2024-2025學(xué)年江蘇省南通市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．在△中，，則（）A．30° B．45° C．60° D．135°4．函數(shù)的極大值為（）A．4 B．0 C．1 D．45．在三棱錐中，，與平面所成角的大小為60°，則（）A．1 B． C． D．26．曲線與的交點(diǎn)中，與軸最近的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．在中，．若∥，則（）A． B． C． D．8．在正四棱柱中，，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與直線垂直的平面將正四棱柱分成兩部分，則較大部分與較小部分的體積比為（）A． B．2 C． D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在空間中，設(shè)是三條直線，是三個(gè)平面，則下列能推出∥的是（）A． B．∥C． D．∥10．已知函數(shù)，則（）A．的最大值為1 B．是曲線的對(duì)稱中心C．在上單調(diào)遞減 D．的最小正周期為11．設(shè)為上的增函數(shù)，滿足：，則（）A． B．為奇函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為，則________，_________．13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的兩點(diǎn)滿足，線段的中點(diǎn)在軸上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)________．14．已知圓的半徑為2，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，且，則的最小值為_(kāi)________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知分別為△的內(nèi)角的對(duì)邊，且．（1）求；（2）若△的面積為，周長(zhǎng)為6，試判斷△的形狀．16．（15分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，記在上的射影為．（1）△能否為正三角形？若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)在點(diǎn)處的切線與相交于點(diǎn)，證明：°．17．（15分）如圖，在三棱錐中，平面，是的中點(diǎn)，平面平面，且．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面的夾角的正弦值．18．（17分）已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)原點(diǎn)，求；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．19．（17分）如果數(shù)列是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和都能被3整除，那么稱數(shù)列是數(shù)列．（1）寫(xiě)出所有滿足的數(shù)列；（2）證明：存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無(wú)窮個(gè)；（3）對(duì)任意給定的，都存在，使得數(shù)列是數(shù)列，求整數(shù)的最小值．高三數(shù)學(xué)期中答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．BABDCBCB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．BDABDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13． 14．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理，得．在△中，，所以．所以，即．又，故，所以．所以．由，知，所以，即，?）因?yàn)椤鞯拿娣e為，所以，結(jié)合（1）知，①由余弦定理，得，即．因?yàn)椤鞯闹荛L(zhǎng)為6，所以②．所以，所以，所以，解得③．由①③，解得，代入②，得．所以△為等邊三角形．16．（15分）解：設(shè)點(diǎn)（1）△能為正三角形，理由如下：依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線．則，點(diǎn)到的距離．假設(shè)△為正三角形，則°，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)△是邊長(zhǎng)為4的正三角形．（2）法1：依題意，拋物線，則．所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即．令，得，所以點(diǎn)．則，所以．法2：設(shè)的方程為：．與拋物線聯(lián)立方程組，去，得．因?yàn)榕c拋物線相切，所以判別式，即．代入得，解得，所以．聯(lián)立，解得，所以．又，所以，所以．所以，所以°．17．（15分）證明：（1）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．在△中，，所以．所以點(diǎn)到平面的距離為．（2）由（1）知，平面，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又因?yàn)?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作平行于的射線．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)平面的法向量為．因?yàn)椋裕?，得．所以．又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．所以平面與平面夾角的正弦值為．法2：在△中，，所以．在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．所以是的平面角．因?yàn)榈降木嚯x為，是的中點(diǎn)，所以．在△中，又，故．所以．所以平面與平面夾角的正弦值為．18．（17分）解：（1）依題意，，則．因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，所以，解得．（2）當(dāng)時(shí)，記，則．因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞增．又，故令得，．所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以．所以當(dāng)時(shí)，．（3）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以符合．?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合．當(dāng)時(shí)，令，得，故在上存在唯一解，不妨記為，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不符題意，故舍去．綜上，的取值范圍為．19．（17分）解：（1）滿足的數(shù)列共有4個(gè)，分別是1，2，3，7；1，2，6，7；1，5，6，7；1，3，5，7．（2）法1：存在數(shù)列1，4，16，64是數(shù)列，也是等比數(shù)列．因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)，等比數(shù)列都滿足：首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且能被3整除，能被3整除，所以存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無(wú)窮個(gè)．法2：若數(shù)列是等比數(shù)列，不妨記公比為，則該數(shù)列為：．由題意，得．當(dāng)時(shí)，，又，則也是3的倍數(shù)，所以對(duì)于每一個(gè)，數(shù)列均滿足題意，所以存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無(wú)窮個(gè)．（3）法1：當(dāng)時(shí)，令，則或．當(dāng)時(shí)，則，不符；當(dāng)時(shí)，同上，顯然不符，故不存在，使得數(shù)列是數(shù)列．當(dāng)時(shí)，若，則存在數(shù)列1，2，3，4，11滿足題意；若，則存在數(shù)列1，3，5，7，12滿足題意；若，則存在數(shù)列1，4，7，10，13滿足題意；因此，則存在數(shù)列1，2，3，4，滿足題意；因此，則存在數(shù)列1，3，5，