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文檔簡介
2025屆上海市崇明區(qū)市級(jí)名校高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.2.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一,其內(nèi)容是:一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))之和,也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的,我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和,則拆成的和式中,加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.4.函數(shù),,則“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),()A. B.2 C. D.6.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.27.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6428.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.10.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.11.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.12.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對(duì)2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等邊三角形的邊長為1.,點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),則取值的集合為__________.14.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;②支出最高值與支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入為50萬元;④利潤最高的月份是2月份.15.在正方體中,分別為棱的中點(diǎn),則直線與直線所成角的正切值為_________.16.在中,,.若,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn),直線的斜率為1.(1)求橢圓的方程;(1)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,是否存在直線使得?若存在,求出的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)若,求邊上的高.19.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測試,根據(jù)測試成績?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下:等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);(2)其他條件不變,在評(píng)定等級(jí)為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.20.(12分)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),求線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,求證:M,B,C三點(diǎn)共線;(3)設(shè)過點(diǎn)M的直線交橢圓于兩點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使得(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知圓:和拋物線:,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點(diǎn),且滿足,求直線的方程;(2)過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點(diǎn),若直線的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo).22.(10分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子,找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有,利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個(gè)正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型,基本事件,屬于容易題.3、A【解析】
先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,注意計(jì)算的準(zhǔn)確度,屬于簡單題目.4、B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè),若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.所以,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.5、B【解析】
由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗?,所以,?dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.6、B【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7、A【解析】
設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題,解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問題時(shí)常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c8、B【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.9、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】
因?yàn)?,所以排除C、D.當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時(shí),,可得.故選A.11、D【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法.12、D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.14、①②③【解析】
通過圖片信息直接觀察,計(jì)算,找出答案即可.【詳解】對(duì)于①,2至月份的收入的變化率為20,11至12月份的變化率為20,故相同,正確.對(duì)于②,支出最高值是2月份60萬元,支出最低值是5月份的10萬元,故支出最高值與支出最低值的比是6:1,正確.對(duì)于③,第三季度的7,8,9月每個(gè)月的收入分別為40萬元,50萬元,60萬元,故第三季度的平均收入為50萬元,正確.對(duì)于④,利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元,高于2月份的利潤是80﹣60=20萬元,錯(cuò)誤.故答案為①②③.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象信息,分析歸納得出正確結(jié)論,屬于基礎(chǔ)題目.15、【解析】
由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計(jì)算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點(diǎn),∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補(bǔ)角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.16、【解析】分析:首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長,利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長,之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長之間的關(guān)系,從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義,對(duì)邊比臨邊,求得對(duì)應(yīng)角的正切值,即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意,設(shè),則,根據(jù),得,由勾股定理可得,根據(jù)余弦定理可得,化簡整理得,即,解得,所以,故答案是.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)解三角形的問題,在解題的過程中,注意分析要求對(duì)應(yīng)角的正切值,需要求誰,而題中所給的條件與對(duì)應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線,設(shè)出直角邊長,利用所給的角的余弦值,利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)系,求得最后的結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(1)不存在,理由見解析【解析】
(1)利用離心率和過點(diǎn),列出等式,即得解(1)設(shè)的方程為,與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo),用點(diǎn)坐標(biāo)表示,利用韋達(dá)關(guān)系代入,得到關(guān)于k的等式,即可得解.【詳解】(1)由題意,可得解得則,故橢圓的方程為.(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,不符合題意.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),設(shè)的方程為,聯(lián)立得,設(shè),則,,,即.設(shè),則,,,則,即,整理得,此方程無解,故的方程不存在.綜上所述,不存在直線使得.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了弦長和中點(diǎn)問題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.18、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理將邊化成角,可得,展開并整理可得,從而可求出角;(2)由余弦定理得,進(jìn)而可得,由,可求出的值,設(shè)邊上的高為,可得的面積為,從而可求出.【詳解】(1)由題意,由正弦定理得.因?yàn)?,所以,所以,展開得,整理得.因?yàn)?,所以,故,?(2)由余弦定理得,則,得,故,故的面積為.設(shè)邊上的高為,有,故,所以邊上的高為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查三角形的面積公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.19、(1)64,65;(2);(3).【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出,平均數(shù),中位數(shù);(2)設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件,由條件概率公式可求出;(3)從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談,其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為,“合格”的學(xué)生數(shù)為6;由題意可得,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計(jì)算公式即可得出概率,進(jìn)而得出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題意知,樣本容量為,.(1)平均數(shù)為,設(shè)中位數(shù)為,因?yàn)?,所以,則,解得.(2)由題意可知,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有24人,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有12人.設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件,則,所以.(3)在評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人,則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為,“合格”的學(xué)生人數(shù)為.由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1.,.所以的分布列為0510151.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;(2)證明見解析;(3)【解析】
設(shè).(1)因?yàn)橹本€的傾斜角為,,所以直線AB的方程為,聯(lián)立方程組,消去并整理,得,則,故線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(2)根據(jù)題意得點(diǎn),若直線AB的斜率為0,則直線AB的方程為,A、C兩點(diǎn)重合,顯然M,B,C三點(diǎn)共線;若直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為,聯(lián)立方程組,消去并整理得,則,設(shè)直線BM、CM的斜率分別為、,則,即=,即M,B,C三點(diǎn)共線.(3)根據(jù)題意,得直線GH的斜率存在,設(shè)該直線的方程為,設(shè),聯(lián)立方程組,消去并整理,得,由,整理得,又,所以,結(jié)合,得,當(dāng)時(shí),該直線為軸,即,此時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)P都滿足,此時(shí)符合題意;當(dāng)時(shí),由,得,代入橢圓C的方程,得,整理,得,再結(jié)合,得到,即,綜上,
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