1,b2,...,bminXsuchthatforanyt∈X,thefollowingholdsforsomebi(t):Similarly,wesayfisleftuniformifforanyE>0,thereexistfinitelymanya1,a2,...,aninXsuchthatforanyt∈X,thefollowingholdsforsome|f(t,x)?f(ai(t),x)|<E,?x∈Provethatfisrightuniformifandonlyifit’sleftLetnbeapositiveintegerandV=Rnbeann-dimensionalEuclideanspacewithaei=(0,...,0,1,0,...,0)(1≤i≤n)andwithaninnerproduct(·,·)defined

(ei,j=

1ifi= 0ifi= isKronecker’ssymbol.Foranonzerovectorv∈V,definesv:V→Vsv(u)=u?(v,v)v,?u∈Foranintegerkbetween0andn,writeGrk(V)forthesetofk-dimensionalsubspacesofV.Forak-dimensionalsubspaceWofV,write[W]forthecorrespondingelementofGrk(VChooseanorthonomalbasis{v1,...,vk}ofW,defines[W]:V→Vs[W]=sv1···svkProvethats[W]isindependentofthechoiceofanorthonomalbasis{v1,...,Provethat

=Foranotherelement[Wt]∈Grk(V),t[W]([Wt])=[s[W](Wwheres[W](Wt)istheimageofWtunders[W].WecallasubsetXofGrk(V)a“niceset”ifFindthemaximalcardinalityofa“niceset”inGrk(V)andproveABusyAcourierpicksupapackageatcoordinate(n,0)inthetwo-dimensionallattice,whilehisstationlocatesattheorigin(0,0).ThecourierthendoesadiscretetimesimplerandomwalkonZ2.Intherestofthisquestion,youmaywithoutlossofgeneralityassumenissufficiently2nLetP1,nbetheprobabilitythatathisLn1.5Jthstep,thedistancebetweenthiscourierandhisstationisgreaterthan .Provethat2n

P1,n=LetP2,nbetheprobabilitythatthecourierhaseverreachedthestationwithinhis Jsteps.Prove

P2,n=LetP3,nbetheprobabilitythatthecourierhaseverreachedthestationwithinhisfirst2nsteps.Provethat

P3,n=Showthatthereisnoperiodicsequencea1,a2,a3,...ofsignsan∈{±1}suchthat,foreveryrationalnumberθ,N∈N

ane2πinθ1<1Showthatthereisnosequencea1,a2,a3,...ofsignsan∈{±1}suchthat,for1rationalnumberN∈N

ane2πinθ1≤20221Giveanexampleofasequenceofsignsan∈{±1}suchthat,foreveryθ∈Q?1N∈N

ane2πinθ1<1andwhichtakeseachofthevalues+1and?1aninfinitenumberof1Supposeyouarechosenasatechnologyassistantbythedirectoroftheopeningceremonyforthe2022WinterOlympics,andyourjobistoevaluatetheprogramproposals.Oneofthebackupprogramsisaskatingshowofaensembleofdronesdressedasmascots,whicharemovingalongacircle.Sincethenumberofthedronesissufficientlylarge,wecanuseaprobabilitydensityfunctionρ(t,v)(≥0)torepresentthedistributionofthedrones.Here,v∈Risthelinespeed,andforagiventimet,andtwospeedsv1<v2,ρ(t,v)istheprobabilityoffindadronewithitsspeedbetweenv1andSupposethatthedynamicsofthedensityfunctionisgovernedρt+（(u(t)?v=ρvv, v∈R, t>0,whereu(t)isthecommandspeed.Toinvestigateproperchoicesofthecommandspeed,D.B.proposethatweshallu(t)=u0+u1Nwhereu0>0,u1>0andN(t)istheaverageofthepositivepartofthespeedv+=max{0,v},N(t)

