現(xiàn)代控制理論第一章(吳忠強版)

現(xiàn)代控制理論吳忠強目錄第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第三章線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性第四章控制系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性

第五章線性定常系統(tǒng)的綜合第六章最優(yōu)控制系統(tǒng)設計參考文獻

內(nèi)容簡介本書系統(tǒng)的介紹了現(xiàn)代控制理論的基本內(nèi)容，包括控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述、運動分析與離散化、李亞普諾夫穩(wěn)定性分析、能控性與能觀性、狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器、最優(yōu)控制系統(tǒng)設計。每章配有一定的例題和習題.

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式§1－1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式§1－2狀態(tài)空間表達式的模擬結構圖§1－3狀態(tài)空間表達式的建立（一)§1－4狀態(tài)空間表達式的建立（二)§1－5狀態(tài)變量的線性變換（坐標變換)§1－6從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣§1－7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

§1－1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式

在經(jīng)典控制理論中，對一個線性定常系統(tǒng)，可用常微分方程或傳遞函數(shù)加以描述，用傳遞函數(shù)的方法描述系統(tǒng)有兩個局限性。第一，它只能描述定常線性系統(tǒng)；第二，它只能表現(xiàn)系統(tǒng)的輸入輸出關系。反映系統(tǒng)的外部聯(lián)系，而對系統(tǒng)的內(nèi)部結構不能提供任何信息。然而，現(xiàn)代工程系統(tǒng)日趨復雜，精度要求越來越高，因此對系統(tǒng)的描述應該更加精細。對一個復雜系統(tǒng)的分析與綜合，不僅需要了解它的輸入——輸出關系，而且要求知道它的內(nèi)部結構。經(jīng)常遇到的受控對象，不僅是定常的，而且還有許多時變的，不僅是線性的，也可能是非線性的，不僅是確定性的，也可能是隨機的。

總之，對象的多樣性，要求描述系統(tǒng)的數(shù)學工具應具有一定的適應性。尤其是現(xiàn)代許多復雜系統(tǒng)中，往往都需要有數(shù)字計算機參與工作。因此，為適應控制系統(tǒng)理論這種發(fā)展趨勢的要求，在描述系統(tǒng)的數(shù)學方法上，需要進一步改進?？刂评碚摪l(fā)展到50年代末，60年代初便產(chǎn)生了一種新的描述方法——狀態(tài)空間法。在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構成的一階微分方程組來描述的。它能反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化，從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài)，而且還可以方便地處理初始條件。這樣，在設計控制系統(tǒng)時，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，為提高系統(tǒng)性能提供了有力的工具一、狀態(tài)變量

l

足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量為狀態(tài)變量。一個用n階微分方程描述的系統(tǒng)，就有n個獨立的變量，當這n個獨立變量的時間響應都求得時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)也就被揭示無遺了。因此，可以說該系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是n階系統(tǒng)的n個獨立變量。同一個系統(tǒng)，究竟選取哪些變量作為獨立變量，這不是唯一的，重要的是這些變量是相互獨立的，且其個數(shù)應等于微分方程的階數(shù)；又由于微分方程的階數(shù)唯一地取決于系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù)，因此狀態(tài)變量的個數(shù)就應等于系統(tǒng)獨立儲能元件的個數(shù)。

眾所周知，n階微分方程式要有唯一確定的解，必須知道n個獨立的初始條件。很明顯，這n個獨立的初始條件就是一組狀態(tài)變量在初始時刻的值。綜上所述，狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量，當其在時刻的值已知時，則在給定時間的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何時間的行為。二、狀態(tài)矢量

l如果n個狀態(tài)變量用、、…、表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量的分量，則就稱為狀態(tài)矢量。記作：

