2024-2025學(xué)年河北省衡水市高三上學(xué)期1月新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)模擬卷（一模）含解析

2024-2025學(xué)年河北省衡水市高三上學(xué)期1月新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)模擬卷（一模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=x∣log22x?1<1，B=x∣A.x∣12<x<1 B.x∣x<32

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(z?i)(1?i)=3+i，則z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中的對應(yīng)點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知回歸方程y=5x+1，則該方程在樣本1,4處的殘差為(

)A.?2 B.1 C.2 D.54.若正整數(shù)a，b滿足等式20232025=2024a+b，且b<2024，則b=(

)A.1 B.2 C.2022 D.20235.已知非零向量a、b和實數(shù)k，那么“a=kb”是“a?b=A.充分而不必要條件 B.既不充分也不必要條件

C.充要條件 D.必要而不充分條件6.已知數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=6，A.4 B.5 C.6 D.77.已知拋物線C:y2=4x與直線l:y=kx+43交于M，N兩點，點P在線段MN上，且∠MOP=∠NOP，若點(1,1)在直線OPA.13 B.12 C.?18.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=PB=CA=CB=2，∠APB=∠ACB=π2，E，F(xiàn)，G分別為PA，PB，PC上靠近點P的三等分點，若此時恰好存在一個小球與三棱錐P?ABC的四個面均相切，且小球同時還與平面EFG相切，則PC=(

)

A.6+2 B.6?二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知函數(shù)f(x)=cosx?sinx+x?A.f(x)的圖象關(guān)于點(π4,0)對稱

B.π2是f(x)的極大值點

C.f(x)在x=0處的切線方程為y=1?π410.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“∞”，是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標系中，F(xiàn)1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，滿足|PF1|?|PF2A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形

B.曲線C上滿足|PF1|=|PF2|的點P有2個

C.|OP|≤2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。11.已知sin(α+β)=12，tanαtanβ12.設(shè)F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點，α，β分別為雙曲線C的兩條漸近線的傾斜角，已知點F到其中一條漸近線的距離為13.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標X可以看作一個隨機變量，且X～N(98,σ2)，對于X≥100的零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取500個，用Y表示這500個零件的規(guī)格指標X位于區(qū)間(96,100)的個數(shù)，則隨機變量Y的方差是

14.若函數(shù)fx=2x2?ax?四、解答題：本題共6小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題10分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且(a?b)(sinA+(1)求A;(2)若△ABC的外接圓面積為9π，角B的平分線交AC于D，求△ABC的面積，及△ABD與△BCD的面積之比.16.(本小題12分)設(shè)各項非零的數(shù)列an的前n項乘積為Tn，即T(1)求數(shù)列Tn(2)若bn=n+12na17.(本小題12分)如圖，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1(1)求證：AB⊥BC；(2)求平面ABB1與平面B18.(本小題12分)如圖所示，由半橢圓C1:x24+y2b2=1(y≤0)和兩個半圓C2:(x+1)2+y2=1(y≥0)、C3:(x?1)2+y2=1(y≥0)組成曲線C(1)求C1(2)C和D分別在曲線C1和曲線C2上．求出線段(3)若過點F1，F(xiàn)2作兩條平行線l1，l2分別與C1，C2和C1，C3交與M，N19.(本小題15分)信息在傳送中都是以字節(jié)形式發(fā)送，每個字節(jié)只有0或1兩種狀態(tài)，為保證信息在傳送中不至于泄露，往往需要經(jīng)過多重加密，若A，B是含有一個字節(jié)的信息，在加密過程中，會經(jīng)過兩次加密，第一次加密時信息中字節(jié)會等可能的變?yōu)?或1，且0，1之間轉(zhuǎn)換是相互獨立的，第二次加密時，字節(jié)中0或1發(fā)生變化的概率為p，若A，B的初始狀態(tài)為0，1或1，0，記通過兩次加密后A，B中含有字節(jié)1的個數(shù)為X.(Ⅰ)若兩次加密后的A，B中字節(jié)1的個數(shù)為2，且p=13，求A，B通過第一次加密后字節(jié)1的個數(shù)為2(Ⅱ)若一條信息有n(n>1,n∈N?)種等可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為p1，p2，p3，?，pn，則稱H=f(p1)+f(p2(Ⅲ)將一個字節(jié)為0的信息通過第二次加密，當字節(jié)變?yōu)?時停止，否則重復(fù)通過第二次加密直至字節(jié)變?yōu)?，設(shè)停止加密時該字節(jié)通過第二次加密的次數(shù)為Y(Y=1,2,3,?,n).證明：E(Y)<120.(本小題17分)對于函數(shù)y=f(x)，x∈I，若存在x0∈I，使得f(x0)=x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的一階不動點;若存在x0∈I，使得f(f(x0）=x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階不動點;(1)若f(x)=exe(x>0)(2)已知f(x)=(a+1)x?(ⅰ)若m≥0且函數(shù)F(x)在區(qū)間[m,n]的值域為[m,n]，則稱區(qū)間[m,n]是函數(shù)的“完美區(qū)間”.試問函數(shù)f(x)是否存在“完美區(qū)間”，若存在，求出實數(shù)a的取值范圍，若不存在，說明理由;(ⅱ)討論集合B的子集的個數(shù).