v+ρ(t,v)dv

0Butyouclaimthatifu1>1,N(t)maybecomeunboundedinevolution,suchthatthedronesmaybeoutoforder.Canyouproveit?(Forsimplicity,thecontributionsofρa(bǔ)nditsderivativesat|v|→+∞areneglected.) Aftertakingthoseadvices,thedirectlyiswonderingwhetherthedroneswillbeevenlydistributedalongthecircle.Thus,weshallconsiderthejointdensityfunctionp(t,x,v)(≥0)ofpositionandspeed,wherex[0,2π]isthepositioncoordinateonthecircle. 02πp(t,x,v)dx=ρ(t,v).Supposethatthegoverningequationforp(t,x,v)0pt+vpx+（(u(t)?v= x∈[0, v∈ t>Because,thedronesarecirculatingaround,thefollowingboundaryconditionisp(t,0,v)=p(t,2π, v∈ t>Youhaveafeelingthat,nomatterhowthedronesaredistributedinitially,theywillbecomealmostevenlydistributedveryquickly.Canyouproveordisprovethisstatement?(Forsimplicity,thecontributionsofpanditsderivativesat|v|→+∞areneglected.)(QualifyingRound)1(Single-ChoiceProblem)MagicMagneticDivideasolidcubeABCD?A1B1C1D1(withAB=1)into12pieces(Figure1)asTake6diagonalsofitssurfacesAC,AB1,AD1,C1B,C1D,Consideralltriangleswiththecenterofthecubeasavertex,andoneoftheabove6diagonalsand12edgesastheoppositeside;These18trianglescutthecubeinto12tetrahedra,andeachtetrahedronhastwoedgesthatarecubeedges;EachtetrahedronisconnectedtoothertetrahedraonlybyitstwocubeFigure1:MagicmagneticcubeSuchatoycantakeonavarietyofshapes(Figure2).Figure2:ExamplesofvariousQuestion:Ofallthepossibleshapesofthistoy,whatisthemaximumdistance(inspace)betweentwopointsonit?(A) (B)?7+ (C) (D)1+ (E)NoneoftheAnswerTheanswerisD.LabeltheeightverticesofthecubewithABCD?A1B1C1D1,andletthepairofverticesselectedatthebeginningbeAandC1.Then,thesetwoverticesbelongto6smalltetrahedrons,andB,C,D,D1,A1,B1(nomatterhowtheyaredeformed)constituteaHexagonwithsidelength1(possiblydegenerate).Notethatthistoyconsistsof12tetrahedra(andthusconvex),sothemaximumvaluemustbetheverticesofthetwosmalltetrahedra.Inatetrahedron,thefourverticescanbedividedinto3AvertexcorrespondstoAorC1inthecube,wecallitavertexofTypeThetwovertices(andthustheedgesbetweenthem)belongtothe(spatial)BCDD1A1B1,whichwecallverticesofType3Avertexcorrespondstothecenteroftecube,anditsdistancetotheother3

