猜想06 平行線的證明和三角形內(nèi)角和定理（易錯(cuò)必刷36題9種題型）解析版

猜想06：平行線的證明和三角形內(nèi)角和定理【聚焦題型】題型一：平行公理及其推論題型二：平行線的判定題型三：平行線的性質(zhì)定理題型四：平行線性質(zhì)的應(yīng)用題型五：平行線的距離問(wèn)題題型六：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題題型七：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題題型八：三角形折疊的角度問(wèn)題題型九：平行線和三角形交匯綜合問(wèn)題【題型通關(guān)】題型一：平行公理及其推論1．（2022上·河南鶴壁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中是真命題的是（

）A．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C．兩邊和其中一角分別相等的兩個(gè)三角形全等D．在同一平面內(nèi)，若，，則【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義、平行線的性質(zhì)、平行線的判定方法、三角形全等的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，故A是假命題；B、兩條直線被第三條直線所截，只有當(dāng)這兩條直線平行時(shí)，同位角才會(huì)相等，故B是假命題；C、兩邊和兩邊的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，故C是假命題；D、在同一平面內(nèi)，若，，則，故D是真命題．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．2．（2017下·浙江臺(tái)州·七年級(jí)臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①同位角相等；②a，b，c是三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．③a，b，c是三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c；④過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】解：①兩直線平行，同位角相等，故原命題是假命題；②，在同一平面內(nèi)，a，b，c是三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a∥c，故原命題是假命題；③a，b，c是三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c，是真命題；④過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題是假命題，綜上，真命題只有③一個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查命題的真假判斷，判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定理．3．（2011·廣東廣州·中考真題）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中真命題的是．（填寫所有真命題的序號(hào)）【答案】①②④【詳解】①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，②如果b//a，c//a，那么b//c是真命題，③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命題，④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c是真命題，∴真命題有①②④，故答案為：①②④題型二：平行線的判定4．（2023上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，由下列條件能判定的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定作答即可．【詳解】A項(xiàng)，不能判定，故本項(xiàng)不符合題意；B項(xiàng)

，不能判定，故本項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行能判定，故本項(xiàng)不符合題意；D.，不能判定，故本項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，掌握內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023下·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正六邊形中，，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)．添加下列條件中的一個(gè)：①；②；③；④．能使四邊形是平行四邊形的是（

）

A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①④【答案】A【分析】①連接，交于點(diǎn)，證明，由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論；②證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論；③不能證明與全等，則可得出結(jié)論；④證明，得出，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論．【詳解】解：①如圖，連接，交于點(diǎn)，∵正六邊形中，，∴和是等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，故①符合題意；②在正六邊形中，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故②符合題意；③∵，，，∴與不一定全等，不能得出四邊形是平行四邊形，故③不符合題意；④在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故④符合題意．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，則下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線的判定方法及平行四邊形的判定可得出答案．【詳解】解：、，，又，四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不能判斷四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；、，，又，四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，，，，，四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．7．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，是的一個(gè)外角．

(1)用尺規(guī)作圖法，求作直線，使；（保留作圖痕跡，不寫作法，并用2B鉛筆描粗）(2)請(qǐng)說(shuō)明（1）中你所作的直線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）作的平分線即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角和角平分線的定義得到，進(jìn)而利用平行線的判定可證得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求作；

（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∵是的一個(gè)外角∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖-作角平分線、平行線的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用，得到作平分線是解答的關(guān)鍵．8．（2023上·河北保定·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)F在上，(1)與平行嗎？為什么？(2)如果，且，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解答(2)【分析】（1）根據(jù)垂直得出，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中．9．（2023上·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，通過(guò)等量代換證明，再根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，再由可得，根據(jù)角平分線的定義求出，再由平行線的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．（2）∵，∴，．∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．題型三：平行線的性質(zhì)定理10．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，，，，在與中，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023下·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線a和b上，點(diǎn)C在直線a、b之間，且，，，則的度數(shù)是（

