專題05 指數(shù)函數(shù)+對(duì)數(shù)函數(shù)（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練27題）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題05指數(shù)函數(shù)+對(duì)數(shù)函數(shù)（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練27題）一、單選題1．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】比較對(duì)數(shù)式的大小【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)椋?，，?所以.故選：A2．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】比較指數(shù)冪的大小、比較對(duì)數(shù)式的大小【分析】借助指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性借助中間量比較即可得.【詳解】，，，故，故.故選：C.3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、比較對(duì)數(shù)式的大小、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于A，是偶函數(shù)，不滿足條件．對(duì)于B，，函數(shù)是奇函數(shù)，由于均在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，符合條件，對(duì)于C,，則是奇函數(shù)，在單調(diào)遞增,且為正，函數(shù)在單調(diào)遞減，不滿足條件．對(duì)于D，，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，不是增函數(shù)，不滿足條件．故選：B．4．已知且，若函數(shù)與在上的單調(diào)性相同，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由題意知在上只能是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以得.又單調(diào)遞增，所以.綜上得.故選：C5．已知定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】由是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，函數(shù)也是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，得在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】定義在上的函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，也是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù).由.因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是減函數(shù).又因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，解?故選：B.6．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，，，則（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】反函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用、求零點(diǎn)的和【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與、、的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】由題設(shè)，，，，所以問題可轉(zhuǎn)化為與、、的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象如下：因?yàn)榕c關(guān)于對(duì)稱，而與互相垂直，所以，，則.故選：A7．已知函數(shù)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比較對(duì)數(shù)式的大小、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】應(yīng)用介值法比較的大小，再應(yīng)用的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以；又因?yàn)椋?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故選：D．8．已知是奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)【分析】利用奇函數(shù)的定義計(jì)算出函數(shù)在時(shí)的解析式，可得出、的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，設(shè)，則，所以，即，所以，即，則.故選：A.9．已知函數(shù)（且）滿足，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍【分析】由函數(shù)滿足，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）滿足，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以.故選：C.10．表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對(duì)有，則的可能取值是（

）A． B．0 C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)新定義【分析】由題意得在上單調(diào)遞減，結(jié)合題意得出當(dāng)時(shí)，要單調(diào)遞減，且，分別代入的值進(jìn)行判斷即可．【詳解】由得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，要遞減，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，符合題意，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于定義表示大于或者等于的最小整數(shù)，應(yīng)用與函數(shù)中，函數(shù)圖象不易判斷，可將選項(xiàng)中的值代入進(jìn)行判斷可簡化問題．二、多選題11．科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的．如果物體的初始溫度為，空氣溫度保持不變，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若空氣溫度為，該物體溫度從（）下降到，大約所需的時(shí)間為，若該物體溫度從，下降到，大約所需的時(shí)間分別為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【分析】當(dāng)時(shí)，可求得，繼而求得，逐項(xiàng)判定即可.【詳解】有題意可知，，當(dāng)，則，即，，則，其是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.12．1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：（和均為大于0的常數(shù)），為反應(yīng)速率常數(shù)（與反應(yīng)速率成正比），為熱力學(xué)溫度（），在同一個(gè)化學(xué)反應(yīng)過程中為大于0的定值.已知對(duì)于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為和時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)分別為和（此過程中，與的值保持不變），則（

）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】利用不等式性質(zhì)以及指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性即可判斷AB，由，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得D正確.【詳解】由，，，根據(jù)不等式性質(zhì)可得，所以，又，所以，故，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知，若，可得，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：AD.13．聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：），不同聲的聲強(qiáng)級(jí)如下，則（

