2024-2025學年遼寧省高三上學期12月月考數(shù)學質量檢測試卷（含解析）

2024-2025學年遼寧省高三上學期12月月考數(shù)學質量檢測試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設i為虛數(shù)單位，若z=2?ii3，則zA.2+i B.2?i C.1+2i D.1?2i2.已知cosα1+sinα=?A.33 B.?33 3.意大利數(shù)學家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項中有(?)個奇數(shù).A.1012 B.1348 C.1350 D.13524.在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若AM=λAB+μAC，則λ+μ等于A.12

B.23

C.165.已知a=log35，b=log23A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b6.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為13，不下雨的概率均為23，且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為(

)A.1681 B.2081 C.8277.已知直線l：4x+3y+5=0與圓C：(x?4)2+(y?3)2=4，點P，Q在直線l上，過點P作圓C的切線，切點分別為A，B，當|PA|A.31 B.231 C.88.在平行四邊形ABCD中，DA=DB，E是平行四邊形ABCD內(包括邊界)一點，DE?DA|DA|=DE?A.[1,2] B.[1,32] C.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.對任意A，B?R，記A⊕B={x|x∈A∪B,x?A∩B}，并稱A⊕B為集合A，B的對稱差.例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A⊕B={1,4}，下列命題中，為真命題的是(

)A.若A，B?R且A⊕B=B，則A=?

B.若A，B?R且A⊕B=?，則A=B

C.若A，B?R且A⊕B?A，則A?B

D.存在A，B?R，使得A⊕B=10.在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E為AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折至△A1DE的位置，使得二面角A1?DE?C為直二面角，若P

A.BP//平面A1DE B.DP⊥EC

C.異面直線PB，A1D所成的角為π3 D.11.隨機事件A，B滿足P(A)=12，P(B?)=2A.P(AB)=P(A)P(B)

B.P(AB?)=38

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列an的通項公式為an=tn2?7813.已知函數(shù)fx=2sinωx+π4ω>0在區(qū)間0,1上的值域為m,n，且n?m=314.歐拉(1707?1783)，他是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eiπ+1=0，它是令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個量聯(lián)系起來，兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)e，圓周率π，兩個單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學家評價它是“創(chuàng)造的公式”，請你根據(jù)歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，將復數(shù)eπ3i+eπi表示成a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位)的形式______；若zn=1，則z=zk四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=nan?3n(n?1)，n∈N?，且a3=17.

(1)求a1=2；

(2)求數(shù)列{an}的前n16.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosCc=?cosAa+2b.

(1)求角C的大小；

(2)若AC=BC=2，如圖，D，E是AB上的動點，且∠DCE始終等于30°，記17.(本小題12分)

如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形CDEF均為等腰梯形，AB//CD，CD//EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4，AD=BC=10，AE=23，M對CD的中點.

(1)證明：平面ABCD⊥平面CDEF；

(2)求平面AEM與平面BEM所成角的正弦值；

(3)設點N是△ADM內一動點，ND?NM=0，當線段AN18.(本小題12分)

已知A，B分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，且k1k2=|AB|=4.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知過點(4,0)的直線l：x=my+4，交C的右左兩支于D，E兩點(異于A，B)，

(i)19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x2ex，g(x)=lnx.

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間；

(2)若曲線y=ex+m與y=g(x+1)存在兩條公切線，求整數(shù)m的最小值；

(3)已知a∈(?1e,0)，函數(shù)?(x)=(x?1)g(|x|?1)?ax有答案和解析1.【正確答案】D

解：z=2?ii3=2?i?i=1+2i，

故z2.【正確答案】A

解：∵cosα1+sinα?cosαsinα?1=cos2αsin2α?13.【正確答案】C

解：在數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144中，每3個數(shù)中前2個都是奇數(shù)，后一個是偶數(shù)，

又2022=3×674，

故該數(shù)列前2024項有2×674+2=1350個奇數(shù)．

故選：C.

對數(shù)列中的數(shù)進行歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，結合題意得到答案．

本題主要考查歸納定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4.【正確答案】A

解：∵M為AH的中點，且AM=λAB+μAC，

∴AM=12AH=λAB+μAC

∴AH=2λAB+2μAC，且B，H，C三點共線，

∴2λ+2μ=1，

∴λ+μ=12.

故選：A.

