福建省南安市國(guó)光中學(xué)2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

福建省南安市國(guó)光中學(xué)2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或4.在中所對(duì)的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.5.如圖,平面ABCD,ABCD為正方形,且,E,F(xiàn)分別是線段PA,CD的中點(diǎn),則異面直線EF與BD所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.甲乙丙丁四人中,甲說(shuō):我年紀(jì)最大,乙說(shuō):我年紀(jì)最大,丙說(shuō):乙年紀(jì)最大,丁說(shuō):我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.8.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.9.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則()A. B. C. D.10.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.911.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.12.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是____.14.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.15.已知、為正實(shí)數(shù),直線截圓所得的弦長(zhǎng)為,則的最小值為__________.16.若函數(shù),其中且,則______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點(diǎn),.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點(diǎn),使與所成角的余弦值為,若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.18.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn),且滿足(分別為直線的斜率),求的面積為時(shí)直線的方程.19.(12分)如圖,四棱錐中,側(cè)面為等腰直角三角形,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,當(dāng)時(shí),函數(shù),求函數(shù)的最小值.21.(12分)如圖,平面分別是上的動(dòng)點(diǎn),且.(1)若平面與平面的交線為,求證:;(2)當(dāng)平面平面時(shí),求平面與平面所成的二面角的余弦值.22.(10分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,已知.(1)求角的值;(2)若,,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:設(shè),由題意,顯然時(shí)不符合題意,故,則,可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故選C.考點(diǎn):1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運(yùn)算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號(hào)是否成立,否則易出問(wèn)題.2、B【解析】

畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計(jì)算得到答案.【詳解】,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.3、A【解析】

利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn),則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.4、D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、C【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說(shuō)的是真話,結(jié)合其他人的說(shuō)法,看是否只有一個(gè)說(shuō)的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說(shuō)謊,丙也說(shuō)謊,而丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故甲說(shuō)的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說(shuō)謊,丙說(shuō)真話,丁也說(shuō)真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故乙說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說(shuō)真話,甲說(shuō)謊,丁說(shuō)的是真話,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,故丙在說(shuō)謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說(shuō)的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說(shuō)的是真話,那么甲也說(shuō)謊,說(shuō)明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說(shuō)謊,說(shuō)明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說(shuō)明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.7、B【解析】

設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解,涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用.9、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得,由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.10、B【解析】

模擬程序運(yùn)行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時(shí):,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.11、D【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計(jì)算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對(duì)角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.12、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、5【解析】

分析:畫出可行域,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),可得有最大值.詳解:畫出束條件表示的可行性,如圖,由可得,可得,目標(biāo)函數(shù)變形為,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),可得有最大值,故答案為.點(diǎn)睛:本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過(guò)或最后通過(guò)的定點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先根據(jù)弦長(zhǎng),半徑,弦心距之間的關(guān)系列式求得,代入整理得,利用基本不等式求得最值.【詳解】解:圓的圓心為,則到直線的距離為,由直線截圓所得的弦長(zhǎng)為可得,整理得,解得或(舍去),令,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考核基本不等式求最值,關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行變形,變成能用基本不等式求最值的形式,也可用換元法進(jìn)行變形,是中檔題.16、【解析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,在求出,從而求得的值.【詳解】由題意,函數(shù)可化簡(jiǎn)為,所以,所以.故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)值的求解,其中解答中正確化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量,然后求解線面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在,設(shè),由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程,解方程即可確定點(diǎn)F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則:,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為,而,設(shè)直線與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在,設(shè),,據(jù)此可得:,即:,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線面角的向量求法,立體幾何中的探索性問(wèn)題等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18、(1)(2)或【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義求得,得橢圓方程;(2)設(shè),由得,應(yīng)用韋達(dá)定理得,代入已知條件可得,再由橢圓中弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng),原點(diǎn)到直線的距離,得三角形面積,從而可求得,得直線方程.【詳解】解:(1)據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)據(jù)得設(shè),則又原點(diǎn)到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓相交問(wèn)題.解題時(shí)采取設(shè)而不求思想,即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得,把這個(gè)結(jié)論代入題中條件求得參數(shù),用它求弦長(zhǎng)等等,從而解決問(wèn)題.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)平面,利用線面垂直的定義可得,再由,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.(2)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量,利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫杂蔀榈妊苯侨切?,所以又,故平?取的中點(diǎn),連接,因?yàn)椋砸驗(yàn)槠矫?,所以平面所以平面如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則,又,所以且于是設(shè)平面的法向量為,則令得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為,則【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)的最小值為【解析】

(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?,,?dāng)時(shí),,令,可得;令,可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令,可得;令,可得或,所以函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)方法一:當(dāng)時(shí),,,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,,所以存在,使得,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因?yàn)椋?,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,且,故函數(shù)的最小值為.方法二:當(dāng)時(shí),,,則,令,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以存在,使得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)

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