）（）正常人能忍受最高聲強(qiáng)正常人能忍受最低聲強(qiáng)正常人平時(shí)談話聲強(qiáng)某人談話聲強(qiáng)（）120080A． B． C． D．【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】求對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】根據(jù)表格的前2個(gè)數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式，判斷選項(xiàng).【詳解】由表格可知，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以，故A錯(cuò)誤；，則，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，即，得，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題14．已知函數(shù)，m為正的常數(shù)，則的零點(diǎn)之和為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱性、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、求零點(diǎn)的和【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對(duì)稱性，再結(jié)合零點(diǎn)的意義即可求解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，令函?shù)，，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，令其橫坐標(biāo)從左到右依次為，觀察圖象得，所以的零點(diǎn)之和為.故答案為：15．已知函數(shù)，，則實(shí)數(shù)a的值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念判斷與求值【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義計(jì)算函數(shù)值后，解方程可得．【詳解】，所以，所以，解得.故答案為：16．已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的周期，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以，所以的一個(gè)正周期為8，即.故答案為：17．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.若，則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)冪的運(yùn)算、基本不等式求積的最大值【分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，可化為，求二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，（）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：四、解答題18．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)是否存在正實(shí)數(shù)m，n，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋舸嬖?，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)存在，【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)（定義域）、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)及即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的解析式為.（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)滿足題意.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以是方程的兩個(gè)不相等的正根，所以，且，所以,所以,所以存在正實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，求正?shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3).【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）求出函數(shù)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)值域求解即得.（2）變形給定不等式，按分段討論求出的范圍.（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出給定區(qū)間上的值域，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根求解即得.【詳解】（1）依題意，，由，得，則，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)?（2）不等式，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則恒成立，又在上遞減，在上的值域?yàn)?，因此；?dāng)時(shí)，，則恒成立，又在上遞減，在上的值域?yàn)椋虼?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋虼?，即，則是關(guān)于的方程，即的兩個(gè)不相等的正根，則，解得，所以正數(shù)的取值范圍為.20．設(shè)且，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）化簡不等式為，按照和分類討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；（2）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，則，利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，若，則，解得，所以不等式的解集為；若，則，解得，所以不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）由題意可知，令，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以.21．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增.(1)求的值及函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【知識(shí)點(diǎn)】求冪函數(shù)的解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】（1）由冪函數(shù)的單調(diào)性求得,由，通過檢驗(yàn)即可求解；（2）由已知得，兩邊平方，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增知,,解得,又,則.當(dāng)或時(shí)，，不符合的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故舍去.當(dāng)時(shí)，，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，符合題意.綜上所述，.（2）由（1）得，為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)?所以,兩邊平方，得,化簡得，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，證明:為奇函數(shù);(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的值域?yàn)榍骯的取值范圍：(3)當(dāng)時(shí)，證明:為中心對(duì)稱函數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱性、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義證明；（2）先應(yīng)用單調(diào)性得出相等關(guān)系，在結(jié)合值域的求法得出參數(shù)范圍；（3）應(yīng)用函數(shù)對(duì)稱中心定義證明函數(shù)中心對(duì)稱.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由，得函?shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為定義域上的奇函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)增函數(shù)，在上的值域?yàn)?，所以則是的兩個(gè)解，可得，設(shè)，在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，其中，在上值域，在上值域且取該區(qū)間最大值，綜上，數(shù)形結(jié)合易得.（3）當(dāng)時(shí)，，所以fx關(guān)于中心對(duì)稱.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)對(duì)稱中心定義證明函數(shù)中心對(duì)稱，根據(jù)奇函數(shù)定義證明函數(shù)是奇函數(shù).23．已知函數(shù)．(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)若的值域?yàn)?，求的取值范圍?3)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)2；(2)；(3).【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可得恒成立，從而可建立等式關(guān)系，進(jìn)而求出的值，可求；（2）因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋钥梢匀”樗姓龜?shù)，據(jù)此計(jì)算可求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則恒成立，所以，所以，則．（2）因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以可以取遍所有正?shù)，所以，解得．（3）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知的單調(diào)遞減區(qū)間為．24．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求的值，并求出的解析式；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)．【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）由，求得，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求得時(shí)，，進(jìn)而求得函數(shù)的解析式；（2）由（1），把在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以函數(shù)的解析式為.（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏虾愠闪?，即，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是．25．對(duì)于函數(shù).(1)若，求在上的值域；(2)若與圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)范圍、簡單的對(duì)數(shù)方程、求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解值域即可；（2）把函數(shù)圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)交點(diǎn)，分類討論，根據(jù)二次方