或

三、狀態(tài)空間

l以狀態(tài)空間變量、、…、為坐標軸所構成的n維空間，稱為狀態(tài)空間。在特定時刻t，狀態(tài)矢量在狀態(tài)空間中是一點。已知初始時刻的狀態(tài)，就得到狀態(tài)空間中的一個初始點。隨著時間的推移，將在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線。)(txn)(tx1)(tx)(txx1)(tx2x2xn)(txt0)(tx)(xt0四、狀態(tài)方程

l由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程

.用圖1—1所示的R—L—C網(wǎng)絡，說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。

圖1－1R-L-C電路

此系統(tǒng)有兩個獨立儲能元件，即電容C和電感L，所以應有兩個狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的選取，原則上是任意的，但考慮到電容的儲能與其兩端的電壓和電感的儲能與流經(jīng)它的電流均直接相關，故通常就以和作為此系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量。根據(jù)電學原理，容易寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程組：

即iucuci（1－1）

式（1－1）就是圖1－1系統(tǒng)的狀態(tài)方程，式中若將狀態(tài)變量用一般符號表示.即令;并寫成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)?1-2)或式中A=b=,,五、輸出方程在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程。如在圖1－1系統(tǒng)中，指定作為輸出，輸出一般用y表示，則有或（1－3）式（1－3）就是圖1－1系統(tǒng)的輸出方程，它的矩陣表示為

或（1－4）

式中六、狀態(tài)空間表達式

l狀態(tài)方程和輸出方程總合起來，構成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，在經(jīng)典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)過程。如圖1－1所示的系統(tǒng)，在以作輸出時，從式（1－1）消去中間變量，得到二階微分方程為

uci+

+(1-5)其相應的傳遞函數(shù)為：

(1-6)

如果要從高階微分方程或從傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)方程，即分解為多個一階微分方程，那么此時的狀態(tài)方程可以有無窮多種形式，這是由于狀態(tài)變量的選取可以有無窮多種的緣故。這種狀態(tài)變量的非唯一性，歸根到底，是由于系統(tǒng)結構的不確定性造成的?；氐绞剑?－5）或式（1－6）的二階系統(tǒng)，若改選和作為兩個狀態(tài)變量，即令，則得一階微分方程組為

（1－7）即（1－8）比較式（1－8）和式（1－2），顯而易見，同一系統(tǒng)中，狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。從理論上說，并不要求狀態(tài)變量在物理上一定是可以測量的量，但在工程實踐上，仍以選取那些容易測量的量作為狀態(tài)變量為宜，因為在最優(yōu)控制中，往往需要將狀態(tài)變量作為反饋量。設單輸入－單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為、、…、則狀態(tài)方程的一般形式為：

輸出方程式則有如下形式:用向量矩陣表示時的狀態(tài)空間表達式則為：

(1-9)式中---n維狀態(tài)變量;A=——系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的聯(lián)系，稱為系統(tǒng)矩陣，為

方陣；

nn

——輸入對狀態(tài)的作用，稱為輸入矩陣或控制矩陣，這里為的列陣。1n

對于一個復雜系統(tǒng)，具有個r輸入，m個輸出，此時狀態(tài)方程變?yōu)閷τ谝粋€復雜系統(tǒng)，具有個r輸入，m個輸出，此時狀態(tài)方程變?yōu)橹劣谳敵龇匠?，不僅是狀態(tài)變量的組合，而且在特殊情況下，還可能有輸入矢量的直接傳遞，因而有如下的一般形式：因而多輸入－多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的矢量矩陣形式為(1-10)式中

x和A---同單輸入系統(tǒng)，分別為n維狀態(tài)矢量和系統(tǒng)矩陣；

nn

——r維輸入(或控制)矢量；

——m維輸出矢量；

——輸入（或控制）矩陣；

rn

輸出矩陣；nm

直接傳遞矩陣；

rm

為了簡便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接傳遞，即令

D=0.七、狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)方框圖

l和經(jīng)典控制理論類似，可以用方塊圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關系。對于式（1－9）和式（1－10）所描述的系統(tǒng)，它們的方塊圖分別如圖1-2a、1-2b所示。

