安徽省定遠縣第二中學2025屆高三一診考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

安徽省定遠縣第二中學2025屆高三一診考試數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設復數(shù)滿足,則()A.1 B.-1 C. D.2.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.253.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.4.從某市的中學生中隨機調(diào)查了部分男生,獲得了他們的身高數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)頻率分布直方圖,可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為A. B.C. D.5.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實數(shù)等于()A. B.1 C. D.26.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.7.下列不等式成立的是()A. B. C. D.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,P是雙曲線E上的一點,且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M,且M為的中點,則雙曲線E的漸近線方程為()A. B. C. D.9.已知實數(shù)滿足線性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]10.若,則的虛部是()A. B. C. D.11.如圖,長方體中,,,點T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.12.已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某高校組織學生辯論賽,六位評委為選手成績打出分數(shù)的莖葉圖如圖所示,若去掉一個最高分,去掉一個最低分,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為______.14.已知圓C:經(jīng)過拋物線E:的焦點,則拋物線E的準線與圓C相交所得弦長是__________.15.已知,滿足約束條件,則的最小值為__________.16.若且時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.求證:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.18.(12分)如圖,設A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于,記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)請寫出一個AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說明理由;(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.19.(12分)在某外國語學校舉行的(高中生數(shù)學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分數(shù)在以上(含)的同學獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關”.女生男生總計獲獎不獲獎總計附表及公式:其中,.20.(12分)對于給定的正整數(shù)k,若各項均不為0的數(shù)列滿足:對任意正整數(shù)總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)證明:等比數(shù)列是“數(shù)列”;(2)若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.21.(12分)已知拋物線的焦點為,直線交于兩點(異于坐標原點O).(1)若直線過點,,求的方程;(2)當時,判斷直線是否過定點,若過定點,求出定點坐標;若不過定點,說明理由.22.(10分)設函數(shù),是函數(shù)的導數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;(2)在上恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算,需掌握復數(shù)的運算法則,屬于基礎題.2、C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.4、C【解析】

由題可得,解得,則,,所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為,故選C.5、B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應的的值即可.【詳解】因為,所以,又因為是純虛數(shù),所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算以及根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復數(shù)為純虛數(shù),則有.6、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞減,,錯誤;對于,,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題;關鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.8、C【解析】

由雙曲線定義得,,OM是的中位線,可得,在中,利用余弦定理即可建立關系,從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意,點P一定在左支上.由及,得,,再結(jié)合M為的中點,得,又因為OM是的中位線,又,且,從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,則漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程,涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識,是一道中檔題.9、B【解析】

作出可行域,表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率,,,過與直線平行的直線斜率為-1,∴.故選:B.【點睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關鍵是理解非線性目標函數(shù)的幾何意義,本題表示動點與定點連線斜率,由直線與可行域的關系可得結(jié)論.10、D【解析】

通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為:的形式,即可得到復數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算,復數(shù)的基本概念,屬于基礎題.11、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結(jié)合即可證明,進而求得.由線段關系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中,,點T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應用,平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎題.12、C【解析】

先求出復合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關系,利用集合間包含關系與充要條件之間的關系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域為或,(且)令,其在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù),然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個數(shù)為83,85,87,95,且這四個數(shù)的平均數(shù),這四個數(shù)的中位數(shù)為,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點睛】本題主要考查莖葉圖的識別和統(tǒng)計量的計算,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).14、【解析】

求出拋物線的焦點坐標,代入圓的方程,求出的值,再求出準線方程,利用點到直線的距離公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦長的一半,進而求出弦長.【詳解】拋物線E:的準線為,焦點為(0,1),把焦點的坐標代入圓的方程中,得,所以圓心的坐標為,半徑為5,則圓心到準線的距離為1,所以弦長.【點睛】本題考查了拋物線的準線、圓的弦長公式.15、【解析】

作出約束條件所表示的可行域,利用直線截距的幾何意義,即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點處取最小值為.故答案為:【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的最值,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查運算求解能力,屬于基礎題.16、【解析】

將不等式兩邊同時平方進行變形,然后得到對應不等式組,對的取值進行分類,將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負時求參數(shù)范圍,列出對應不等式組,即可求解出的取值范圍.【詳解】因為,所以,所以,所以,所以或,當時,對且不成立,當時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得;當時,取,顯然不滿足,所以,所以,解得,綜上可得的取值范圍是:.故答案為:.【點睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論法:分析參數(shù)的臨界值,對參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨分離出來,再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關系求解出參數(shù)范圍.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,設AC∩BD=N,連結(jié)NE.則N,E(0,0,1),A(,,0),M.∴=,=.∴=且NE與AM不共線.∴NE∥AM.∵NE平面BDE,AM平面BDE,∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知=,∵D(,0,0),F(xiàn)(,,1),∴=(0,,1),∴·=0,∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.18、(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;(Ⅱ)用反證法證明:假設存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;(Ⅲ)通過分析正確得出l(A)的表達式,以及從A0如何得到A1,A2……,以此類推可得到Ak.【詳解】(Ⅰ)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,證明如下:假如存在,使得.因為,,所以,,...,,,,...,這18個數(shù)中有9個1,9個-1.令.一方面,由于這18個數(shù)中有9個1,9個-1,從而①,另一方面,表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個實數(shù)之積為m);也表示m,從而②,①,②相矛盾,從而不存在,使得.(Ⅲ)記這個實數(shù)之積為p.一方面,從“行”的角度看,有;另一方面,從“列”的角度看,有;從而有③,注意到,,下面考慮,,...,,,,...,中-1的個數(shù),由③知,上述2n個實數(shù)中,-1的個數(shù)一定為偶數(shù),該偶數(shù)記為,則1的個數(shù)為2n-2k,所以,對數(shù)表,顯然.將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,依此類推,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,即數(shù)表滿足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合為.【點睛】本題為數(shù)列的創(chuàng)新應用題,考查數(shù)學分析與思考能力及推理求解能力,解題關鍵是讀懂題意,根據(jù)引入的概念與性質(zhì)進行推理求解,屬于較難題.19、(Ⅰ),;(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)概率的性質(zhì)知所有矩形的面積之和等于列式可解得;(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎的人數(shù)為,不獲獎的人數(shù)為,從而可得列聯(lián)表,再計算出,與臨界值比較可得.【詳解】解:(Ⅰ),.(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎的人數(shù)為,不獲獎的人數(shù)為,列聯(lián)表如下:女生男生總計獲獎不獲獎總計因為,所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能認為“獲獎與女生,男生有關.”【點睛】本題主要考查獨立性檢驗,以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問題,熟記獨立性檢驗的思想,以及平均數(shù)的計算方法即可,屬于??碱}型.20、(1)證明見詳解;(2)證明見詳解【解析】

(1)由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:即可證明.(2)既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,,則對于任意都成立,則成等比數(shù)列,設公比為,驗證得答案.【詳解】(1)證明:由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:等比數(shù)列是“數(shù)列”.(2)證明:既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,()(),()可得:對于任意都成立,即成等比數(shù)列,即成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,設,()數(shù)列是“數(shù)列”時,由()可得:時,由()可得:,可得,同理可證成等比數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列【點睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目,考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式等基本知識,

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