答案和解析1.【正確答案】C

【分析】本題考查并集運算，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題.

分別解含對數(shù)或指數(shù)的不等式，求出集合A,B，再求并集即可.解：由于log22x?1<1，得解得12<x<3由12<2x<2，得2則A∪B=故選：C.2.【正確答案】D

【分析】本題考查復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)模的求法，同時考查復(fù)數(shù)的幾何意義及共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

把給出的等式化為z=3+i1?i+i，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡，求出z

解：由(z?i)(1?i)=3+i，

得z=3+i1?i+i=3+i(1+i)(1?i)(1+i)+i=2+4i2+i=1+3i，

∴z=1?3i3.【正確答案】A

【分析】本題考查殘差的計算，屬于基礎(chǔ)題．

直接根據(jù)殘差的定義進行求解即可.

解：當x=1時，y=5×1+1=6則方程在樣本1,4處的殘差為4?6=?2.故選：A.4.【正確答案】D

【分析】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)20232025=(2024?1

解：因為20232025=(2024?1)2025

=C202505.【正確答案】D

【分析】本題考查充分、必要、充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

把等式a?b=a+b

解：因為向量a、b為非零向量，設(shè)向量a、b的夾角為θ，把等式a?b=所以a?b=?因為0≤θ≤π，所以，θ=π，即a、b方向相反，因為“a=kb”?“a、b方向相反”，“a=kb”?“因此“a=kb”是“a故選：D.6.【正確答案】B

【分析】本題考查遞推關(guān)系求通項，屬于中檔題.

利用遞推關(guān)系，求出數(shù)列an,??

解：數(shù)列{an}，滿足a1=2，an+1=2an，

故an+1an=2(常數(shù))，

所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以an=2n，

由于bn+1=2bn?an，

所以bn+1=2bn?2n，

7.【正確答案】A

【分析】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，是中檔題.

設(shè)直線OM，ON的方程分別為y=k1x，y=k2x，由點(1,1)到直線OM的距離為r，得k1k2=1，設(shè)M(x1

解：已知直線l:y=kx+43，設(shè)直線OM，ON的方程分別為y=k1x，y=k2x，

記點(1,1)到直線OM的距離為r，則|k1?1|1+k12=r，

整理得(1?r2)k12?2k1+1?r2=0，

同理可得，(1?r2)k22?2k2+1?r8.【正確答案】B

【分析】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，體積，線面垂直的判定，屬于中檔題.

結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)相切列式求解即可.解：如圖，取AB中點M，連接PM，CM，

由題可知AB⊥PM，AB⊥CM，

因為PM∩CM=M，PM，CM?平面PMC，

所以AB⊥平面PMC，作PH⊥MC，垂足為H，

因為PH?平面PMC，所以AB⊥PH，

又CM∩AB=M，CM，AB?平面ABC，

所以PH⊥平面ABC，

過點H作HN⊥BC，垂足為N，連接PN，易知BC⊥PN，

設(shè)小球半徑為r，所以PH2r=PBFB=32，所以PH=3r，

根據(jù)題意，V三棱錐P?ABC=13S△ABC?PH=13(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC9.【正確答案】AC

【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

利用f(π4?x)+f(π4+x)=?2

解：f(x)=?2sin(x?π4)+x?π4，

f(π4?x)+f(π4+x)=?2sin(?x)?x?2sinx+x=0，

所以f(x)的圖象關(guān)于點(π4,0)對稱，故A正確；

f'(x)=?2cos(x?π4)+1=0，所以cos(x?π4)=22，

所以x?π4=π4+2kπ或x?π4=?π4+2kπ，

所以x=π2+2kπ或x=2kπ，

0<x<π2時，f'(x)<0，10.【正確答案】ACD

【分析】本題考查曲線與方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

結(jié)合曲線方程的新定義逐項計算驗證即可.