）

A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)角的和差求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟記“等腰三角形的兩底角相等”是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，則的周長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，由條件推出四邊形，四邊形是平行四邊形，，是等邊三角形，得到，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，∵，，，∴四邊形，四邊形是平行四邊形，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，同理：是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為：，即的周長(zhǎng)是．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)證明．13．（2023下·安徽宿州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，，平分交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)、對(duì)邊平行求出，，根據(jù)角平分線定義及角的和差求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·四川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，將以，為兩腰的等腰的頂點(diǎn)P，N按如圖所示的方式分別放在a，b上，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線與交于點(diǎn)，如圖所示，先利用等腰三角形的性質(zhì)求得，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)求得的度數(shù)，即可求得．【詳解】解：設(shè)直線與交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，，∴，∴中，，∵，，∴，∴．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線性質(zhì)的正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州十一中?？计谀┤鐖D，，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，再根據(jù)可得，從而解決問(wèn)題．【詳解】

∵，∴．∵，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四：平行線性質(zhì)的應(yīng)用16．（2023下·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，將沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上，若，，，則的周長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，，易得是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，由翻折的性質(zhì)可得：，

∵∴，，∴，∴，∴，同理可證：，∴是的中位線，，∵，，∴，，∴的周長(zhǎng)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，中位線的判定，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，證明出是的中位線是解題的關(guān)鍵．17．（2022下·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論：平分；平分；；．其中正確結(jié)論的有（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可證明正確；根據(jù)線段垂直平分線的判定即可證明正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊即可證明正確；根據(jù)線段垂直平分線的判定即可證明正確；即可得出答案．【詳解】解：證明：，，四邊形是平行四邊形，，，，平分，正確；，，，平分，正確；，，，，，正確；，，點(diǎn)一定在的垂直平分線上，即垂直平分，，故正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2023上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，現(xiàn)將一個(gè)含角的直角三角尺按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)F、分別落在直線，上，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對(duì)頂角相等可得，再由平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：交于點(diǎn)，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．題型五：平行線的距離問(wèn)題19．（2023下·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段固定，直線，是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，對(duì)于下列各值：①線段的長(zhǎng)；②的周長(zhǎng)；③的大??；④直線，之間的距離；⑤的面積．其中隨著點(diǎn)的移動(dòng)而不改變的是（

）

A．①②④ B．①④⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【分析】由中位線定理知，故不變；由圖知，周長(zhǎng)，隨點(diǎn)移動(dòng)而變化；如圖，過(guò)點(diǎn)M作，垂足為點(diǎn)I，延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)J，可證，于是，直線l與直線間的距離，為定值，直線，之間的距離不變；不隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化．【詳解】如圖，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)∴，故不變；周長(zhǎng)，，隨點(diǎn)移動(dòng)而變化，故周長(zhǎng)變動(dòng)；由圖可知，隨點(diǎn)移動(dòng)而變化；如圖，過(guò)點(diǎn)M作，垂足為點(diǎn)I，延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)J，∵∴，又∴∴長(zhǎng)度即直線l與直線間的距離，為定值，不隨著點(diǎn)的移動(dòng)改變；∴長(zhǎng)度，即直線，之間的距離不變；∴不隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化．綜上所述：①④⑤不隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化；故選B

【點(diǎn)睛】本題考查兩平行線間的距離，中位線定理，全等三角形判定與性質(zhì)，理解中位線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022下·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，E點(diǎn)在BC邊上，P．Q是AD邊上的兩點(diǎn)（P在Q的左側(cè)）、若PB與AE相交于R點(diǎn)，QB與AE相交于S點(diǎn)，則下列對(duì)的面積大小判斷正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線之間的距離處處相等，可得△PBE、△QBE有同底和相等的高，即可得△PBE的面積＝△QBE的面積；由圖可得△BRE的面積＞△BSE的面積，可得△PRE的面積＜△QSE的面積．即可判斷．【詳解】解：①△PBE、△QBE如圖所示：兩個(gè)三角形有相同的底BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵平行線之間的距離處處相等，∴△PBE、△QBE有相等的高，∴△PBE的面積＝△QBE的面積；②∵△PBE的面積＝△QBE的面積，