ab圖中用單線箭頭表示標量信號，用雙線箭頭表示矢量信號.圖1－2系統(tǒng)信號傳遞方框圖從狀態(tài)空間表達式和系統(tǒng)方塊圖都能清楚地說明：它們既表征了輸入對于系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的因果關系，又反映了內(nèi)部狀態(tài)對于外部輸出的影響，所以狀態(tài)空間表達式是對系統(tǒng)的一種完全的描述?！?－2狀態(tài)空間表達式的模擬結構圖狀態(tài)空間表達式的結構圖可按如下步驟繪制：積分器的數(shù)目應等于狀態(tài)變量數(shù)，將它們畫在適當?shù)奈恢?，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態(tài)變量，然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。

對于一階標量微分方程：它的模擬結構圖示于1－3。

再以三階微分方程為例：

將最高階導數(shù)留在等式左邊，上式可改寫成

圖1－3一階標量微分方程的模擬結構圖圖1－4三階微分方程的模擬結構圖

它的模擬結構圖示于圖1－4。同樣，已知狀態(tài)空間表達式，也可畫出相應的模擬結構圖，圖1－5是圖下三階系統(tǒng)的模擬結構圖。圖1－5系統(tǒng)模擬結構圖

§1－3狀態(tài)空間表達式的建立（一）用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，首先要建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。這個表達式一般可以從三個途徑求得：一是由系統(tǒng)方框圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的實際連結，寫出相應的狀態(tài)空間表達式。二是從系統(tǒng)的物理或化學的機理出發(fā)進行推導。三是由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。本節(jié)先介紹前二種方法：一、從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式

首先將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)變換成相應的模擬結構圖，并把每個積分器的輸出選作一個狀態(tài)變量，其輸入便是相應的；然后，由模擬圖直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。ix〔例1－1〕系統(tǒng)方塊圖如圖1－6a所示，輸入為u，輸出為y。試求其狀態(tài)空間表達式。a)

b)圖1－6系統(tǒng)方塊結構圖及模擬結構圖解：各環(huán)節(jié)的模擬結構圖如圖1－6b所示。從圖可知狀態(tài)方程

輸出方程寫成矢量矩陣形式，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(1-11)對于含有零點的環(huán)節(jié)，如圖1－7a所示的系統(tǒng)，可將其展開成部分分式，即,從而得到等效方塊圖如圖1－7b所示。模擬結構圖如圖1-7c從圖可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

(1-12)a)b)c)圖1－7系統(tǒng)方塊結構圖及模擬結構圖

系統(tǒng)中包含振蕩環(huán)節(jié)的情況設系統(tǒng)的結構圖如圖1－8a所示圖1－8a系統(tǒng)的結構框圖同理，首先把系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)化為最簡形式的組合，這里，我們主要討論如何把二階振蕩環(huán)節(jié)化成一階環(huán)節(jié)的組合形式。式中:若將上述二階標準傳遞函數(shù)G（s）看成是一單位反饋閉環(huán)結構的閉環(huán)傳遞函數(shù)，則其前向通道的傳遞函數(shù)應為：)(0sG于是振蕩環(huán)節(jié)的單位反饋閉環(huán)結構有如圖1－8b所示形式。

圖1－8b標準二階系統(tǒng)的結構框圖這樣原結構圖可化為由最簡形式的各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)構成的結構圖示于圖1－8c圖1－8c框圖變換中間步驟選各一階環(huán)節(jié)輸出為狀態(tài)變量將上式進行反拉普拉斯變換得：系統(tǒng)的輸出方程為：：y=x1

寫成矩陣形式：

二、從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式

一般常見的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機械、機電、氣動液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。當指定系統(tǒng)的輸出時，也很容易寫出系統(tǒng)的輸出方程。

〔例1－2〕電網(wǎng)絡如圖1－9所示，輸入量為電流源，并指定以電容C1和C2上的電壓作為輸出求此網(wǎng)絡的狀態(tài)空間表達式。解

此網(wǎng)絡沒有純電容回路，也沒有純電感割集，因有兩個電容兩個電感，共四個獨立儲能元件，故有四個獨立變量。以電容C1和C2上的電壓和及電感L1和L2中的電流i1和i2為狀態(tài)變量。即令：從節(jié)點a、b、c按基爾霍夫電流定律列出電流方程