解：設(shè)P點坐標為(x,y)，

則曲線C:(x?2)2+y2?(x+2)2+y2=4，故A正確；

對于B，若|PF1|=|PF2|，則|PF1|=|PF2|=2，

這樣的P點只有1個，即為原點，故B錯誤；

對于C，由(x?2)2+y2?(x+2)2+y2=4，

得[(x?2)2+y2]?[(x+2)2+11.【正確答案】13【分析】本題考查兩角和與差的正弦公式、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡，屬于基礎(chǔ)題．

由兩角和的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求sinα解：∵sin?(α+β)=1tanα=5tanβ由①②得sinαcosβ=512,cosα12.【正確答案】8

【分析】

本題主要考查雙曲線的漸近線，焦距，屬于基礎(chǔ)題.

首先根據(jù)題意得到d=|?bc|b2+a2=b=2，由α+β=π，α=15β，從而得到ba=tanα=33，即可得到a，c，得雙曲線C的焦距．

解：由題意，設(shè)F(?c,0)，一條漸近線方程為y=bax，即bx?ay=0，

由于點F到該漸近線的距離d=|?bc|b2+a213.【正確答案】45

【分析】本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)，二項分布的方差，屬于基礎(chǔ)題.

求出規(guī)格指標X位于區(qū)間(96,100)的概率，再根據(jù)二項分布的方差公式可得隨機變量Y的方差.解：由正態(tài)分布的性質(zhì)得質(zhì)量指標在區(qū)間

(96,100)的概率為1?2×0.05=0.9，

即1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標位于區(qū)間(96,100)的概率為0.9，

∴Y∽B(500,0.9)，故D(Y)=500×0.9×0.1=45.14.【正確答案】?【分析】本題考查函數(shù)零點問題，屬于拔高題.

關(guān)鍵在于將函數(shù)fx的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)gx=2x2

解：令fx=0，即由題可得x2當a=0時，x∈R，有2x2當a>0時，則2即函數(shù)gx=2由x2?ax≥0，可得x≥a或當x≤0時，則ax?2<0，則2即4x2?4ax=當a=2時，即4x+1=0，即x=?1當a∈0,2，x=?12+a或x=當a∈2,+∞時，x=?12+a即當a∈0,2時，2x則當a∈0,2時，2x當a∈0,2,且由函數(shù)?x=ax?3,x≥2a1?ax,x<2a關(guān)于且函數(shù)?x在1a,令gx=y=2故x≥a時，gx圖象為雙曲線x2a24由x2a2即gx部分的漸近線方程為y=2x?a又a∈0,2,即?x=令gx=2x2?ax=0且函數(shù)gx在a,+∞故有1a<a3a>a當a<0時，則2即函數(shù)gx=2由x2?ax≥0，可得x≥0或當x≥0時，則ax?2<0，則2即4x2?4ax=當a=?2時，即4x?1=0，即x=1當a∈?2,0，x=?12+a<0(負值舍去當a∈?∞,2時，x=?12+a即當a∈?2,0時，2x則當a∈?2,0時，2x當a∈?2,0,且由函數(shù)?x=ax?3,x≤2a1?ax,x>2a關(guān)于且函數(shù)?x在2a,同理可得：x≤a時，gx圖象為雙曲線x2a24gx部分的漸近線方程為y=?2x+a又a∈?2,0,即?x=令gx=2x2?ax=0且函數(shù)gx在?∞,a故有1a>a3a<a綜上所述，a∈故?15.【正確答案】解：(1)在△ABC中，sinA>0，sinB>0.

因為(a?b)(sinA+sinB)=0，sinA+sinB>0，

所以a?b=0，即a=b，sinA=sinB.

因為233?cb=cosCcosB，所以233?sinCsinB=cosCcosB，

即sinCsinB+cosCcos本題考查了利用正弦定理解三角形、三角形面積公式和三角恒等變換，屬于中檔題.

