2024年人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊勾股定理應(yīng)用(第二課時(shí))-1教案

教案教學(xué)基本信息課題勾股定理應(yīng)用（第二課時(shí)）學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：初中年級八年級教材書名：數(shù)學(xué)（八年級下冊）出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本課應(yīng)用勾股定理解決問題，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、分類討論的思想方法，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng)，提高分析問題、解決問題的能力。教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入回顧勾股定理—從邊的數(shù)量關(guān)系的角度豐富了直角三角形的性質(zhì).提出本節(jié)課的目標(biāo)應(yīng)用勾股定理解決問題例題如圖1-1，幾何原本中的勾股定理這樣表述，如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，以直角邊a，b為邊長的兩個(gè)正方形面積之和等于以斜邊c為邊長正方形的面積.（1）如圖1-2，如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，以直角邊a，b，為邊長的兩個(gè)等邊三角形的面積之和是否等于以斜邊c為邊長的等邊三角形的面積？（2）如圖1-3，如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，以直角邊a，b為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和是否等于以斜邊c為直徑的半圓的面積？圖圖1-1圖1-2圖1-3（1）分析：要求三角形的面積需要知道它的底和高的，顯然底已知，關(guān)鍵是確定高.（1）解：作于H,∵?ABC是等邊三角形，∴，,∵在Rt?AEH中,同理可得：,∵在Rt?ABC中，.(2)分析:要計(jì)算半圓的面積關(guān)鍵是確定它的半徑，顯然半徑長為直角三角形邊長的一半(2)解：設(shè)以a,b,c為直徑的半圓面積分別為：S1,S1,S3.∵在Rt?ABC中，a2+b2=c2，.反思：以直角邊為基礎(chǔ)所作畫兩個(gè)圖形的面積S1與S2的和始終等于以斜邊為基礎(chǔ)所畫圖形的面積S3.這一切都依賴于三個(gè)圖形面積比值S1：S2：S3=a2：b2：c2,而Rt?ABC的三邊滿足a2+b2=c2,所以S1+S2=S3.圖圖2例2如圖2，在直線上依次擺放著3個(gè)正方形，水平放置的2個(gè)正方形面積分別為S1，S2，傾斜放置的正方形面積為S3，求S1，S2，S3之間的關(guān)系.分析：正方形的面積等于邊長的平方，所以探尋3個(gè)正方形面積之間的關(guān)系，就是探究3個(gè)正方形邊長AG，AB，CH間的關(guān)系.AG，AB分別是Rt?AGB的一條直角邊和斜邊，獨(dú)立存在的CH要是和它的另一條直角邊BG有關(guān)系就好了.測量一下，就會發(fā)現(xiàn)BG=CH.所以我們只需證明BG=CH.要證BG=CH需證明BG與CH所在三角形△AGB和△BHC全等，要證三角形全等，需找齊三個(gè)條件，顯然由正方形可得AB=BC,∠AGB=∠BHC=90o。邊相等是要求證的，所以我們需再找一對角相等，不妨找∠ABG=∠BCH，要證兩個(gè)角等，這里我們不會再證全等，可以找和它們有關(guān)系的角，顯然它們都是∠CBH的余角.所以依據(jù)同角的余角相等即可得證.證明：∵在正方形EFGA，正方形ABCD，正方形CHIM中，AB=BC，∠AGB=∠BHC=∠ABC=90o，∵在Rt?BHC中，∠BCH+∠CBH=90o，∵∠ABC=90o，∴∠CBH+∠ABG=180o－90o=90o，∵在Rt?AGB中，，，，反思：對比例1與例2，如果兩道題中的?ABC和?ABG是同一個(gè)圖形，可以認(rèn)為例2是把例1中一條直角邊上的正方形經(jīng)過全等變換改變了圖形位置而得到的所以雖然圖形位置不同，但3個(gè)正方形面積間數(shù)量關(guān)系仍舊保持不變。例3（1）如圖3-1，這是我國古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成一個(gè)大正方形，若直角三角形兩條直角邊分別圖3-1為a，b（a>b)，大正方形面積為49，圖3-1小正方形面積為4，求a+b的值.（2）如圖3-2，有一個(gè)長和寬分別為6.5和2的長方形，把它分割后拼成一個(gè)大正方形.圖3-2(1)分析：我們由兩個(gè)正方形的面積與直角三角形兩條直角邊a，b之間的關(guān)系，得到兩個(gè)關(guān)于a，b的等式，再根據(jù)所學(xué)代數(shù)知識求出a+b的值就可以了.圖3-2(1)解：我們設(shè)直角三角形斜邊為c，.∵大正方形面積為49，，∵小正方形面積為4，∴小正方形邊長為，也就是，,.,,,.圖3-3圖3-4分析：依題意可知長方形面積為6.5×2=13，從長方形變成正方形，面積不變，所以正方形面積是13，因此要拼成的正方形邊長為根號13.我們知道根號13的平方等于13恰好等于2與3的平方和，所以根號13是以2，3為直角邊的直角三角形的斜邊長.我們可以以此在圖中畫出長為根號13的線段.