根據(jù)條件即可得出AH=2λAB5.【正確答案】D

解：∵2log23=log29>log28=3，

所以log23>32，

又2log35=log325<log327=3，

所以log35<32，即a<b，

因為eln46.【正確答案】D

解：“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，

連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次．

(1)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：2×13×(23)3=1681；

(2)4次均不下雨，概率為：(23)4=1681；

(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：

①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；

概率為：2×(13)2×(23)2+137.【正確答案】C

解：由C：(x?4)2+(y?3)2=4，可得圓心C(4,3)，半徑r=2，過點P作圓C的切線，切點分別為A，B，

由題意|PA|=|PC|2?|AC|2=|PC|2?4，

∴當PC⊥l時，|PA|取最小值，

由點到直線的距離公式可得|PC|min=|4×4+3×3+5|16+9=6，

此時|PA|=|PB|=36?4=42，

過A作直線l的對稱點A′，連接QA′，A′B，A′B與直線l的交點即為所求的點Q，

由于PA與PB關于直線PC對稱，PC⊥l，PA與PA′關于直線l對稱，

因此PA′與A′B就是同一條直線，即點P即為所求的點Q，

∴|QA|+|QB|的最小值為2|PB|=88.【正確答案】B

解：由DE?DA|DA|=DE?DB|DB|，可得|DE|cos∠EDA=|DE|cos∠EDB，

即cos∠EDA=cos∠EDB，所以點E在∠BDA的角平分線上，

設AB的中點為M，因為DA=DB，所以點E在線段DM上，

不妨設DE=λDM,λ∈[0,1]，

易知DM=DA+AM9.【正確答案】ABD

【分析】本題考查集合的新定義問題，理解新定義，并結合韋恩圖進行思考是解題的關鍵，考查學生邏輯推理能力和抽象能力，屬于中檔題．

理解集合的新定義，然后結合韋恩圖逐一判斷A、B、C選項；對于D選項，舉出特例，當A=B時滿足條件即可.

解：對于A選項，因為A⊕B=B，

所以B={x|x∈A∪B,x?A∩B}，

所以A?B，且B中的元素不能出現(xiàn)在A∩B中，

因此A=?，即選項A正確；

對于B選項，因為A⊕B=?，所以?={x|x∈A∪B,x?A∩B}，

即A∪B與A∩B是相同的，所以A=B，即選項B正確；

對于C選項，因為A⊕B?A，所以{x|x∈A∪B,x?A∩B}?A，所以B?A，即選項C錯誤；

對于D選項，當A=B時，?RA=?RB，

此時A⊕B=?10.【正確答案】AC

解：因為在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E為AB的中點，

所以△ADB為正三角形，所以DE⊥AE，DE⊥BE，

又二面角A1?DE?C為直二面角，

易證A1E⊥面ABD，

以E為原點，直線EB，ED，EA1所在方向分別為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(2,3,0)，

D(0,3,0)，P(1,32,12)，

對于A，因為BP=(0,32,12)，平面A1DE的一個法向量為m=(1,0,0)，

所以BP?m=0，BP?平面A1DE，

所以BP//平面A1DE，故A正確；

對于B，因為DP=(1,?32,12)，EC=(2,3,0)，

所以DP?EC=12≠0，所以DP，EC不垂直，故B錯誤；

對于C，因為PB=(0,?32,?12)，A1D=(0,3,?1)，

異面直線PB，A1D所成的角為α，

所以cosα=|cos<PB,A11.【正確答案】CD

解：因為P(B?)=23，所以P(B)=1?P(B?)=13，

又因為P(A?|B)=P(A?B)P(B)=34，所以P(A?B)=14；

又因為P(B)=13，所以P(AB)=P(B)?P(A?B)=112，

所以P(AB)≠P(A)P(B)=16，選項A錯誤；

P(A?B?)=P(A?)?P(A?B)=12?14=14，選項B錯誤；12.【正確答案】2,+∞

【分析】本題考查分段函數(shù)的單調性、數(shù)列的單調性，屬于中檔題.

根據(jù)是遞增數(shù)列以及解析式，可得t

的范圍，又a3>解：因為數(shù)列an是遞增數(shù)列，當n>2時，an=當n≤2時，a1<a2，即又a3>a2，所以t綜上，實數(shù)t的取值范圍是2,+∞故答案為

：2,+∞13.【正確答案】11π12【分析】本題考查正弦型函數(shù)的值域，屬于中檔題.

由題意得

ωx+π4∈[?ω+π4,ω+π4]，利用f(0)=2，函數(shù)fx

解：

∵x∈[0,1]，ω>0，∴ωx+π4∈[π4,ω+π4].

