甘肅省通渭縣2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省通渭縣2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，，則=()A． B．C． D．2．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．23．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．4．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．5．已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．6．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．7．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進(jìn)行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲8．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．9．函數(shù)在上為增函數(shù)，則的值可以是()A．0 B． C． D．10．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．411．已知為等比數(shù)列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．12．已知，，，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若對于任意正實數(shù)，均存在以為三邊邊長的三角形，則實數(shù)k的取值范圍是_______.14．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____15．已知集合，，則________.16．若，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于不同的兩點，，試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.18．（12分）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在一次報名中，每個學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會（這5次考試機(jī)會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費.某駕校對以往2000個學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計，得到下表：考試情況男學(xué)員女學(xué)員第1次考科目二人數(shù)1200800第1次通過科目二人數(shù)960600第1次未通過科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率，且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機(jī)會為止.（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費的概率；（2）若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費用之和為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設(shè)曲線與曲線交于，兩點，求.20．（12分）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（3）當(dāng)時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當(dāng)時，直線與曲線的交點在y軸兩側(cè)）.21．（12分）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項，第3項，第4項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項的和．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點（均異于橢圓的左、右頂點）.當(dāng)直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為.①若，求證：直線過定點；②若直線過橢圓的右焦點，試判斷是否為定值，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先化簡集合A,B，結(jié)合并集計算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．【點睛】本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡集合A,B，難度較?。?、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設(shè)焦點為，，，∴.故選：D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點間的距離等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.4、D【解析】

根據(jù)，利用通項公式得到含的項為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，5、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2x．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補(bǔ)混合運算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項錯誤.對于D選項，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.故選：D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．9、D【解析】

依次將選項中的代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，在上不單調(diào)，故A不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故B不正確；當(dāng)時，在上不單調(diào)，故C不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.10、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標(biāo)，由此可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．11、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時,,∴；當(dāng)時,,∴.故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個式子的取值范圍由的符號決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因為對任意正實數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當(dāng),即時,,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時,因為,,所以,解得；當(dāng)時,,滿足條件；當(dāng)時,,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.14、80211【解析】

由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解析】

利用交集定義直接求解．【詳解】解：集合奇數(shù)，偶數(shù)，．故答案為：．【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運用齊次式求值，屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關(guān)于軸對稱，等價于的斜率互為相反數(shù)，即，整理.設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，將韋達(dá)定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得，，又，解得，.所以，橢圓的方程為(2)存在定點，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，整理得，.設(shè)，，定點.(依題意則由韋達(dá)定理可得，，.直線與直線恰關(guān)于軸對稱，等價于的斜率互為相反數(shù).所以，，即得.又，，所以，，整理得，.從而可得，，即，所以，當(dāng)，即時，直線與直線恰關(guān)于軸對稱成立.特別地，當(dāng)直線為軸時，也符合題意.綜上所述，存在軸上的定點，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.【點睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系，熟記橢圓方程簡單性質(zhì)，熟練轉(zhuǎn)化題目條件，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是中檔題.18、（1）；（2）見解析.【解析】

事件表示男學(xué)員在第次考科目二通過，事件表示女學(xué)員在第次考科目二通過（其中）（1）這對夫妻是否通過科目二考試相互獨立，利用獨立事件乘法公式即可求得；（2）補(bǔ)考費用之和為元可能取值為400，600，800，1000，1200，根據(jù)題意可求相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求X的數(shù)學(xué)期望．【詳解】事件表示男學(xué)員在第次考科目二通過，事件表示女學(xué)員在第次考科目二通過（其中）.（1）事件表示這對夫妻考科目二都不需要交補(bǔ)考費..（2）的可能取值為400，600，800，1000，1200.，，，，.則的分布列為：40060080010001200故(元).【點睛】本題以實際問題為素材，考查離散型隨機(jī)變量的概率及期望，解題時要注意獨立事件概率公式的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)互化公式得，曲線的直角坐標(biāo)方程為：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標(biāo)為，化直角坐標(biāo)方程為，化直角坐標(biāo)方程為，∴，∴.【點睛】本題考查利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及聯(lián)立方程組求交點坐標(biāo)，考查計算能力.20、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調(diào)性即可得證；（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實數(shù)解，對求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【詳解】；令，則恒成立；，；的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；；令，；則；令，則；；；（3）證明：，，要證明有唯一實數(shù)解；當(dāng)時，；當(dāng)時，；即對于任意實數(shù)，一定有解；；當(dāng)時，有兩個極值點；函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又；只需，在時恒成立；只需；令，其中一個正解是；，；單調(diào)遞增，，（1）；；；綜上得證．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化思想、不等式的放縮，屬難題．21、（1），；（2）.【解析】

(1)根據(jù)題意同時利用等差、等比數(shù)列的通項公式即可求得數(shù)列和的通