∴△PRE的面積+△BRE的面積＝△QSE的面積+△BSE的面積，由圖可知：△BRE的面積＞△BSE的面積，∴△PRE的面積＜△QSE的面積．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線之間的距離，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．21．（2022下·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，定直線，點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為PA、PB的中點(diǎn)，對(duì)于下列各值：①線段MN與AB的比值；②的面積；③的周長(zhǎng)；④直線MN、AB之間的距離；⑤∠APB的大?。渲须S著點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是（

）A．②③ B．②⑤ C．③⑤ D．①②④【答案】C【分析】求出AB長(zhǎng)為定值，P到AB的距離為定值，再根據(jù)三角形的中位線即可判斷①②④；根據(jù)運(yùn)動(dòng)得出PA+PB不斷發(fā)生變化、∠APB的大小不斷發(fā)生變化，即可判斷③⑤．【詳解】∵A、B為定點(diǎn)，∴AB長(zhǎng)為定值，∵點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，∴MN=AB為定值，故①不正確；∵點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，定直線l//AB，∴P到AB的距離為定值，∴△PAB的面積為定值．故②④不正確；當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，PA+PB的長(zhǎng)發(fā)生變化，∴?PAB的周長(zhǎng)發(fā)生變化，故③正確；當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，∠APB發(fā)生變化，故⑤正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，能熟記三角形的中位線定理是解此題的關(guān)鍵，用了運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的思想．題型六：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題22．（2022上·浙江杭州·八年級(jí)翠苑中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，中，分別平分和，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)；④．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①根據(jù)平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，借助于等量代換可求出∠DBF＝∠DFB；②同理可得②的結(jié)論；③用特殊值法，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，角平分線定義和等腰三角形的判定便可得出，進(jìn)而得，便可得出；的周長(zhǎng)不等于的周長(zhǎng)；④利用兩次三角形的內(nèi)角和，以及平分線的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換，可求的和之間的關(guān)系式．【詳解】解：①∵是的角平分線，∴，又，，，故①正確；②同理，，為等腰三角形故②正確；③假設(shè)為等邊三角形，則，如圖，連接，∵，，的周長(zhǎng)，∵F是的平分線的交點(diǎn)，∴第三條平分線必過(guò)其點(diǎn)，即平分，∵為等邊三角形，∴，∴，，，，，，即的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，故③錯(cuò)誤；④在中，（1），在中，，即（2），得，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理解答，涉及面較廣，需同學(xué)們仔細(xì)解答．尤其是第③小題在常規(guī)方法不能判斷正誤時(shí)，可采用的特殊值法進(jìn)行判斷，也即是舉反例的方法．23．（2022上·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，，，則等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】設(shè)CD交BE于點(diǎn)F，根據(jù)AB∥CD，可得∠CFE=∠B=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)CD交BE于點(diǎn)F，∵AB∥CD，，∴∠CFE=∠B=60°，∵∠CFE+∠C+∠E=180°，，∴∠E=180°-∠C-∠CFE=80°．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握兩直線平行，同位角相等；三角形的內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．24．（2021·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）將一副三角板按如圖所示的方式放置，，，，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，AC∥EF，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】∵AC∥EF，∴∠DBE=∠C=45°，∴∠FBD=135°，∵∠E=60°，∠EDF=90°，∴∠F=30°，∴∠FDC=∠F+∠FBD=30°+135°=165°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．題型七：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題25．（2023·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由題意推出，在中，，即可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，平分，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關(guān)鍵在于根據(jù)已知推出．26．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，平分，點(diǎn)是、的垂直平分線的交點(diǎn)，連接、，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接并延長(zhǎng)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求出．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)，