從三個回路、、，按基爾霍夫電壓定律列出電壓方程

1l2l3l從以上6個式子中消去非獨立變量和，得

3i4i從上述四式中解出、、和最后得到狀態(tài)空間表達式

（1－13）

〔例1－3〕圖1－10所示的機械運動模型中M1

、M2為質量塊（同時也為質量），K1、K2為彈簧，也為彈性系數(shù)，B1、B2是阻尼器，列寫出在外力f作用下，以質量塊M1和M2的位移y1和y2為輸出的狀態(tài)空間表達式。圖1－9電路圖圖1－10機械運動模型圖解彈簧K1、K2，質量塊M1、M2是儲能元件，故彈簧的伸長度y1、y2,質量塊M1、M2的速度v1、v2可以選作狀態(tài)變量。由結構圖可以直接看出，它們是相互獨立的。選 根據(jù)牛頓定理，對于有

1M對于有

2M把及代入上面二個式子，經(jīng)整理可得

寫成矩陣形式

（1－14a）

指定、為輸出，故

2x1x（1－14b）

〔例1－4〕試寫出圖1-11所示機械旋轉運動模型的狀態(tài)空間表達式。設轉動慣量為J.

圖中

K——扭轉軸的剛性系數(shù)；

B——粘性阻尼系數(shù)；

T——施加于扭轉軸上的力矩；圖1－11

機械旋轉運動模型

解選擇扭轉軸的轉動角度及其角速度為狀態(tài)變量，并令

qw于是有:根據(jù)牛頓定理

從而有指定為輸出

1x或者寫成

(1-15)(例1－5)圖1－12是直流他勵電動機的示意圖。圖中R、L

分別為電樞回路的電阻和電感,J為機械旋轉部分的轉動慣量，B

為旋轉部分的粘性摩擦系數(shù)。列寫該圖在電樞電壓作為控制作用時的狀態(tài)空間表達式。圖1－12直流電動機示意圖解

電感L、轉動慣量J是貯能元件，相應的物理變量電流i及旋轉速度是相互獨立的，可選擇為狀態(tài)變量，即wi則由電樞回路的電路方程，有

由動力學方程有由電磁感應關系有

式中，e——反電動勢；、——轉矩常數(shù)和反電動勢常數(shù)。aKbK把上面三式整理，改寫成

把

代入，有若指定角速度為輸出，則

w若指定電動機的轉角為輸出，則上述二個狀態(tài)變量尚不足以對系統(tǒng)的時域行為加以全面描述，必須增添一個狀態(tài)變量q3x則

于是狀態(tài)方程為:

(1－17a)（1－16a）（1－16b）

輸出方程為（1－17b）

§1－4狀態(tài)空間表達式的建立（二）由描述系統(tǒng)輸入——輸出動態(tài)關系的運動方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，這樣的問題叫實現(xiàn)問題。所求得的狀態(tài)空間表達式既保持了原傳遞函數(shù)所確定的輸入、輸出關系，又將系統(tǒng)的內(nèi)部關系揭示出來。這是一個比較復雜的問題，因為根據(jù)輸入輸出關系求得的狀態(tài)空間表達式并不是唯一的，會有無窮多個內(nèi)部結構能夠獲得相同的輸入輸出關系。

盡管實現(xiàn)是非唯一的，但只要原系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子和分母沒有公因子，即不出現(xiàn)零極點對消，則n階系統(tǒng)必n有個獨立狀態(tài)變量，必有n個一階微分方程與之等效，系統(tǒng)矩陣A的元素取值雖各有不同，但既為一個系統(tǒng)的實現(xiàn)，其特征根必是相同的。通常把這種沒有零極點對消的傳遞函數(shù)的實現(xiàn)稱之為最小實現(xiàn)。本節(jié)僅討論最小實現(xiàn)問題。一、傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)

