湖北省襄陽市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

襄陽四中2024級高一年級11月月考數(shù)學(xué)試卷命題人：楊超審題人：馬海俊考試時(shí)間：2024年11月13日15：0017：00一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.化簡的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的關(guān)系，結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解出集合A，再由集合包含關(guān)系進(jìn)行求解實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】由題，因?yàn)?，所以且，?故選：A.3.已知，，為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，充分性成立，時(shí)，可能有，此時(shí)，即不一定成立，必要性不滿足，所以是充分不必要條件，故選：A．4若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由周期函數(shù)轉(zhuǎn)換然后代入表達(dá)式求解即可.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是以4為周期的周期函數(shù)，所以.故選：C.5.若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式的性質(zhì)將原式變形為，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即

，解得

，或

（舍），解得，故選：C.6.從裝滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設(shè)倒完第次后，前次共倒出純酒精升，倒完第次后，前次共倒出純酒精升，則的解析式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出第次倒出酒精后容器中含純酒精的質(zhì)量，然后可得第次倒出的純酒精的質(zhì)量，然后可得倒次共倒出的純酒精．【詳解】第次時(shí)共倒出了純酒精升，第次倒出后容器中含純酒精為升第次倒出的純酒精是升所以倒出第次時(shí)，共倒出了純酒精故選：C7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義域?qū)ΨQ求出，再根據(jù)單調(diào)性和奇偶性可求不等式的解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故即，而在上單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，故在上為減函數(shù)，而即為，故，故或，故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)，對，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性和周期性求出即可；【詳解】由函數(shù)fx?1的圖象關(guān)于直線對稱，可得，即，為偶函數(shù)，由得，即是以4為周期的偶函數(shù)，所以，由,令可得，所以.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.）9.下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AC【解析】【分析】通過反例可說明BD錯(cuò)誤；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證明AC正確.【詳解】對于A，，，，A正確；對于B，若，，則，B錯(cuò)誤；對于C，，，又，，C正確；對于D，若，，，，則，，，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列與函數(shù)有關(guān)的命題中，正確的是（）A.若，則B.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則C.若奇函數(shù)在有最小值，則在有最大值D.若偶函數(shù)在是減函數(shù)，則在是增函數(shù)【答案】CD【解析】【分析】利用換元法和待定系數(shù)法分別求得AB選項(xiàng)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)值，再根據(jù)函數(shù)奇偶性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，設(shè)，則，，即，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)冪函數(shù)，過點(diǎn)，則，解得，所以，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由已知為奇函數(shù)，則f?x=?f在0,+∞有最小值，即，，則時(shí)，，即，即在有最大值，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：由已知為偶函數(shù)，又在0,+∞是減函數(shù)，設(shè)，，，則，，，故，故即在是增函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：CD.11.設(shè)函數(shù)，其中表示x，y，z中的最小者，下列說法正確的有（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.不等式的解集為C.當(dāng)時(shí)，D當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】對AB，作出函數(shù)的圖象，易判斷AB；對C，根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法判斷即可；對D，根據(jù)判斷即可.【詳解】對A，作出函數(shù)的圖象，如圖實(shí)線部分：由圖可知，且其圖象關(guān)于軸對稱，函數(shù)偶函數(shù)，故A正確；對B，，再計(jì)算得，解集為，故B錯(cuò)誤；對C，再作出函數(shù)的圖象，為往右平移2個(gè)單位，易得當(dāng)時(shí)，.故C正確；對D，由圖知，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】(端點(diǎn)開閉都正確)【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域?yàn)椋脧?fù)合函數(shù)單調(diào)性，同增異減的原則，先確定外函數(shù)的單調(diào)性，再確定內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】由，可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，，外函數(shù)為上的增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間即為內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間，函數(shù)的對稱軸為，其開口向下，故其減區(qū)間為.故答案為：.13.已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程組即可得解.【詳解】依題意，，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，又，所以，即，兩式相加得.故答案為：14.已知函數(shù)，若有且僅有不相等的三個(gè)正數(shù)，使得，則的值為_________，若存在，使得，則的取值范圍是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析，可得．【詳解】所畫出函數(shù)的圖象有且僅有不相等的三個(gè)正數(shù)使由圖分析可得令則，，若存在，使得，令，則為的兩根，為的兩根，且的范圍是故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合思想，屬于一般題．四、解答題（本題共5小題，共77分.）15.已知集合，的定義域?yàn)榧?，為?shí)數(shù)集．（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由函數(shù)有意義，列不等式組求得集合，即可求得；（2）先求出，再由德摩根定律，求出，即得.【小問1詳解】由可得，或，則或，由有意義，可得，即，故，則；【小問2詳解】由（1）可得，或，由德摩根定律可知，.16.已知函數(shù)．（1）計(jì)算；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)（3）若函數(shù)定義域?yàn)?1,+∞)，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，可將原式化簡，即可求解；（2）根據(jù)減函數(shù)定義，可證明；（3）由（2）知在區(qū)間(1,+∞)【小問1詳解】【小問2詳解】，且，則，因?yàn)?，則，，則，故在上單調(diào)遞減；【小問3詳解】由（2）得在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以可得，即所求范圍是17.已知（1）若在區(qū)間恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱？若存在，求出點(diǎn)，若不存在，請說明理由；【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）先進(jìn)行參變分離，再結(jié)合基本不等式求最值即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義列方程求解.【小問1詳解】解：由題，在恒成立，即恒成立，因，等號在時(shí)取得，則；【小問2詳解】解：時(shí)，，若存在對稱中心，則為奇函數(shù)，，因?yàn)槠婧瘮?shù)，則，所以存在點(diǎn)為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：恒成立求參數(shù)范圍問題關(guān)鍵是利用參變分離將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，再利用基本不等式或者二次函數(shù)求最值.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為（2）或【解析】【分析】（1）代入，將表達(dá)為分段函數(shù)判斷即可；（2）將函數(shù)取絕對值可得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合題意可得函數(shù)在上最大值，最小值，再結(jié)合函數(shù)函數(shù)單調(diào)性與最值分析臨界條件可得，進(jìn)而求解絕對值不等式即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)單調(diào)性知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上既有最大值又有最小值，則最大值，最小值.當(dāng)且時(shí)，有，解得，故，當(dāng)且時(shí)，由，解得，故，

∵，∴，∴，∴或.19.表示不超過的最大整數(shù)，例.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的定義域；（2）求證：當(dāng)且時(shí)，總有，并指出當(dāng)為何值時(shí)取等號；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）證明見解析，當(dāng)時(shí)取等號；（3）【解析】【分析】（1）、求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)分母不為零求定義域即可；（2）、求出，結(jié)合即可得證；當(dāng)為整數(shù)時(shí)等號成立，解出即可;（3）、求出