結(jié)構(gòu)力學(xué)第4章

如下圖所示，先施加力F1，再施加力F2（廣義力），則和是實(shí)功；F1⊿12是虛功。

注意：作功的力必須和位移一一對(duì)應(yīng)（如力偶在角位移上做功），否則，二者的乘積就不是功，例如，不能把F1

22叫做功。

2.剛體體系的虛功原理和變形體體系的虛功原理及各自的應(yīng)用條件

(1)剛體體系的虛功原理敘述為：設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件的無(wú)限小的剛體位移，則外力在位移上所作的虛功總和恒等于零，即：

We=0所謂剛體體系是指體系只發(fā)生剛體位移，而不產(chǎn)生變形。例如，圖中當(dāng)B支座有位移時(shí)，體系的位移就是剛體位移?？梢杂脛傮w體系的虛功原理求解。

若結(jié)構(gòu)發(fā)生位移時(shí)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部也同時(shí)產(chǎn)生應(yīng)變，則此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問(wèn)題屬于變形體的位移計(jì)算問(wèn)題。在變形體體系的虛功原理中，由于變形體中存在應(yīng)變，因而既要考慮外力所作的虛功，也要考慮內(nèi)力所作的虛功。

(2)變形體體系的虛功原理敘述為：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于其他原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上所作外虛功恒等于各個(gè)微段的內(nèi)力在變形上所作的內(nèi)虛功，即：

We=Wi例如，圖中簡(jiǎn)支梁由于溫度變化產(chǎn)生了應(yīng)變，就屬于變形體的位移計(jì)算問(wèn)題。在靜定結(jié)構(gòu)中,溫度變化和荷載作用會(huì)引起應(yīng)變，因此在這兩種情況下靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問(wèn)題都是變形體體系的位移計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)該用變形體體系的虛功原理求解。在超靜定結(jié)構(gòu)中，無(wú)論支座位移、溫度變化、制作誤差和荷載作用都將引起應(yīng)變，因此都應(yīng)該用變形體體系的虛功原理求解。所以，剛體體系的虛功原理與變形體體系的虛功原理唯一不同之處就是看是否需要考慮內(nèi)力所作的功。判斷應(yīng)該使用剛體體系的虛功原理還是用變形體體系的虛功原理解題，只需判斷體系是否有變形，若體系有變形，就用變形體體系的虛功原理；若體系無(wú)變形，就用剛體的虛功原理。也可以這樣認(rèn)為：剛體體系的虛功原理是變形體虛功原理當(dāng)Wi=0時(shí)的一種特例。3.虛功的兩種常用表達(dá)形式由于產(chǎn)生虛功的力和位移彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)，因此既可以把位移看成是虛設(shè)的，也可以把力看成是虛設(shè)的。

(1)位移是虛設(shè)的。虛功可以表達(dá)為：實(shí)際存在的力×虛設(shè)的位移。由于位移是虛設(shè)的，因此這種形式下的虛功原理又稱為虛位移原理，可以用于求未知力。

(2)力是虛設(shè)的。此時(shí)，虛功可以表達(dá)為：虛設(shè)的力×實(shí)際發(fā)生的位移。由于力是虛設(shè)的，因此這種形式下的虛功原理又稱為虛力原理，可以用來(lái)求位移。

虛位移原理實(shí)質(zhì)是用幾何方法來(lái)求解靜力（平衡）問(wèn)題；所建立的虛功方程等價(jià)于平衡方程。注意：

按虛力原理實(shí)質(zhì)是用靜力方法來(lái)求幾何問(wèn)題，所建立的虛功方程等價(jià)于幾何方程。(2)位移互等定理。在任一線性變形體系中，由荷載F1引起的與荷載F2相應(yīng)的位移影響系數(shù)

21等于由荷載F2引起的與荷載F1相應(yīng)的位移影響系數(shù)

12。這里的荷載可以是廣義荷載，而位移則是相應(yīng)的廣義位移。在一般情況下，定理中的兩個(gè)廣義位移的量綱可能是不相等的，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。4.互等定理(1)功的互等定理。在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上所作的功W12等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)位移上所作的功W21，即W12=W21。

在任一線性變形體系中，由位移c2所引起的與荷載F1相應(yīng)的位移影響系數(shù)

12，在絕對(duì)值上等于由荷載F1引起的與位移c2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21，但二者差一個(gè)負(fù)號(hào)。

(4)、位移反力互等定理?；サ榷ɡ淼膽?yīng)用條件：

在以上幾個(gè)定理中，功的互等定理是基本定理，其他定理都可以由功的互等定理導(dǎo)出?；サ榷ɡ碇贿m用于線性變形體系：(3)、反力互等定理。在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21等于由位移c2所引起的與位移c1相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21。(1)材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變成正比；(2)結(jié)構(gòu)變形很小，不影響力的作用。二、各種情況下位移的計(jì)算1.位移計(jì)算的一般公式根據(jù)變形體體系的虛功原理,We=Wi，可以推導(dǎo)出位移計(jì)算的一般公式其中，等號(hào)左邊為外力所作的功We，右邊為內(nèi)力功Wi。