在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程為

（1－18）圖1－13系統(tǒng)模擬結構圖相應的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為將圖中每個積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時稱為項變量，它是輸出y（或）的各階導數(shù)。至于每個積分器的輸入，顯然就是各狀態(tài)變量的導數(shù)。從圖1－13，容易列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程輸出方程為

表示成矩陣形式，則為

順便指出，當A矩陣具有式（1－20）的形式時，稱為友矩陣，友矩陣的特點是主對角線上方的元素均為1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均為零?！怖?－6〕系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為

列寫其狀態(tài)方程和輸出方程。

解選，，為狀態(tài)變量即

可得寫成矩陣方程輸出

二、傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn)此時，系統(tǒng)的微分方程為相應地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

（1－21）這里先從三階微分方程出發(fā)，找出其實現(xiàn)規(guī)律，然后推廣到n階系統(tǒng)。設待實現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

因為，上式可變換為

令則對上式求拉氏反變換，可得據(jù)此可得系統(tǒng)模擬結構圖，如圖1－14所示。每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

或表示為

推廣到n階系統(tǒng)，式（1－22）的實現(xiàn)，可以為（1－24）

圖1－15系統(tǒng)模擬結構圖故得

a)

b)

圖1－16系統(tǒng)模擬結構圖從圖1－16b容易求得其對應的傳遞函數(shù)為（1－25）為求得令式（1－25）與（1－22）相等，通過對多項式系數(shù)的比較得

（1－26）也可將式（1－26）寫成式（1－27）的形式，以資記憶。

（1－27）將圖1－16a的每個積分器輸出選作狀態(tài)變量，如圖所示，得這種結構下的狀態(tài)空間表達式即

（1－28）擴展到n階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式為

（1－29）式中

（1－30a）或記為

（1－30b）[例1－7]已知系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為試列寫其狀態(tài)空間表達式。解由微分方程系數(shù)知

1)按式（1－24）所示的方法列寫2）按式（1－29）所示的方法列寫，首先根據(jù)式（1－30）的計算公式求按式（1－29）直接寫出狀態(tài)方程和輸出方程：

值得注意的是，這兩種方法所選擇的狀態(tài)變量是不同的。這一點可以從它們的模擬結構圖（圖1－14

和1－16a）中很清楚地看到§1－5狀態(tài)變量的線性變換（坐標變換）

一、系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性

對于一個給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應地有許多種狀態(tài)空間表達式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結構形式。所選取的狀態(tài)矢量之間，實際上是一種矢量的線性變換（或稱坐標變換）設給定系統(tǒng)為

（1－31）我們總可以找到任意一個非奇異矩陣T，將原狀態(tài)向量x作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量z，設變換關系為即代入式即得到新的狀態(tài)空間表達式

（1－32）很明顯，由于T為任意非奇異矩陣，故狀態(tài)空間表達式為非唯一的。通常T稱為變換矩陣。若取變換矩陣，即，則變換后的狀態(tài)矢量將為即[例1－8]某系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為亦即新的狀態(tài)變量z1、z2是原狀態(tài)變量x1、x2的線性組合。在這個狀態(tài)變量下，變換后的狀態(tài)空間表達式為

（1－34）2）若取變換矩陣，即，則變換后的狀態(tài)矢量將為在這樣一組狀態(tài)矢量情況下，得到系統(tǒng)的另一種狀態(tài)空間表達式，如式（1－35），它的系數(shù)矩陣是對角線的，因此是一種并聯(lián)實現(xiàn)。

（1－35）3）若欲將式（1－35）的控制列陣B從變成

的形式，則需再行尋求變換矩陣。

考慮到，故可選；此時，，則可得

（1－36）二、系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量

1系統(tǒng)特征值

系統(tǒng)系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，也即特征方程：

（1－37）的根。方陣A有n個特征值；實際物理系統(tǒng)中,A為實數(shù)方陣，故特征值或為實數(shù)，或為成對共軛復數(shù)；如A為實數(shù)對稱方陣，則其特征值都是實數(shù)。

