專題09 函數(shù)的應(yīng)用（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 12個考點清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（人教A版必修一）

清單09集合及其運算（12個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)零點的概念1、函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.幾何定義:函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標(biāo).

這樣：方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有公共點2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點①一次函數(shù)只有一個零點；②反比例函數(shù)沒有零點；③指數(shù)函數(shù)（且）沒有零點；④對數(shù)函數(shù)（且）只有一個零點1；⑤冪函數(shù)當(dāng)時，有一個零點0；當(dāng)時，無零點?！厩鍐?2】函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用1、函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個條件缺一不可.2、函數(shù)零點的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程的實數(shù)解;②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點；②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數(shù)；③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).【清單03】二次函數(shù)的零點問題一元二次方程的實數(shù)根也稱為函數(shù)的零點.當(dāng)時，一元二次方程的實數(shù)根、二次函數(shù)的零點之間的關(guān)系如下表所示：的實數(shù)根（其中）方程無實數(shù)根的圖象的零點函數(shù)無零點【清單04】區(qū)間中點對于區(qū)間，其中點【清單05】二分法1、二分法的概念對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷的把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零點的近似值給定精確度，用二分法求函數(shù)零點的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點的初始區(qū)間，驗證；（2）求區(qū)間的中點（3）計算;①若（此時)，則就是函數(shù)的零點；②若（此時)，則令；③若（此時)，則令；（4）判斷是否達(dá)到精確度，若，則得到零點近似值(或)，否則重復(fù)2--4【清單06】常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：【考點題型一】求函數(shù)的零點核心方法：令（注意零點不是點，零點是數(shù)）【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點是.【答案】【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、求函數(shù)的零點、對數(shù)的運算【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，或，求解即可.【詳解】令，則，或，解得，或，則函數(shù)的零點是.故答案為：.【變式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函數(shù)的零點為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【知識點】指數(shù)函數(shù)的判定與求值、求函數(shù)的零點【分析】利用零點的定義求解.【詳解】令，解得，故選:C.【變式1-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求函數(shù)的零點、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想來作圖分析零點大小.【詳解】由函數(shù)零點可知：，，利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造三個函數(shù)它們與的交點橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的三個零點.由圖可知：，故選：D.【變式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個零點為，則=【答案】/【知識點】求函數(shù)的零點【分析】由零點定義可得答案.【詳解】令，得的零點為1與，則.故答案為：【考點題型二】求函數(shù)零點個數(shù)【例2】（23-24高一下·貴州遵義）函數(shù)的零點個數(shù)為.【答案】【知識點】求函數(shù)的零點【分析】根據(jù)零點的定義，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，分情況建立方程，可得答案.【詳解】當(dāng)時，令，則，解得，故為函數(shù)的零點；當(dāng)時，令，則，解得，故為函數(shù)的零點.故答案為：.【變式2-1】（多選）（23-24高一下·河北石家莊）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求函數(shù)的零點、求對數(shù)函數(shù)的定義域【分析】AD選項，滿足奇函數(shù)定義且存在零點；B選項，由函數(shù)定義域可知不是奇函數(shù)；C選項，函數(shù)無零點.【詳解】A選項，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，且，存在零點，A正確；B選項，定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，故不是奇函數(shù)，B錯誤；C選項，與軸無交點，故無零點，C錯誤；D選項，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，且，D正確.故選：AD【變式2-2】（24-25高一上·北京）函數(shù)的零點有個．【答案】1【知識點】求函數(shù)的零點、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】令解方程，即可得解；【詳解】解：因為，令，即，解得故函數(shù)有1個零點；故答案為：1【考點題型三】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間核心方法：零點存在性定理【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】零點存在性定理的應(yīng)用、判斷零點所在的區(qū)間【分析】我們將通過計算區(qū)間端點的函數(shù)值的正負(fù)來判斷函數(shù)在哪個區(qū)間存在零點.【詳解】因為在上均單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，對A，可得.因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故A錯誤；對B，因為在上單調(diào)遞減，則，則，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，故在上存在零點，故B正確；對C，因為，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故C錯誤；對D,計算，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無零點，故C錯誤；故選：B.【變式3-1】（23-24高一下·四川達(dá)州·期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷零點所在的區(qū)間、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理可得到答案.【詳解】因為和均是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：C.【變式3-2】（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【答案】C【知識點】零點存在性定理的應(yīng)用、判斷零點所在的區(qū)間【分析】先驗證函數(shù)的單調(diào)性，再代入驗證，由零點存在定理得到零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時，設(shè)，則，故在0,+∞上是單調(diào)遞增函數(shù)；又，，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為2,3.故選：C.【考點題型四】已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍（核心考點）核心方法：圖象法【例4】（24-25高二上·寧夏·期中）定義為a，b的最大值，函數(shù)的最小值為c．函數(shù)，如果函數(shù)有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍為．【答案】【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像可得的值，再將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖象可得范圍.【詳解】由題意，在同一坐標(biāo)系下畫出，的圖象，由圖可知，，所以，則，由函數(shù)有三個零點得方程有三個解，所以函數(shù)y=gx和函數(shù)圖象有三個交點，如圖所示：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在?1,0上單調(diào)遞增，所以時，有最小值，且，當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，函數(shù)y=gx和函數(shù)圖象有三個交點，故答案為：.【變式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、對勾函數(shù)求最值、根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【分析】令，由題意可得y=gx的圖象與的圖象有解，畫出y=gx的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)，則.因為方程有解，所以y=gx的圖象與的圖象有解.當(dāng)時，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，且.作出函數(shù)y=gx