(1)易得a=b，sinA=sinB，由正弦定理得233?sinCsinB=cosCcosB，再利用三角恒等變換得16.【正確答案】解：(1)當n=1時，T1=a1，所以2T1當n≥2時，an=∴Tn是以T1∴Tn(2)當n=1時，T1當n≥2時，an綜上，an=∴解法一：Sn=12S由①-②得1=2?1∴解法二：bn∴

本題考查錯位相減法求和，裂項相消法求和，等差數(shù)列的通項公式，屬于一般題.

(1)當n=1時求出T1=a1，當n≥2時，由(2)由(1)求出的an，即可求出bn，解法一：由錯位相減法求出即可；解法二：先將17.【正確答案】解：(1)取BC的中點O，連接OA1，OB1.

因為側(cè)面BCC1B1是菱形，∠B1BC=60°，所以△B1BC是正三角形，

因為O是BC中點，所以BC⊥OB1.

因為O是BC中點，A1B=A1C，所以BC⊥OA1，

又因為OA1∩OB1=O，OA1?平面OA1B1，OB1?平面OA1B1，

所以BC⊥平面OA1B1.

因為A1B1?平面OA1B1，所以BC⊥A1B1.

因為斜三棱柱ABC?A1B1C1，所以AB//A1B1，所以AB⊥BC.

(2)因為AB⊥A1C，AB⊥BC，A1C∩BC=C，A1C?平面A1BC，BC?平面A1BC，

所以AB⊥平面A1BC，因為A1O?平面A1BC，所以AB⊥A1O.

又因為A1O⊥BC本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、平面與平面所成角的向量求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．

(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理進行證明；

(2)利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，用向量法進行求解．18.【正確答案】解：(1)由兩圓的方程知：圓心分別為C1(?1,0)，C2(1,0)，即F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，

∴b2+1=4，解得：b2=3，∴C1:x24+y23=1(y≤0).

(2)由題意易知當C與A2，D與A1同時重合時，

CD取得最大值為1+c+a=1+1+2=4.

(3)由題意知：|MN|+|PQ|=|MF1|+|PF2|+2；

∵l1//l2，∴由對稱性可知：|MF1|+|PF2|為橢圓x本題考查直線截橢圓所得弦長最值的求解問題以及求橢圓的標準方程，屬于中檔題．

(1)由圓的方程可確定圓心坐標，即橢圓焦點坐標，進而根據(jù)橢圓a，b，c關(guān)系求得方程；

(2)由圓與橢圓的幾何性質(zhì)，易得當C與A2，D與A1同時重合時，CD取得最大值，即可得答案；

(3)根據(jù)對稱性將問題轉(zhuǎn)化為求解橢圓x24+19.【正確答案】解：(I)記事件Mi為“A，B通過第一次加密后字節(jié)1的個數(shù)為i”，i=0，1，2，

事件N為“A，B通過第二次加密后字節(jié)1的個數(shù)為2”，

則P(M0)=P(M2)=(12)2=14，P(M1)=2×(12)2=12，P(N|M0)=19，P(N|M1)=29，P(N|M2)=49，

則P(N)=P(M0)P(N|M0)+P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)=14，

故P(M2|N)=P(M2N)P(N)=P(M2)P(N|M2)P(N)=49.

本題考查全概率公式，離散型隨機變量的均值，貝葉斯公式，對數(shù)式的化簡求值與證明，錯位相減法求和，屬于難題.

(Ⅰ)設(shè)事件，利用條件概率和全概率公式即可求解;

(Ⅱ)求出X的所求取值和對應(yīng)概率，由信息熵公式即可求解;

(Ⅲ)求出E(Y)=(1?p)020.【正確答案】解：(1)令g(x)=f(x)?x=exe?x，求導(dǎo)得g'(x)=1eexe?1，令g'(x)=0，可得x=e，

當x∈(?∞,e)，g'(x)<0，當x∈(e,+∞)，g'(x)>0，

所以g(x)min=g(e)=0，所以g(x)有唯一零點，

所以集合A={x|f(x)=x}中有且僅有一個元素;

(2)(i)假設(shè)f(x)存在完美區(qū)間為[m,n]，則f(m)=m，f(n)=n，

即方程f(x)=x在(0,+∞)上有兩個不同的實根，

所以(a+1)x?1x+2lnxe2=x在(0,+∞)上有兩個不同的實根，

即a=1x2?2lnxe2x，令t=1x，則t>0，于是a=t2+2e2tlnt，(t>0)有兩個不同的實根.

令g(t)=t2+2e2t