2.系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得其特征方程為（1－38）

式（1－37）與式（1－38）形式雖不同，但實際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的。可以證明如下：將特征方程寫成多項式形式由于特征值全由特征多項式的系數(shù)、、…、a1

a0唯一地確定而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系數(shù)、…、a0

a1也是不變的量。所以稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。

3.特征矢量一個n維矢量經(jīng)過以A作為變換陣的變換，得到一個新的矢量，即=如果此＝，即矢量經(jīng)A線性變換后，方向不變，僅長度變化倍（為標量，它是變換陣A的特征值）則稱為A

的對應與的特征矢量，此時有＝。

[例1－9]試求的特征矢量。

解A的特征方程為即解之得(1)對應于的特征矢量P1設，按定義

解之得

＝0，

令于是2）同理，可以算出對應于時的特征矢量對應于時的特征矢量三、狀態(tài)空間表達式變換為約旦標準型這里的問題是將

（1－39）變換為

（1－40）根據(jù)系統(tǒng)矩陣A，求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標準型矩陣J無重根時而欲得到變換的控制矩陣和輸出矩陣CT，則必須求出變換矩陣T。下面根據(jù)A陣形式及有無重根的情況，分別介紹幾種求T的方法。

有重根時（q個重根）1A陣為任意形式

（1）

特征值無重根時設是A的n個互異特征根（），求出的特征矢量，則變換矩陣由A的特征矢量

P1,P2，…構成，即

（1－41）

證明如下:①由于特征值，互異，故特征矢P1,P2…，線性無關，從而由它們構成的矩陣必為非奇異，即存在，從而可將兩邊乘，有②如果變換矩陣兩邊乘A，有由特征矢量的定義兩邊左乘，得

（1－42）從而證明了式（1－42）中系統(tǒng)矩陣是對角陣。[例1－10]試將下列狀態(tài)方程變換為對角線標準型解

A

的特征值及對應于各特征值的特征矢量已在前例中求出則可以構成變換矩陣T并計算得則變換后各有關矩陣分別為于是變換后的狀態(tài)空間表達式為(2)

A

陣的特征值有重根時設A的特征值有q個重根，其余（n-q）個根為互異根，現(xiàn)不加證明地引出變換矩陣T的計算公式如下（1－43）

其中是對應于（n-q）個單根的特征矢量，求法同前，對應于q個重根的各向量求得，應根據(jù)下式計算

（1－44）顯然，P1仍為對應的特征矢量，其余則稱之為廣義特征矢量。[例1－11]試將下列狀態(tài)空間表達式化為約旦標準型解先求出A的特征值即得對應于的特征矢量P1可按式（1－38）求得解之得再求對應于的另一廣義特征矢量P2

解之得最后確定對應于的特征矢量P3

可得于是變換矩陣從而可計算得這樣可計算出變換后各陣分別為

2.A陣為標準型，即

1）A的特征值無重根時，其變換陣是一個范德蒙（Vandermonde）矩陣，為

（1－45）2)A特征值有重根時，以有的三重根為例

（1－46）3)有共軛復根時，可化為模態(tài)規(guī)范型當系數(shù)矩陣A的特征值出現(xiàn)共軛復數(shù)時，化為對角規(guī)范型，計算特征向量將出現(xiàn)復數(shù)向量，結果T-1AT也是復數(shù)矩陣。[例1-12]設解：特征值為共軛復數(shù)對對應的特征向量

變換陣為避免在系統(tǒng)矩陣中出現(xiàn)復數(shù)，應化成模態(tài)規(guī)范型。設A是2階矩陣，具有共軛復數(shù)特征值將A化成模態(tài)規(guī)范型證明：設對應的特征向量，其中P1是2維復數(shù)向量，都是2維實數(shù)向量，根據(jù)特征值的定義有：即令實部，虛部分別相等寫成一個矩陣方程有T是對應的特征向量的實部和虛部為列向量構成的矩陣。當時，系統(tǒng)的特征根為;有設有取p11=1得即得T。

