專題05 指數(shù)函數(shù)+對數(shù)函數(shù)（期末壓軸專項訓練27題）（解析版）-25學年高一數(shù)學上學期期末考點大串講（人教A版必修一）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題05指數(shù)函數(shù)+對數(shù)函數(shù)（期末壓軸專項訓練27題）一、單選題1．已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】比較對數(shù)式的大小【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】因為，，，且.所以.故選：A2．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小【分析】借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性借助中間量比較即可得.【詳解】，，，故，故.故選：C.3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、比較對數(shù)式的大小、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義分別進行判斷即可．【詳解】對于A，是偶函數(shù)，不滿足條件．對于B，，函數(shù)是奇函數(shù)，由于均在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，符合條件，對于C,，則是奇函數(shù)，在單調(diào)遞增,且為正，函數(shù)在單調(diào)遞減，不滿足條件．對于D，，函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，，，此時，不是增函數(shù)，不滿足條件．故選：B．4．已知且，若函數(shù)與在上的單調(diào)性相同，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.【詳解】由題意知在上只能是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以得.又單調(diào)遞增，所以.綜上得.故選：C5．已知定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】由是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，函數(shù)也是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，得在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】定義在上的函數(shù)，因為是奇函數(shù)，也是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù).由.因為是增函數(shù)，所以是減函數(shù).又因為是減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因為，所以，解得.故選：B.6．已知函數(shù)的零點分別為，，，則（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【知識點】反函數(shù)的性質(zhì)應用、求零點的和【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與、、的交點橫坐標，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對稱性計算可得.【詳解】由題設，，，，所以問題可轉(zhuǎn)化為與、、的交點問題，函數(shù)圖象如下：因為與關于對稱，而與互相垂直，所以，，則.故選：A7．已知函數(shù)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】比較對數(shù)式的大小、比較函數(shù)值的大小關系【分析】應用介值法比較的大小，再應用的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：因為，所以；又因為，所以，又因為在上單調(diào)遞減，所以，故選：D．8．已知是奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．4【答案】A【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、對數(shù)的運算性質(zhì)的應用、由奇偶性求參數(shù)【分析】利用奇函數(shù)的定義計算出函數(shù)在時的解析式，可得出、的值，由此可計算出的值.【詳解】因為是奇函數(shù)，設，則，所以，即，所以，即，則.故選：A.9．已知函數(shù)（且）滿足，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】由函數(shù)滿足，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)（且）滿足，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以.故選：C.10．表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對有，則的可能取值是（

）A． B．0 C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)新定義【分析】由題意得在上單調(diào)遞減，結(jié)合題意得出當時，要單調(diào)遞減，且，分別代入的值進行判斷即可．【詳解】由得在上單調(diào)遞減，當時，，當時，要遞減，且，對于A，當時，，不合題意，故A錯誤；對于B，當時，，不合題意，故B錯誤；對于C，當時，，符合題意，故C正確；對于D，當時，，不合題意，故D錯誤；故選：C．【點睛】方法點睛：對于定義表示大于或者等于的最小整數(shù)，應用與函數(shù)中，函數(shù)圖象不易判斷，可將選項中的值代入進行判斷可簡化問題．二、多選題11．科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時間分別為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】BC【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）、指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】當時，可求得，繼而求得，逐項判定即可.【詳解】有題意可知，，當，則，即，，則，其是關于的單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，當時，，則，故B正確；當時，，故A錯誤；當時，，此時滿足，，故C正確，D錯誤，故選：BC.12．1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：（和均為大于0的常數(shù)），為反應速率常數(shù)（與反應速率成正比），為熱力學溫度（），在同一個化學反應過程中為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為和時，反應速率常數(shù)分別為和（此過程中，與的值保持不變），則（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】AD【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、指數(shù)函數(shù)模型的應用（2）、對數(shù)的運算性質(zhì)的應用【分析】利用不等式性質(zhì)以及指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性即可判斷AB，由，利用對數(shù)運算可求得D正確.【詳解】由，，，根據(jù)不等式性質(zhì)可得，所以，又，所以，故，故A選項正確，B選項錯誤；易知，若，可得，所以，故C選項錯誤，D選項正確.故選：AD.13．聲強級（單位：）由公式給出，其中為聲強（單位：），不同聲的聲強級如下，則（

）（）正常人能忍受最高聲強正常人能忍受最低聲強正常人平時談話聲強某人談話聲強（）120080A． B． C． D．【答案】BC【知識點】求對數(shù)函數(shù)的解析式、對數(shù)函數(shù)模型的應用（2）【分析】根據(jù)表格的前2個數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式，判斷選項.【詳解】由表格可知，當時，，得，當時，，得，所以，故A錯誤；，則，故B正確；當時，，故C正確；當時，即，得，則，故D錯誤.故選：BC三、填空題14．已知函數(shù)，m為正的常數(shù)，則的零點之和為．【答案】【知識點】判斷或證明函數(shù)的對稱性、對數(shù)函數(shù)圖象的應用、求零點的和【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對稱性，再結(jié)合零點的意義即可求解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，令函數(shù)，，則函數(shù)圖象關于直線對稱，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

