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文檔簡介
四川省簡陽市2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)2.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.3.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于任意一個(gè)大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.94.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.305.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.116.一個(gè)四面體所有棱長都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上,則球的表面積為()A. B. C. D.7.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.9.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.110.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.5411.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.212.展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.51二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為______.14.已知,則________.(填“>”或“=”或“<”).15.等腰直角三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,,,,,則面積為______.16.在矩形ABCD中,,,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為BC,CD邊上動(dòng)點(diǎn),且滿足,則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中國,不僅是購物,而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費(fèi),日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作,調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶,從中隨機(jī)抽取了60名,統(tǒng)計(jì)他們出門隨身攜帶現(xiàn)金(單位:元)如莖葉圖如示,規(guī)定:隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下(不含100元)的為“手機(jī)支付族”,其他為“非手機(jī)支付族”.(1)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶,這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望和方差;(3)某商場為了推廣手機(jī)支付,特推出兩種優(yōu)惠方案,方案一:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元;方案二:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎(jiǎng)2次,每次中獎(jiǎng)的概率同為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)一次打9折,中獎(jiǎng)兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價(jià)值1200元的商品,請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析,選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.(12分)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,對,恒有成立,求實(shí)數(shù)的最小值.19.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)D在橢圓C上,的周長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.20.(12分)已知某種細(xì)菌的適宜生長溫度為12℃~27℃,為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量(單位:個(gè))隨溫度(單位:℃)變化的規(guī)律,收集數(shù)據(jù)如下:溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個(gè)2530385066120218對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后,得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值,如表所示:20784.11123.8159020.5其中,.(1)請繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖,并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果精確到0.1);(3)當(dāng)溫度為27℃時(shí),該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少?參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計(jì)分別為,,參考數(shù)據(jù):.21.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),與圓相交于、兩點(diǎn),求的取值范圍.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在直線上,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
原問題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根,換元處理令t,對g(t)進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時(shí),g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個(gè)不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問題,關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.2、B【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.3、B【解析】
模擬程序運(yùn)行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時(shí):,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.4、C【解析】
由知,展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng),一項(xiàng)是中的項(xiàng),另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知,,因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng),解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確,本題是一道基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.6、A【解析】
將正四面體補(bǔ)成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.7、D【解析】
先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個(gè)數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí),,函數(shù)在時(shí),是增函數(shù).因?yàn)?,所以函?shù)是奇函數(shù),所以有,因?yàn)?,函?shù)在時(shí),是增函數(shù),所以,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】
用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項(xiàng);由于,所以,排除C選項(xiàng);由于當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.9、D【解析】
由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)椋?,,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.11、A【解析】
求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號都出1,即;(2)兩個(gè)括號出,兩個(gè)括號出,一個(gè)括號出1,即;(3)一個(gè)括號出,一個(gè)括號出,三個(gè)括號出1,即;所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號各出一項(xiàng)相乘組合而成的.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用,得到的關(guān)系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,即,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
注意到,故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知,,故有.又由,故有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式比較大小,涉及到換底公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.15、【解析】
利用余弦定理計(jì)算,然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式,可得結(jié)果.【詳解】設(shè)由題可知:由,,,所以化簡可得:則或,即或由,所以所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,仔細(xì)觀察,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)E,F(xiàn)的坐標(biāo),由可得,利用數(shù)量積運(yùn)算求得,再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(1)所示:設(shè),,,即,又,令,其中,畫出圖形,如圖(2)所示:當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析,99%;(2),;(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表,再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論;(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,知服從二項(xiàng)分布,即,可求得其期望和方差;(3)若選方案一,則需付款元,若選方案二,設(shè)實(shí)際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,求出實(shí)際付款的期望,再比較兩個(gè)方案中的付款的金額的大小,可得出選擇的方案.【詳解】(1)由已知得出聯(lián)列表:,所以,有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān);(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,,;(3)若選方案一,則需付款元若選方案二,設(shè)實(shí)際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,,,,選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn),二項(xiàng)分布的期望和方差,以及由期望值確定決策方案,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)求得,根據(jù)已知條件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè),利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法,結(jié)合恒成立,求得的取值范圍,由此求得的最小值.【詳解】(1)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以在恒成立,即在恒成立,當(dāng)時(shí),上式成立,當(dāng),有,需,而,,,,故綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是(2)設(shè),,則,令,,在單調(diào)遞增,也就是在單調(diào)遞增,所以.當(dāng)即時(shí),,不符合;當(dāng)即時(shí),,符合當(dāng)即時(shí),根據(jù)零點(diǎn)存在定理,,使,有時(shí),,在單調(diào)遞減,時(shí),,在單調(diào)遞增,成立,故只需即可,有,得,符合綜上得,,實(shí)數(shù)的最小值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)由,周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡即可證得即可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,周長,且.聯(lián)立解得,,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)其方程為,則,所以,即.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,并設(shè),由,,,由直線l與圓E相切,得.所以.從而,即.綜合上述,得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生計(jì)算求解能力,難度較難.20、(1)作圖見解析;更適合(2)(3)預(yù)報(bào)值為245【解析】
(1)由散點(diǎn)圖
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