點(diǎn)是、的垂直平分線的交點(diǎn)，，，，，是的一個(gè)外角，，同理，，，，，平分，平分，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．27．（2022上·廣東深圳·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面結(jié)論：①的面積等于的面積；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)三角形中線定義和三角形面積公式可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)等角的余角相等得到，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角性質(zhì)、等腰三角形的判定可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)等角的余角相等得到，再根據(jù)角平分線的定義可對(duì)③進(jìn)行判斷．【詳解】解：是中線得到，，故①正確；，是高，∴，，是角平分線，，，，，，故②正確；，，，而，，故③正確．根據(jù)已知條件不能推出，即不能推出，故④錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高線等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．題型八：三角形折疊的角度問(wèn)題28．（2023上·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖所示，在中，，將沿著直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，再由，，即可得到，從而求出答案．【詳解】解：如圖所示，

由題意得：，，，，．故選：A．29．（2023上·重慶開(kāi)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿翻折交于點(diǎn)，又將沿翻折，點(diǎn)落在上的處，其中，，則原三角形中的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由翻折得，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)，由翻折得∵，∴解得，∴∴∴故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程，正確掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，平分，點(diǎn)E在上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，平分，得，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，可得，即可得，根據(jù)得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，平分，∴，，∵沿直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，角平分線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)，正確計(jì)算．題型九：平行線和三角形交匯綜合問(wèn)題31．（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)D，的外角的角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)求證：．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再結(jié)合三角形外角的定義可得，即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，再結(jié)合第（1）問(wèn)的結(jié)果即可證明．【詳解】（1）解：．∵三角形的三條角平分線交于點(diǎn)O，，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴．即．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何證明題，涉及到角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．32．（2023下·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若平分，平分，交于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．(3)若平分，平分，交于點(diǎn)，求和關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解答過(guò)程；(2)；(3)，理由見(jiàn)解答過(guò)程．【分析】（1）由，得出，結(jié)合，得出，即可證明；（2）由，，得出，，由平分，得出，進(jìn)而得出，由平分，即可得出；（3）由平分，平分，得出，，由，得出，進(jìn)而得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，繼而得出，即可得出．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，平分，，，平分，；（3）解：，理由如下：平分，平分，，，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及平行線的判定與性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．33．（2023上·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問(wèn)題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請(qǐng)你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系．

【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）通過(guò)證明，得到，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，從而可得到中線的取值范圍；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，通過(guò)證明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：；（3）延長(zhǎng)于，使得，連接，延長(zhǎng)交于，證明得到，證明得到，，在通過(guò)三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化即可得到．【詳解】解（1）：如圖1，延長(zhǎng)至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，，，，故答案為：，；（2）如圖2中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3）結(jié)論：，，如圖3，延長(zhǎng)于，使得，連接，延長(zhǎng)交于，

，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．34．（2023上·吉林·八年級(jí)?？计谀靖兄咳鐖D①，是等邊三角形，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），作，使角的兩邊分別交邊，于點(diǎn)，，且．若，則的大小是______度；【探究】如圖②，是等邊三角形，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），作，使角的兩邊分別交邊，于點(diǎn)，，且．求證：；【應(yīng)用】若是邊的中點(diǎn)，且，其它條件不變，如圖③所示，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】；證明見(jiàn)解析；【分析】【感知】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)；【探究】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，推得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；【應(yīng)用】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，，推得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得，即可求出四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】【感知】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：；【探究】證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵是的外角，∴，∴，在△BED和中，，∴，∴；【應(yīng)用】解：∵是等邊三角形，，∴，，∵是的中點(diǎn)，，∴，由探究可知，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，連接，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(1)求證：四邊形為平行四邊形.(2)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到以，，，為頂點(diǎn)的四