因為f(0)=2，函數(shù)fx=2sinωx+π4ω>0在區(qū)間0,1上的值域為m,n14.【正確答案】?12解：?eiπ3=cosπ3+isinπ3=12+32eiπ=cosπ+isinπ=?1，所以eiπ3+eiπ=?12+32i15.【正確答案】(1)解：已知a3=17，在Sn=nan?3n(n?1)，n∈N?中，

令n=2，n=3，可得a1+a2=2a2?6a1+a2+17=51?18，解得a1=5；

(2)解：Sn=nan?3n(n?1)，①

當n≥2時，Sn?1=(n?1)an?1?3(n?1)(n?2)(1)令n=2，n=3解方程即可求解；

(2)利用Sn，an的關系，作差可得等差數(shù)列，即可求解；

(3)利用放縮法可得bn<216.【正確答案】解：(1)在△ABC中，因為cosCc=?cosAa+2b，

所以由正弦定理可得：cosCsinC=?cosAsinA+2sinB，

所以sinAcosC+2sinBcosC=?cosAsinC，即sinAcosC+cosAsinC=?2sinBcosC，

所以sin(A+C)=?2sinBcosC，即sinB=?2sinBcosC，

因為0°<B<180°，所以sinB>0，所以cosC=?12，

因為0°<C<(1)根據(jù)正弦定理將分式化簡，結合兩角和的正弦公式可求得結果；

(2)在△ACE中，根據(jù)正弦定理表示出CE，在△BCD中，根據(jù)正弦定理表示出CD，根據(jù)三角形面積公式得到△CDE的面積，即可求出結果．

本題考查利用正弦定理、三角恒等變換、三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題．17.【正確答案】解：(1)證明：如圖，取DM的中點O，連結OA，OE，

因為四邊形CDEF為等腰梯形，EF=CF=2，CD=4，M對CD的中點，

所以四邊形CMEF為菱形，則EM=CM=DM=2，又DE=2，

所以△EMD是邊長為2的等邊三角形，

因為四邊形ABCD為等腰梯形，M對CD的中點，AB=2，CD=4，

所以四邊形ABCM為平行四邊形，則AM=BC=AD，

所以△ADM是以AD=AM=10為腰的等腰三角形，

則OE⊥DM,OA⊥DM,OA=3,OE=3，

故AO2+OE2=AE2，

故OA⊥OE，OE∩DM=O，OE?平面CDEF，DM?平面CDEF，

所以OA⊥平面CDEF，又OA?平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面CDEF；

(2)由(1)，以O為坐標原點，直線OE，OC，OA所在方向分別為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,3),E(3,0,0),M(0,1,0),B(0,2,3)，BE=(3,?2,?3)，AE=(3,0,?3)，EM=(?3,1,0),MB=(0,1,3)，

設平面AEM的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥AEEM⊥n，即n?AE=0n?EM=0，即3x?3z=0?3x+y=0，

令z=1，則x=3,y=3，即n=(3,3,1)，

設平面BEM的一個法向量為m=(a,b,c)，

由m?EM=?3a+b=0m?BE=3a?2b+3c=0，取a=(1)取DM的中點O，證明AO⊥OE，AO⊥DM，EO⊥DM，然后得線面垂直，再得面面垂直；

(2)以O為坐標原點，分別以OE，OC，OA為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角；

(3)由向量的數(shù)量積為0，確定N的軌跡，再由最小值確定其位置，得其坐標，然后由空間向量法求線面角．

本題考查了空間位置關系的證明及空間角與空間距離的求解，屬于中檔題．18.【正確答案】解：(1)易知A(?a,0)，B(a,0)，

因為|AB|=2a=4，

所以a=2，

設P(m,n)，

因為點P在雙曲線C上，

所以m24?n2b2=1，

即n2=b24(m2?4)，

又k1k2=nm+2?nm?2=n2m2?4=b24(m2?4)m2?4=b24=4，

所以b2=16，

則雙曲線C的方程為x24?y216=1；

(2)(i)若直線l的斜率為0，

此時直線l與雙曲線交于點A，B，不符合題意；

所以直線l的斜率不能為0，

設直線l的方程為x=my+4，D(x1,y1)，E(x2,y2)，

聯(lián)立x=my+4x24(1)由題意，求出a=2，設出點P的坐標，根據(jù)點P在雙曲線上以及斜率公式即可得到b的值，進而可得雙曲線的方程；

(2)(i)易知直線l的斜率不為0，設出直線l的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出等式即可求出m的取值范圍；

(ii)結合(i)中所得信息，利用韋達定理得到y(tǒng)1+y2=?32m4m219.【正確答案】解：(1)易知f(x)的定義域為R，

可得f′(x)=2xex+x2ex=x(x+2)ex，

當x∈(?∞,?2)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x∈(?2,0)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(?∞,?2)和(0,+∞)，單調遞減區(qū)間是(?2,0)；

(2)設切線分別與y=ex+m和y=ln(x+1)交于A(x4,ex4+m),B(x5,ln(x5+1），

因為y=ex+m的導數(shù)為y′=ex+m，y=ln(x+1)的導數(shù)為y