4.4 數(shù)學歸納法(基礎(chǔ)知識+基本題型)(含解析)-【一堂好課】2022-2023學年高二數(shù)學同步名師重點課堂(人教A版2019選擇性必修第二冊)_第1頁
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倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑,關(guān)注更新免費領(lǐng)取,淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.4數(shù)學歸納法(基礎(chǔ)知識+基本題型)知識點一數(shù)學歸納法一般地,證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題,可按下列步驟進行:(1)歸納奠基:證明當取第一個值時命題成立;(2)歸納遞推:假設(shè)當時命題成立,證明當時命題也成立.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立.上述證明方法叫做數(shù)學歸納法,數(shù)學歸納法的框圖表示如下:歸納奠基歸納奠基歸納遞推驗證當時命題成立若當時命題成立,證明當時命題也成立命題對從開始的所有正整數(shù)都成立提示一般地,對于一些可以遞推的與正整數(shù)有關(guān)的命題,都可以用數(shù)學歸納法來證明.其常見應(yīng)用類型有:(1)證明恒等式;(2)證明不等式;(3)整除性的證明;(4)探求平面幾何中的問題;(5)探求數(shù)列的通項.知識點二應(yīng)用數(shù)學歸納法的注意事項用數(shù)學歸納法證明的關(guān)鍵在于“兩個步驟要做到,遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉”.因此必須注意以下三點:(1)驗證是基礎(chǔ)數(shù)學歸納法的原理表明:第一個步驟是要找一個數(shù),這個就是我們要證明的命題對象的最小自然數(shù),這個自然數(shù)并不一定都是“1”,因此“找準起點,奠基要穩(wěn)”是我們正確運用數(shù)學歸納法第一個要注意的問題.(2)遞推乃關(guān)鍵①在證明第二步“當時命題成立”時,一定要用上歸納假設(shè)“當時命題成立”;②在證明第二步時,首先要明確目標式,即確定證題方向,并且要搞清從到時項的變化.(3)正確尋求遞推關(guān)系①在第一步驗證時,不妨多計算幾項,并爭取正確寫出來,這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的.②探求數(shù)列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律,觀察處在哪個位置.③在書寫時,一定要把包含的式子寫出來,尤其是中的最后一項.除此之外,多了哪些項,少了哪些項都要分析清楚.警示應(yīng)用數(shù)學歸納法的易錯點:(1)弄錯起始點.不一定恒為1,也可能或(即起點問題).(2)對項數(shù)估算錯誤.特別是當尋找與的關(guān)系時,項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤(即跨度問題).(3)沒有利用歸納假設(shè).歸納假設(shè)是必須要用的,假設(shè)是起橋梁作用的,橋梁斷了就過不去了,整個證明過程也就不正確了(即偽證問題).(4)關(guān)鍵步驟含糊不清.“假設(shè)當時結(jié)論成立,利用此假設(shè)證明當時結(jié)論也成立”是數(shù)學歸納法的關(guān)鍵一步,也是證明問題最重要的環(huán)節(jié),推導的過程中要把步驟寫完整,另外要注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性(即規(guī)范問題).考點一數(shù)學歸納法中的“起點”問題例1對一切,試比較與的大小.解:當時,,即;當時,,即;當時,,即;當時,,即;當時,,即;當時,,即;……猜想:當時,.下面用數(shù)學歸納法證明猜想成立.(1)當時,由上可知猜想成立.(2)假設(shè)當時,命題成立,即.那么當時,,即當時,猜想成立.根據(jù)(1)和(2)可知,當時,都成立.所以當或時,;當時,;當或時,.本例是先用歸納推理設(shè)出猜想,再用數(shù)學歸納法證明猜想.在用數(shù)學歸納法證明時,要注意與的大小關(guān)系,只有在時才穩(wěn)定下來,故起點.另外,在假設(shè)時要帶上限制條件.考點二用數(shù)學歸納法證明恒等式例2已知,證明:.分析:先驗證當時結(jié)論成立,再假設(shè)當時等式成立,通過證明當時等式也成立,說明結(jié)論正確.證明:(1)當時,左邊,右邊,等式成立.(2)假設(shè)當時,等式成立,即成立,那么,當時,有,所以當時,等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,對一切,等式都成立.用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時,關(guān)鍵在于“先看項”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,項的多少與的取值是否有關(guān),由到時,等式兩邊會發(fā)生哪些變化.考點三用數(shù)學歸納法證明不等式例3當時,求證:.分析:假設(shè)條件假設(shè)條件利用驗證時的情況假設(shè)時成立時成立證明:(1)當時,左邊,右邊,左邊右邊.(2)方法1:假設(shè)當時不等式成立,即,則當時,左邊右邊,即當時,不等式也成立.綜上可知,對一切,且,不等式都成立.方法2:假設(shè)當時不等式成立,即,則當時,左邊.右邊.要證明不等式成立,只需證明,只需證明,只需證明,只需證明,只需證明,只需證明,由題設(shè)知顯然成立.所以當時,不等式也成立.綜上可知,對一切,且,不等式都成立.方法3:假設(shè)當時不等式成立,即,則當時,左邊.右邊.因為,所以左邊右邊.所以當時,不等式也成立.綜上可知,對一切,且,不等式都成立.證明不等式往往比證明恒等式難度更大些,方法更靈活些,除了綜合法外,作差比較法、分析法、反證法以及放縮法也是常用的方法.用數(shù)學歸納法證明的第二步,即已知

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