（1－47）此時，（1－48）3.系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)

（1－49）現(xiàn)將式（1－49）展開成部分分式。由于系統(tǒng)的特征根有兩種情況：一是所有根均是互異的，一是有重根，分別討論如下。l

具有互異根的情況此時式（1－49）可寫成

（1－50）式中－系統(tǒng)的特征根。

將其展開成部分分式

（1－51）

（1－52）

（1－53）l

具有重根的情況設有一個q重的主根，其余是互異根。這時的部分分式展開式為

（1－54）

從式（1－54）可知系統(tǒng)的一種實現(xiàn)，具有圖1－18所示的結構，除重根是取積分器串聯(lián)的形式，其余均為積分器并聯(lián)。從圖1－18的結構圖，不難列出其相應的狀態(tài)空間表達式§1－6從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣

以上介紹了從傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達式的問題，即系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。本節(jié)介紹從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)（陣）的問題。

一、傳遞函數(shù)（陣）

1.單輸入－單輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

（1－56）式中x－n維狀態(tài)矢量；

y和u－輸出和輸入，它們都是標量；A－n

n方陣；B－n1列陣；－1n行陣；d－標量，一般為零。對式（1－56）進行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有

（1－57）故間的傳遞函數(shù)為

（1－58）它是一個（n1）的列陣函數(shù)。間的傳遞函數(shù)為

（1－59）它是一個標量。(2)多輸入－多輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

（1－60）式中u－r1輸入列矢量；

y－m1輸出列矢量；

B－nr控制矩陣；

C－mn輸出矩陣；

D－mr直接傳遞陣；

x，A－同單變量系統(tǒng)；對式（1－60）進行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有

（1－61）故間的傳遞函數(shù)為

（1－62）它是一個（nr）矩陣函數(shù)。

間的傳遞函數(shù)為

（1－63）它是一個mr矩陣函數(shù)即其中各元素都是標量函數(shù)，它表征第j個輸入對第i個輸出的傳遞關系。當時，意味著不同標號的輸入與輸出有關聯(lián)，稱為耦合關系，這正是多變量系統(tǒng)的特點。式（1－63）還可以表示為

（1－64）可以看出，的分母，就是系統(tǒng)矩陣A的特征多項式，的分子是一個多項式矩陣。應當指出，同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的。對于已知系統(tǒng)如式（1－60），其傳遞函數(shù)陣為式（1－63）。當作坐標變換，即令時，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

（1－65）那么對應上式的傳遞函數(shù)陣應為即同一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是唯一的。二、子系統(tǒng)在各種連接時的傳遞函數(shù)陣

實際的控制系統(tǒng)，往往由多個子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反饋聯(lián)結?，F(xiàn)僅以兩個子系統(tǒng)作各種聯(lián)結為例，推導其等效傳遞函數(shù)陣。

設系統(tǒng)1為

（1－66）

簡記為設系統(tǒng)2為

（1－67）簡記為1.并聯(lián)聯(lián)結

圖1－19并聯(lián)聯(lián)結系統(tǒng)方塊結構圖所謂并聯(lián)聯(lián)結，是指各子系統(tǒng)在相同輸入下，組合系統(tǒng)的輸出是各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，結構簡圖如圖1－19所示。由式（1－66）和（1－67），并考慮，，得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為

（1－68）故子系統(tǒng)并聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的代數(shù)和。2.串聯(lián)聯(lián)結串聯(lián)聯(lián)結如圖1－20所示。讀者可自己證明，其串聯(lián)聯(lián)結傳遞函數(shù)陣為

（1－69）即子系統(tǒng)串聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)之積，但應注意，傳遞函數(shù)陣相乘，先后次序不能顛倒。取證傳遞函數(shù)簡單3.具有輸出反饋的系統(tǒng)