M、FS、FN——虛單位力引起的彎矩、剪力、軸力；

——軸線曲率。

R——虛單位力產(chǎn)生的支座反力；c——實(shí)際發(fā)生的支座位移，若無(wú)支座位移，該項(xiàng)為零；

——軸線伸長(zhǎng)應(yīng)變；

0——平均剪切應(yīng)變；

此式具有普遍性，既可以用于靜定結(jié)構(gòu)，也可以用于超靜定結(jié)構(gòu),既可以用于彈性材料，也可以用于非彈性材料。2.荷載單獨(dú)作用下的位移計(jì)算

若應(yīng)變

、

0、

都是由荷載引起的，則有：

=MP／EI，

=FNP／EA，

0=μFSP／GA?？梢缘贸龊奢d作用下的位移計(jì)算公式為其中

M、FS、FN意義同前；MP

、

FNP、

FSP——實(shí)際荷載引起的內(nèi)力;μ——切應(yīng)變的截面形狀系數(shù)。對(duì)各類特殊的結(jié)構(gòu)形式可得相應(yīng)的簡(jiǎn)化公式（1）梁和剛架。公式為（2）桁架。公式為（3）組合結(jié)構(gòu)。公式為

(4)拱。當(dāng)拱的壓力線與拱的軸線相近（即兩者的距離與桿件的截面高度為同量級(jí)）時(shí)，應(yīng)考慮彎曲變形和拉伸變形對(duì)位移的影響，即：當(dāng)壓力線與拱軸線不相近時(shí)，則只需考慮彎曲變形的影響，即：3.支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)支座產(chǎn)生移動(dòng)時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)發(fā)生剛體位移，因而不產(chǎn)生變形，應(yīng)用剛體的虛功原理We=0，得式中，R為虛單位力引起的支座反力，c為實(shí)際支座位移,當(dāng)二者方向一致時(shí)，其乘積取正值，相反時(shí)取負(fù)值。若結(jié)構(gòu)是超靜定的，則當(dāng)支座移動(dòng)時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力和變形，故Wi≠0，因此應(yīng)該用變形體的虛功原理求位移。4.溫度作用時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)，桿件不產(chǎn)生切應(yīng)變，而軸向線應(yīng)變和曲率分別為

=

t0，

=

t／h則位移計(jì)算公式為h——截面高度。

——材料的線膨脹系數(shù)；t0——桿件軸線的溫度變化（溫度升高為正，降低為負(fù)）；

t——桿件上下邊緣的溫差絕對(duì)值；若

、

t0、

t、h沿每根桿件的全長(zhǎng)為常數(shù)，則得

正負(fù)號(hào)規(guī)定：軸力以拉伸為正；彎矩和溫差

t引起的彎曲為同方向時(shí)，其乘積取正值，否則取負(fù)值。式中，5.具有彈性支撐或彈性約束的結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算彈性支承或彈性約束有以下幾種類型：已知彈簧的剛度系數(shù)為k（或已知柔度系數(shù)為f，其中f=1／k)

圖a和圖b的彈簧會(huì)產(chǎn)生線位移⊿，從而產(chǎn)生反力k⊿。圖c、圖d的情況，與彈簧相連接的桿件會(huì)產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角φ，從而產(chǎn)生力偶kφ。

注意：彈簧產(chǎn)生的力偶與相對(duì)轉(zhuǎn)角φ的方向相反。注意：彈簧的反力與位移⊿方向相反。計(jì)算具有彈性支承或彈性約束的結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，不僅要考慮外荷載作用下產(chǎn)生的位移，還要計(jì)算由于彈性支承的位移引起的附加位移。含有彈簧約束的結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算原理和方法，與無(wú)彈簧約束的結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算原理和方法是相同的，只要在變形體系的虛功原理或位移計(jì)算公式的等號(hào)右邊增加一項(xiàng)虛擬狀態(tài)的彈簧約束力在實(shí)際狀態(tài)的彈簧約束位移上所作的虛變形功即可。若略去受彎構(gòu)件的軸向變形和剪切變形對(duì)位移的影響，則位移計(jì)算可按下式計(jì)算：或上式中的fN=1/kN為彈簧支桿的柔度系數(shù)（單位力使彈簧支桿產(chǎn)生的位移，它與剛度系數(shù)kN互為倒數(shù)）；fM=1／kM為彈簧鉸的柔度系數(shù)（即單位力矩使彈簧鉸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角，它與剛度系數(shù)kM互為倒數(shù)）。例如圖a所示結(jié)構(gòu)，EI=常數(shù),求C左和C右截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。解：

(1)作MP圖，如圖b所示。

(2)

在C截面加單位力偶作圖，如圖b所示。

()注意：求位移時(shí)應(yīng)加上彈性支承處引起的位移。

例：求圖a所示結(jié)構(gòu)當(dāng)支座B

向下移動(dòng)⊿時(shí)A點(diǎn)豎向位移⊿AV.

