2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江市高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．2.已知數(shù)列，則“”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3.在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A．B．C． D．4.已知，，，則（

）A． B． C． D．5.向量在向量上的投影為，且，則（

）A． B． C． D．6.已知，則（）A.1 B.2 C.3D.27.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且成等差數(shù)列，則（

）A．3 B．6 C．9 D．188.對(duì)，不等式恒成立，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某次物理考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為12，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為10．則（

）A．a(chǎn)=0.005B．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為86.50C．估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為76.14D．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為30.2510.設(shè)復(fù)數(shù)，，則（

）A．的虛部為B．的共軛復(fù)數(shù)為C．D．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則的最小值是1D．把的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，與的夾角為，則________．13.正四面體中，，則異面直線與所成角的正弦值為_(kāi)_______．14.在三棱錐中，二面角的大小為，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（13分）如圖，三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、(1)若，求角的余弦值大??；(2)已知、，若為三角形外接圓劣弧上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值.16.（15分）在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，且底面，與底面成角，且．（1）求證：；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．17.（15分）如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過(guò)B，Q兩點(diǎn)的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，說(shuō)明理由．18.（17分）踢毽子在我國(guó)流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動(dòng).某次體育課上，甲、乙、丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞，先從甲開(kāi)始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為13；當(dāng)乙接到毽子時(shí)，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丙接到毽子時(shí)，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丁接到毽子時(shí)，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為13，16，12.假設(shè)毽子一直沒(méi)有掉地上，經(jīng)過(guò)n次傳毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為an(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)證明an?119.（17分）已知，函數(shù)，.（1）當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證.數(shù)學(xué)答案一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.1．已知集合，，，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．【正確答案】C.2.已知數(shù)列，則“”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B3.在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A．B．C． D．【正確答案】A4.已知，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D5.向量在向量上的投影為，且，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A6.已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.2【正確答案】C7.若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且成等差數(shù)列，則（

）A．3 B．6 C．9 D．18【正確答案】C8.對(duì)，不等式恒成立，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】D【詳解】由得，對(duì)于選項(xiàng)A、B，若，可令，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，綜上可得，不存在使得不等式恒成立，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C、D，若，∵∴，∴，要使不等式恒成立，則需，∵函數(shù)在為增函數(shù)，∴函數(shù)有相同的零點(diǎn)，由得，由得，，∴，即，∴，∴，選項(xiàng)D正確.故選D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某次物理考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為12，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為10．則（

）A．a(chǎn)=0.005B．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為86.50C．估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為76.14D．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為30.25【正確答案】AD10.設(shè)復(fù)數(shù)，，則（

）A．的虛部為B．的共軛復(fù)數(shù)為C．D．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【正確答案】ABD11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則的最小值是1D．把的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【正確答案】ACD【詳解】由圖可知，，則，又及函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得，又且，即，即，所以，所以，所以；對(duì)于A：，又，，即，又在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，則，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，即，則或，解得或，又，則的最小值是，故C正確；對(duì)于D：把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，又，所以與關(guān)于軸對(duì)稱，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，與的夾角為，則________．【正確答案】13.正四面體中，，則異面直線與所成角的正弦值為_(kāi)_______．【正確答案】14.在三棱錐中，二面角的大小為，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為．【正確答案】取外心，外心，中點(diǎn)為，則，，面，面所以，，設(shè)，由正弦定理得，余弦定理得，所以，所以由正弦定理得，即，所以，，，在四邊形中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐外接球表面積最小值為，故答案為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（13分）如圖，三角形中，角、、的對(duì)邊分別為、、(1)若，求角的余弦值大??；(2)已知、，若為三角形外接圓劣弧上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角和定理與和角的正弦公式化簡(jiǎn)即得；（2）由余弦定理得到的關(guān)系式，利用基本不等式求得，即得周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得即，則，整理得，而，即.（6分）（2）在中，，由余弦定理得，即，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值.16.（15分）在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，且底面，與底面成角，且．（1）求證：；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【分析】（1）應(yīng)用空間向量法證明線線垂直；（2）應(yīng)用空間向量法求線面角正弦計(jì)算即可得出邊長(zhǎng)關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸建立坐標(biāo)系．那么，，，，．故，因?yàn)?，所以，即．【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，故，所以平面，故平面的法向量設(shè)直線與平面所成角為，則：整理得，即．17.（15分）如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，BC＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，PB⊥AC.(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過(guò)B，Q兩點(diǎn)的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求eq\f(PQ,QD)的值；若不存在，說(shuō)明理由．(1)證明在△ABC中，因?yàn)锽C＝2AB，AC＝eq\r(3)AB，所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB?平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)解假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中點(diǎn)為H，連接PH，則PH⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(－2,2eq\r(3)，0)，P(1,0，eq\r(3))，則eq\o(AD,\s\up6(→）＝(－2,2eq\r(3)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→）＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→）＝(－4,2eq\r(3)，0)，eq\o(DP,\s\up6(→）＝(3，－2eq\r(3)，eq\r(3))，設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AD,\s\up6(→）＝－2x1＋2\r(3)y1＝0，,n1·\o(AP,\s\up6(→）＝x1＋\r(3)z1＝0，）取n1＝(eq\r(3)，1，－1)．設(shè)eq\o(DQ,\s\up6(→）＝λeq\o(DP,\s\up6(→），其中0≤λ≤1.則eq\o(BQ,\s\up6(→）＝eq\o(BD,\s\up6(→）＋eq\o(DQ,\s\up6(→）＝eq\o(BD,\s\up6(→）＋λeq\o(DP,\s\up6(→）＝(3λ－4，2eq\r(3)－2eq\r(3)λ，eq\r(3)λ)，連接EF，因?yàn)锳C∥平面BEQF，AC?平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.取與eq\o(EF,\s\up6(→）同向的單位向量j＝(0,1,0)．設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·j＝y(tǒng)2＝0，,n2·\o(BQ,\s\up6(→）＝3λ－4x2＋2\r(3)1－λy2＋\r(3)λz2＝0，）取n2＝(eq\r(3)λ，0,4－3λ)．由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，則n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，解得λ＝eq\f(2,3).故在側(cè)棱PD上存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD，eq\f(PQ,QD)＝eq\f(1,2).18.（17分）踢毽子在我國(guó)流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動(dòng).某次體育課上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞，先從甲開(kāi)始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為13；當(dāng)乙接到毽子時(shí)，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丙接到毽子時(shí)，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為13，12，16；當(dāng)丁接到毽子時(shí)，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為13，16，12.假設(shè)毽子一直沒(méi)有掉地上，經(jīng)過(guò)n次傳毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)證明an?1【正確答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2