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文檔簡介
2025屆寧夏吳忠中學(xué)高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.62.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.3.若,則的虛部是()A. B. C. D.4.設(shè)為虛數(shù)單位,為復(fù)數(shù),若為實數(shù),則()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.76.已知六棱錐各頂點都在同一個球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.7.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點,已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于()A. B.1 C. D.8.集合的真子集的個數(shù)為()A.7 B.8 C.31 D.329.設(shè)且,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.10.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則11.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.12.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.對任意正整數(shù),函數(shù),若,則的取值范圍是_________;若不等式恒成立,則的最大值為_________.14.已知實數(shù),對任意,有,且,則______.15.已知等比數(shù)列的前項和為,,且,則__________.16.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,成等差數(shù)列,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列中,a1=1,其前n項和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記,若數(shù)列為遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.18.(12分)已知拋物線,直線與交于,兩點,且.(1)求的值;(2)如圖,過原點的直線與拋物線交于點,與直線交于點,過點作軸的垂線交拋物線于點,證明:直線過定點.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))和曲線(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)在極坐標系中,已知點是射線與直線的公共點,點是與曲線的公共點,求的最大值.21.(12分)以直角坐標系的原點為極坐標系的極點,軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標方程為,是上一動點,,點的軌跡為.(1)求曲線的極坐標方程,并化為直角坐標方程;(2)若點,直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點為,當取最小值時,求直線的普通方程.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當時,要使恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長,然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識,關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長,掌握一些常見的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】
化簡得到,,再計算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】,故,故,.故選:.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)模,意在考查學(xué)生的計算能力.3、D【解析】
通過復(fù)數(shù)的乘除運算法則化簡求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
可設(shè),將化簡,得到,由復(fù)數(shù)為實數(shù),可得,解方程即可求解【詳解】設(shè),則.由題意有,所以.故選:B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運算,由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù),屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】
根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得:,故選:C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運行的過程.6、D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因為,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.7、D【解析】
建立平面直角坐標系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線,代入點,可得∴焦點為,即焦點為中點,設(shè)焦點為,,,∴.故選:D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點間的距離等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.8、A【解析】
計算,再計算真子集個數(shù)得到答案.【詳解】,故真子集個數(shù)為:.故選:.【點睛】本題考查了集合的真子集個數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力.9、A【解析】項,由得到,則,故項正確;項,當時,該不等式不成立,故項錯誤;項,當,時,,即不等式不成立,故項錯誤;項,當,時,,即不等式不成立,故項錯誤.綜上所述,故選.10、C【解析】
根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于,當為內(nèi)與垂直的直線時,不滿足,錯誤;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,但,錯誤;對于,由,知:,又,,正確;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,錯誤.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
由得,分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系,由圖可知,.12、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當直線經(jīng)過時,;當直線經(jīng)過時,,可知當時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵,運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將代入求解即可;當為奇數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值;同理,當為偶數(shù)時,,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當為奇數(shù)時,,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以;當為偶數(shù)時,,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1);(2)【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.14、-1【解析】
由二項式定理及展開式系數(shù)的求法得,又,所以,令得:,所以,得解.【詳解】由,且,則,又,所以,令得:,所以,故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數(shù)的求法,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15、【解析】
由題意知,繼而利用等比數(shù)列的前項和為的公式代入求值即可.【詳解】解:由題意知,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式,屬于中檔題.16、【解析】
利用等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式得到關(guān)于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為,成等差數(shù)列,所以,由等比數(shù)列通項公式得,,所以,解得或,因為,所以,所以等比數(shù)列的通項公式為.故答案為:【點睛】本題考查等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式;考查運算求解能力和知識綜合運用能力;熟練掌握等差中項和等比數(shù)列通項公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)項和轉(zhuǎn)換可得,繼而得到,可得解;(2)代入可得,由數(shù)列為遞增數(shù)列可得,,令,可證明為遞增數(shù)列,即,即得解【詳解】(1)∵,∴,∴,即,∴,∴,∴.(2).=2·-λ(2n+1).∵數(shù)列為遞增數(shù)列,∴,即.令,即.∴為遞增數(shù)列,∴,即的取值范圍為.【點睛】本題考查了數(shù)列綜合問題,考查了項和轉(zhuǎn)換,數(shù)列的單調(diào)性,最值等知識點,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.18、(1);(2)見解析【解析】
(1)聯(lián)立直線和拋物線,消去可得,求出,,再代入弦長公式計算即可.(2)由(1)可得,設(shè),計算直線的方程為,代入求出,即可求出,再代入拋物線方程,求出,最后計算直線的斜率,求出直線的方程,化簡可得到恒過的定點.【詳解】(1)由,消去可得,設(shè),,則,.,解得或(舍去),.(2)證明:由(1)可得,設(shè),所以直線的方程為,當時,,則,代入拋物線方程,可得,,所以直線的斜率,直線的方程為,整理可得,故直線過定點.【點睛】本題第一問考查直線與拋物線相交的弦長問題,需熟記弦長公式.第二問考查直線方程和直線恒過定點問題,需有較強的計算能力,屬于難題.19、(1)答案見解析(2)【解析】
(1)先對函數(shù)進行求導(dǎo)得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當時,則,故在上單調(diào)遞減;當時,令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當時,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當時,.∴,即所求的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).20、(1),;(2)【解析】
(1)先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程,再分別求出極坐標方程;(2)寫出點M和點N的極坐標,根據(jù)極徑的定義分別表示出和,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】解:(1),,即極坐標方程為,,極坐標方程.(2)由題可知,,當時,.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標方程的互化問題,極徑的定義,以及三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.21、(1),;(2).【解析】
(1)設(shè)點極坐標分別為,,由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程;(2)設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得,,則,求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】(1)設(shè)點極坐標分別為,,因為,則,所以曲線的極坐標方程為,兩邊同乘,得,所以的直角坐標方程為,即.(2)設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程(參數(shù)),代入的直角坐標方程中,整理得.由韋達定理得,,所以,當且僅當時,等號成立,則,所以當取得最小值時,直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,考查利
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