解:

A點(diǎn)位移由三部分引起:外荷載，彈簧支座的位移和支座B的位移，而后兩者引起的位移均為剛體位移。三、幾個(gè)值得注意的問(wèn)題1.

圖乘法的應(yīng)用條件

當(dāng)求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移時(shí)，若滿足以下條件時(shí)，可以用圖乘法：(1)桿件的軸線為直線；(2)

桿件的EI為常數(shù)；

(3)MP圖和圖至少有一個(gè)是直線，豎標(biāo)y0應(yīng)取自直線彎矩圖中。2.

應(yīng)用圖乘法時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題

(1)

當(dāng)兩個(gè)圖形在同側(cè)時(shí)，乘積為正，否則為負(fù)。

(2)如果兩個(gè)圖形都是直線，則可以選擇任何一個(gè)圖形求面積，另一個(gè)取豎標(biāo)，兩者計(jì)算結(jié)果相同。

(3)如果取豎標(biāo)的圖形由幾段直線組成，則應(yīng)按照?qǐng)D形的斜率不同分成幾段計(jì)算。

(4)如果圖形的形心不易確定，可將其分解為幾個(gè)易確定形心的簡(jiǎn)單圖形，分項(xiàng)計(jì)算后進(jìn)行疊加。

(5)若桿件中各段的EI不相等，則應(yīng)按照EI分成幾部分，分別計(jì)算后疊加。

(6)

采用計(jì)算拋物線面積和形心位置的公式時(shí)，必須正確找出拋物線的頂點(diǎn)。

如圖a中，B點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，求面積公式

圖b中,雖然彎矩圖與圖a類似，但應(yīng)注意，因?yàn)榧辛的存在，使B

點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)，因此不可以直接應(yīng)用拋物線的求面積公式。正確的做法是將其分為解成兩個(gè)圖形相疊加（圖c、圖d）,其中圖c用拋物線的求面積公式，圖d用三角形的面積公式。例:求圖示懸臂梁C點(diǎn)的豎向位移。解在C點(diǎn)施加豎向單位力，作出M1圖和MP圖，再用圖乘法求位移。但圖乘結(jié)果不能直接得出，需要采用疊加法，將MP圖分解為MP1和MP2疊加，見(jiàn)圖c、圖d，然后令MP1和MP2

圖分別與M1圖圖乘后再相加。

(7)梯形的M圖相乘時(shí)，可將圖形面積分割，但相應(yīng)的豎標(biāo)應(yīng)取全量而不能只取部分。

如圖，將梯形的面積分為A1和A2兩部分，則A1的形心對(duì)應(yīng)的M2圖中的豎標(biāo)應(yīng)該是(y1+y2)而不僅僅是y1或y2。

（8）求面積的M圖有正有負(fù)時(shí)，應(yīng)分別計(jì)算。例如，圖中M1、M2圖乘時(shí)（M1圖求面積），可將M1圖分解成⊿ABC和⊿BCD相加，M2圖分解成⊿EFG和⊿FGH相加，則圖乘結(jié)果為：

（⊿ABC的面積乘以在M2圖中的豎標(biāo)）+（⊿BCD的面積乘以在M2圖中的豎標(biāo)）

(9)若某結(jié)構(gòu)中既有直桿又有曲桿，則直桿部分可以應(yīng)用圖乘法，曲桿部分不能用，只能進(jìn)行積分。2.對(duì)稱結(jié)構(gòu)位移的特點(diǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱軸處水平位移為零；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱軸處豎向位移為零。對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下的位移為正對(duì)稱，在反對(duì)稱荷載作用下的位移為反對(duì)稱。

例：計(jì)算圖a所示桁架A點(diǎn)水平位移⊿AH（向右為正），EA=常數(shù)。

解：在A

點(diǎn)施加單位力（圖b），則在FNP圖中，只有1、2桿軸力不為零。在圖中只有3、4

桿軸力不為零，因此⊿AH=0。四、舉例

例：圖a所示靜定梁中，由于制造誤差,AB和BC兩段均成半徑為R=400m的圓弧，裝配時(shí)AB段上凸，BC段下凸，試求BC中點(diǎn)的⊿DV。解：由位移計(jì)算一般公式有例：欲使圖a中A點(diǎn)的豎向位移與正確位置相比誤差不超過(guò)0.6cm，桿BC長(zhǎng)度的最大誤差λmax可為多少？其他各桿保持精確長(zhǎng)度。解本題桿件有變形，因而也有內(nèi)力虛功，因此應(yīng)采用變形體的虛功原理求解。在A點(diǎn)施加豎向單位力，則

由We=Wi得：可求出

（）

例：已知圖a所示簡(jiǎn)支梁兩端作用著一對(duì)力偶M，同時(shí)梁上側(cè)溫度升高t1，下側(cè)溫度下降t1，求A端的轉(zhuǎn)角

A。欲使

A=0，問(wèn)M