,wecallitavertexofType2verticesofTypeTypefirst1+2verticesofTypeTypefirst1+2+1+√2+√2+√3√232third1+√2 22322+Therefore,thedistancebetweenanytwopointsonthistoywillnotexceed1+2√2.Andthisvaluecanbeachieved,asshowninthefollowingfigure:Oneday,thereisaStreetArtShowatsomewhere,andtherearesomespectatorsaround.WeconsiderthisplaceasanEuclideanplane.LetKbethecenteroftheshow.AndnamethespectatorsbyA1,A2,...,An,TheypicktheirpositionsP1,P2,..., ThedistancebetweenKandAnisnolessthan10meters,thatis,KPn≥10mholdsforanypositiveintegern.ThedistancebetweenAnandanypreviousspectatorisnolessthan1meter,thatPmPn≥1mholdsforanyn≥2andany1≤m≤n?AnalwayschoosethepositionclosesttoKthatsatisfies(i)and(ii),thatis,KPnreachesitsminimumpossiblevalue.Iftherearemorethanonepointthatsatisfy(i)and(ii)andhavetheminimumdistancetoK,Anmaychooseanyoneofthem.Forexample,A1isnotrestrictedby(ii),sohemaychooseanypointonthecircleCwhichiscenteredatKwithradius10meters.ForA2,sincetherearelotsofpointsonCwhichareatleast1meterapartfromP1,hemaychooseanyoneofthem.Thereexistpositiverealnumbersc1,c2suchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1≤KPn≤c2alwayshold(unit:meter); Thereexistpositiverealnumbersc,csuchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1√n≤KPn≤c2√n Thereexistpositiverealnumbersc1,c2suchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1n≤KPn≤c2nalwayshold(unit:meter);Thereexistpositiverealnumbersc1,c2suchthatforanypositiveintegern,nomatterhowA1,A2,...,Anchoosetheirpositions,c1n2≤KPn≤c2n2alwayshold(unit:meter).6Sincehumanbodiesare3-dimensional,ifonespectator’spositionisnearanotherspec-tator’spathofview,thenthesecondone’ssightwillbeblockedbythefirstone.Supposethatfordifferenti,j,ifthecirclecenteredatPiwithradius1meterintersectswithsegmentKPj,thenAj’ssightwillbeblockedbyAi,andAjcouldnotseetheentireshow.6Iftherewere60spectators,thensomeofthemcouldnotseetheentireIftherewere60spectators,thenitispossiblethatallspectatorscouldseetheentireshow,butiftherewere800spectators,thensomeofthemcouldnotseetheentireshow;Iftherewere800spectators,thenitispossiblethatallspectatorscouldseetheentireshow,butiftherewere10000spectators,thensomeofthemcouldnotseetheentireshow;Iftherewere10000spectators,thenitispossiblethatallspectatorscouldseetheentireshow.AnswerTheanswerisB.SupposethelengthofKPnisdnWeconsiderthediscscenteredatP1,P2,...,Pn?1withradius1meter.UsethepropertyofPnwegetthatthesediscsandtheinteriorofCcoverthedisccenteredatKwithradiusdn,nπ·d2≤(n?1)·π·12+π·n

dn n+99 100n=102Ontheotherhand,weconsiderthediscscenteredatP1,P2,...,Pnwithradius2

SincethedistancebetweenanytwoofP1,P2,...,Pnisnotlessthan1meter,allthesediscsdonotintersect.NotethateverylengthofKP1,KP2,...,KPnisnotmorethandnmeter(Ifthelength2KPmismorethandnmeter,thenAmcanchoosePn,whichisclosertoK,contradiction.)SoallthesediscsareinsidethecirclecenteredatKwithradiusdn+1,and21 1π(dn+2)≥n·π·(2) dn≥2?2Forn=1,d1=10;Forn≥2,wehavethat1<2√n, dn>2

Therefore,√n≤dn≤10√n,(B)isAnswerTheanswerisB.For60residents,sincesinπ>1sinπ=1,theside ofaregular60-goninscribedinCisnotlessthan1meter.Therefore,P1,P2,...,P60beallverticesofthispolygon.Fordifferenti,j,thedistancefromPitoKPjisnotless10sinπmeter.Sincesinπ>1sinπ=1,allresidentscouldseetheentire Ontheotherhand,ifthereare800residents,wedrawrays1,2,...,K00.Iftwothem(calledi,j)coincide,andKPj>KPi,thenAj’ssightlineisblockedby(theunitofangleisrad,andtheunitoflengthismeter),thenthesight1+S(theunitofangleisrad,andtheunitoflengthismeter),thenthesight1+ofoneofAi,AjisblockedbytheWithoutlossofgeneralitywesupposeKPi≤KPj.SinceKPi,KPj≥10,weget∠PiKPj≤1,soitisacute.Therefore,thefootpointfromPitoKPjisinsideKPj,andthedistancefromPitoKPjiijKPsin∠Piij

<

·∠P

≤KPi（1+1）≤1iij6So,Aj’ssightlineisblockedbyiij6Notethat1,2,...,K00cuttheperigonwit