將長方形沿分割線（虛線）剪出4個(gè)以根號13為斜邊的直角三角形，將它們拼成右圖，我們知道這四個(gè)直角三角形全等，如圖?ADF≌?BAE,則∠ADF=∠BAE圖3-3圖3-4∵∠ADF+∠DAF=90o，∴∠ADF+∠BAE=90o，即∠DAB=90o，同理可證∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90o,由于AD=DC=CB=BA=，所以四邊形ABCD為正方形.拼成的大正方形中間還空出個(gè)四邊形EFGH，顯然它的四個(gè)角都是直角，四條邊恰好是直角三角形較大直角邊3與較小直角邊2的差為1,所以中間空出的四邊形EFGH也是正方形，面積為1.原長方形剪掉4個(gè)直角三角形后剩余一個(gè)長為2，寬為0.5的長方形，面積為1.把它分成2個(gè)長為1，寬為0.5的長方形，恰能拼成一個(gè)邊長為1的正方形,也就是拼成正方形EFHG.反思：回顧例3的第（1）小問，借助趙爽弦圖，我們把圖形面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的值；問題（2）的解決過程我們借助根號13的平方等于13恰好等于2與3的平方和這個(gè)數(shù)量關(guān)系，完成了從長方形到正方形的轉(zhuǎn)變.例4請你在邊長為1的正方形網(wǎng)格紙中，畫?ABC，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且三邊長分別為AB=，AC=，BC=.分析：?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,而三邊長均不是整數(shù)，考慮它們是直角邊長為正整數(shù)的直角的三角形的斜邊.我們知道的，所以是以2，3為直角邊的直角三角形的斜邊長，，所以是以1，2為直角邊的直角三角形的斜邊長，再計(jì)算BC的長即可。(1)(2)（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：如圖（8）?ABC即為所求.反思：由滿足特殊的數(shù)量關(guān)系邊長，找到畫線段的方法，再通過對線段不同位置的討論最終用計(jì)算確定圖形,以至后面的圖形面積計(jì)算，都讓我們感受到數(shù)與形的交匯交融，同時(shí)對AB的位置分類討論時(shí)是按空間順序有序展開.例1從勾股定理幾何原本中的表述起步，改變題目中的條件使圖形從正方形到等邊三角形到半圓，探討圖形發(fā)生變化，面積之間根據(jù)勾股定理不變的數(shù)量關(guān)系，體驗(yàn)從幾何圖形特征到代數(shù)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng).例2是把例1中一條直角邊上的正方形經(jīng)過全等變換改變了圖形位置而得到的所以雖然圖形位置不同，但3個(gè)正方形面積間數(shù)量關(guān)系根據(jù)勾股定理，仍舊保持不變。使學(xué)生再次體驗(yàn)從幾何圖形特征到代數(shù)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng)。例3的第（1）小問，借助趙爽弦圖，根據(jù)勾股定理，我們把圖形面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的值；問題（2）的解決過程我們根據(jù)勾股定理，借助根號13的平方等于13恰好等于2與3的平方和這個(gè)數(shù)量關(guān)系，完成了從長方形到正方形的轉(zhuǎn)變.體會從形到數(shù)，從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值，提升邏輯推理素養(yǎng)。例4由滿足特殊的數(shù)量關(guān)系的邊長，根據(jù)勾股定理，找到畫線段的方法，再通過對線段的位置按空間順序有序分類討論，最終運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段長度確定圖形，使學(xué)生感受到數(shù)與形的交匯交融，再次感受勾股定理的應(yīng)用價(jià)值.總結(jié)1.數(shù)形結(jié)合本節(jié)課我們首先從不同的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反過來又從特殊的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)構(gòu)圖的方法。當(dāng)然這一切都依賴于勾股定理這一媒介，因?yàn)楣垂啥ɡ肀旧砭褪且粋€(gè)數(shù)形完美結(jié)合的定理。2.轉(zhuǎn)化在解決問題中我們多次用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法：在研究面積關(guān)系時(shí)，在證明線段相等時(shí)，再用補(bǔ)形的方法求面積時(shí)等等，3.分類討論在解題中我們還用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，比如對線段位置的討論，這些數(shù)學(xué)思想方法對我們今后學(xué)習(xí)會大有幫助?？偨Y(jié)本節(jié)課所學(xué)知識，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法.作業(yè)1.如圖,分別以在Rt?ABC的三邊AC,BC,AB為直徑畫半圓，求證：所得兩個(gè)月形圖案AFCD和月形圖案BGCE的面積和等于Rt△ABC的面積.2