直線與函數(shù)的圖象有4個交點，令其橫坐標從左到右依次為，觀察圖象得，所以的零點之和為.故答案為：15．已知函數(shù)，，則實數(shù)a的值為.【答案】【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、對數(shù)函數(shù)的概念判斷與求值【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義計算函數(shù)值后，解方程可得．【詳解】，所以，所以，解得.故答案為：16．已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù).當時，，則.【答案】【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)對稱性的應用、對數(shù)的運算、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的周期，再利用對數(shù)運算計算即可.【詳解】由題意可知，所以，所以的一個正周期為8，即.故答案為：17．早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術中項，幾何中項以及調(diào)和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同.若，則的最小值為.【答案】【知識點】指數(shù)冪的運算、基本不等式求積的最大值【分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，可化為，求二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設，，則，，所以，當且僅當時取等號，即，當且僅當時取等號，所以，（）所以當時，取得最小值.故答案為：四、解答題18．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)是否存在正實數(shù)m，n，使得當時，函數(shù)的值域為．若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，【知識點】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)（定義域）、指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)及即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正根，再利用根與系數(shù)的關系即可求解.【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，且，所以，解得，所以當時，，當時，，所以，所以函數(shù)的解析式為.（2）假設存在正實數(shù)滿足題意.因為當時，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以是方程的兩個不相等的正根，所以，且，所以,所以,所以存在正實數(shù)，使得當時，函數(shù)的值域為.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍；(3)當時，函數(shù)的值域為，求正數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3).【知識點】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、求指數(shù)型復合函數(shù)的值域、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）求出函數(shù)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)值域求解即得.（2）變形給定不等式，按分段討論求出的范圍.（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出給定區(qū)間上的值域，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正實根求解即得.【詳解】（1）依題意，，由，得，則，當，即時，；當，即時，，所以函數(shù)在時的值域為.（2）不等式，當時，；當時，，則恒成立，又在上遞減，在上的值域為，因此；當時，，則恒成立，又在上遞減，在上的值域為，因此，所以實數(shù)的取值范圍為.（3）當時，在上單調(diào)遞增，又當時，值域為，因此，即，則是關于的方程，即的兩個不相等的正根，則，解得，所以正數(shù)的取值范圍為.20．設且，函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）化簡不等式為，按照和分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；（2）將零點問題轉(zhuǎn)化為有解，設，則，利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）當時，不等式可化為，若，則，解得，所以不等式的解集為；若，則，解得，所以不等式的解集為；綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；（2）由題意可知，令，即，因為，所以，所以，所以，設，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以.21．已知冪函數(shù)的圖像關于軸對稱，且在上單調(diào)遞增.(1)求的值及函數(shù)的解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【知識點】求冪函數(shù)的解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】（1）由冪函數(shù)的單調(diào)性求得,由，通過檢驗即可求解；（2）由已知得，兩邊平方，即可求解實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增知,,解得,又,則.當或時，，不符合的圖像關于軸對稱，故舍去.當時，，圖像關于軸對稱，符合題意.綜上所述，.（2）由（1）得，為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因為,所以,兩邊平方，得,化簡得，解得或，故實數(shù)的取值范圍為.22．已知函數(shù)(1)當時，證明:為奇函數(shù);(2)當時，函數(shù)在上的值域為求a的取值范圍：(3)當時，證明:為中心對稱函數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識點】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷或證明函數(shù)的對稱性、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義證明；（2）先應用單調(diào)性得出相等關系，在結(jié)合值域的求法得出參數(shù)范圍；（3）應用函數(shù)對稱中心定義證明函數(shù)中心對稱.【詳解】（1）因為，所以，由，得函數(shù)的定義域為，又，所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).（2）當時，，是單調(diào)增函數(shù)，在上的值域為，所以則是的兩個解，可得，設，在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，其中，在上值域，在上值域且取該區(qū)間最大值，綜上，數(shù)形結(jié)合易得.（3）當時，，所以fx關于中心對稱.【點睛】方法點睛：應用函數(shù)對稱中心定義證明函數(shù)中心對稱，根據(jù)奇函數(shù)定義證明函數(shù)是奇函數(shù).23．已知函數(shù)．(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)若的值域為，求的取值范圍；(3)當時，求的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)2；(2)；(3).【知識點】由奇偶性求參數(shù)、對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可得恒成立，從而可建立等式關系，進而求出的值，可求；（2）因為的值域為，所以可以取遍所有正數(shù)，據(jù)此計算可求的取值范圍；（3）當時，，利用復合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】（1）因為為偶函數(shù)，所以，所以，則恒成立，所以，所以，則．（2）因為的值域為，所以可以取遍所有正數(shù)，所以，解得．（3）當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知的單調(diào)遞減區(qū)間為．24．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，且．(1)求的值，并求出的解析式；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)．【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）由，求得，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求得時，，進而求得函數(shù)的解析式；（2）由（1），把在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：因為是偶函數(shù)，所以，解得，當時，可得，可得，所以函數(shù)的解析式為.（2）解：由（1）知，當時，，因為在上恒成立，即，又因為，當且僅當時，即時等號成立，所以，即的取值范圍是．25．對于函數(shù).(1)若，求在上的值域；(2)若與圖象恰有一個交點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或或【知識點】根據(jù)指對冪函數(shù)零點的分布求參數(shù)范圍、簡單的對數(shù)方程、求對數(shù)型復合函數(shù)的值域【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解值域即可；（2）把函數(shù)圖象恰有一個交點問題轉(zhuǎn)化為方程只有一個交點，分類討論，根據(jù)二次方