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文檔簡介
2025屆山東省青島市嶗山區(qū)第二中學(xué)高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知直線:過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.2.若函數(shù)有且僅有一個零點,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.3.在中,分別為所對的邊,若函數(shù)有極值點,則的范圍是()A. B.C. D.4.已知x,y滿足不等式,且目標函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]5.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.6.若函數(shù)的定義域為M={x|-2≤x≤2},值域為N={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.7.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個,導(dǎo)線接頭忽略不計),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米8.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.10.已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點,若函數(shù)的圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函?shù)在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.11.若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.012.已知函數(shù)的零點為m,若存在實數(shù)n使且,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知滿足且目標函數(shù)的最大值為7,最小值為1,則___________.14.已知均為非負實數(shù),且,則的取值范圍為______.15.如圖,在體積為V的圓柱中,以線段上的點O為項點,上下底面為底面的兩個圓錐的體積分別為,,則的值是______.16.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃,需了解年研發(fā)資金投入量x(單位:億元)對年銷售額y(單位:億元)的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析,建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù),i=1,2,?,12,并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1,xi和(2)(i)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(ii)若下一年銷售額y需達到90億元,預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù):308=4×77,90≈9.4868,e18.(12分)已知數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.20.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.21.(12分)已知函數(shù)(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)若數(shù)列的前項和,,求證:數(shù)列的前項和.22.(10分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位,建立極坐標系.(1)設(shè)直線l的極坐標方程為,若直線l與曲線C交于兩點A.B,求AB的長;(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點,若,求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)直線:過雙曲線的一個焦點,得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因為直線:過雙曲線的一個焦點,所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,由題意得出,進而可求得實數(shù)的值,并對的值進行檢驗,即可得出結(jié)果.【詳解】,則,,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為,則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn),不合題意.所以,,即,解得或.①當時,令,得,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:此時,函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點,不合乎題意;②當時,,,當且僅當時,等號成立,則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述,.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù),考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出,在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進行檢驗,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.3、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個不等實根.考點:1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力,綜合性較強,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根,從而可得.4、B【解析】
作出可行域,對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時,可行域即為如圖中的△OAM,此時目標函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時可知目標函數(shù)Z=9x+6y在的交點()處取得最大值,此時Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.【點睛】此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.5、D【解析】
設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.6、B【解析】因為對A不符合定義域當中的每一個元素都有象,即可排除;對B滿足函數(shù)定義,故符合;對C出現(xiàn)了定義域當中的一個元素對應(yīng)值域當中的兩個元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對D因為值域當中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.7、B【解析】
由于實際問題中扇形弧長較小,可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選:B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算,屬于容易題.8、B【解析】
根據(jù)條件可知方程有且只有一個實根等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因為條件等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點,作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點,則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.11、C【解析】
畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù)如圖:當時函數(shù)取最大值為故答案選C【點睛】求線性目標函數(shù)的最值:當時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最大,在軸截距最小時,z值最小;當時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最小,在軸上截距最小時,值最大.12、D【解析】
易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為,所以,∴,問題轉(zhuǎn)化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為,∴.故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值,表示直線在軸上的截距,只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可.【詳解】由題意得:目標函數(shù)在點B取得最大值為7,在點A處取得最小值為1,∴,,∴直線AB的方程是:,∴則,故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值的方法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和,把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為,,令,則,因為,當且僅當時等號成立,所以,,即,令則函數(shù)的對稱軸為,所以當時函數(shù)有最大值為,即.當且,即,或,時取等號;因為,當且僅當時等號成立,所以,令,則函數(shù)的對稱軸為,所以當時,函數(shù)有最小值為,即,當,且時取等號,所以.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.15、【解析】
根據(jù)圓柱的體積為,以及圓錐的體積公式,計算即得.【詳解】由題得,,得.故答案為:【點睛】本題主要考查圓錐體的體積,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件,列出方程組,求得的值,利用求和公式,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,即,解得,,所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,及前n項和公式的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,正確求解首項和公比是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)模型y=eλx+t的擬合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】
(1)由相關(guān)系數(shù)求出兩個系數(shù),比較大小可得;(2)(i)先建立U額R0關(guān)于x的線性回歸方程,從而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回歸方程可得x值.【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識,考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性.解:(1)r1r2則r1<r(2)(i)先建立U額R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關(guān)于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年銷售額y需達到90億元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等,考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性18、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)遞推公式,用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列,求其通項公式,進而求出的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【詳解】解:(1),,是首項為,公比為的等比數(shù)列.所以,.(2).【點睛】本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項公式,錯位相減法求數(shù)列的前n項和的問題,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理化簡得到,故,得到答案.(2)計算,再利用面積公式計算得到答案.【詳解】(1),則,即,故,,故.(2),故,故.當時等號成立.,故,,故△ABC面積的最大值為.【點睛】本題考查了正弦定理,面積公式,均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因為,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因為,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦
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