由圖可得，y=gx的圖象與的圖象有解，則.故選:D.【變式4-2】（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)至少有一個零點在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【知識點】根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)判別式、零點存在性定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識確定正確答案.【詳解】對于函數(shù)，，當(dāng)，即時，沒有零點，不符合題意.當(dāng)，即或時，當(dāng)時，，零點為，，符合題意.當(dāng)時，，零點為，，不符合題意.當(dāng)，即或時，有兩個不相等的零點，至少有一個零點在區(qū)間內(nèi)，則需或，解得，，另外若，則，零點為或，不符合題意.若，則，零點為或，，符合題意.綜上所述，的取值范圍是：.故選：C【考點題型五】根據(jù)零點（根）所在區(qū)間求參數(shù)核心方法：零點存在性定理【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】根據(jù)零點定義，轉(zhuǎn)化為與在上有交點，求出值域即可得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即與在上有交點，又，在上單調(diào)遞增，故時，則，設(shè)，則，由可得，即與在上有交點，則.故答案為：【變式5-1】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍【分析】根據(jù)題意將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象公共點問題進(jìn)而求解答案即可.【詳解】因為函數(shù)在上有且只有一個零點，所以，即在上有且只有一個實根，所以與的函數(shù)圖象在時有一個公共點，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D【變式5-2】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）若函數(shù)的零點在區(qū)間，內(nèi)，則．【答案】【知識點】根據(jù)零點所在的區(qū)間求參數(shù)范圍【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理計算可得；【詳解】解：因為，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)在上有唯一零點，所以；故答案為：【考點題型六】用二分法求函數(shù)的零點的近似值核心方法：二分法【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個零點，則第二次還需計算函數(shù)值（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程【分析】根據(jù)二分法，可得答案.【詳解】由題意，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個零點，由于，則第二次需計算，故選：C．【變式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】用二分法求近似解的條件【分析】逐一分析各個選項的函數(shù)是否有零點，零點兩側(cè)符號是否相反即可得解.【詳解】對于A，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，所以可用二分法求零點，故A能用二分法求零點；對于B，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，所以可用二分法求零點，故B能用二分法求零點；對于C，不是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點，但函數(shù)值在零點兩側(cè)都是正的，故C不能用二分法求零點；對于D，為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，所以可用二分法求零點，故D能用二分法求零點.故選：C.【變式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函數(shù)的零點，經(jīng)過若干次運算后函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)（為精確度）時，函數(shù)零點的近似值與真實零點的誤差的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】二分法求函數(shù)零點的過程【分析】理解二分法求零點的原理，二分法是不斷將區(qū)間一分為二，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)來確定零點所在的子區(qū)間.然后根據(jù)已知條件，分析近似值與真實零點的誤差范圍.【詳解】因為函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，設(shè)真實零點為，那么.已知，那么，.由于，所以，.所以近似值與真實零點的誤差的取值范圍是.故選：B.【考點題型七】指數(shù)函數(shù)模型【例7】（24-25高一上·江蘇常州·期中）教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為，經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】B【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】根據(jù)題意列式求得，從而得到關(guān)于的不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解.【詳解】依題意，當(dāng)時，，解得，所以，由得，所以，則，故，所以的最小整數(shù)值為.故選：B.【變式7-1】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）核燃料是重要的能量來源之一，在使用核燃料時，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應(yīng)堆注入水，但會產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細(xì)胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡.已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過（

）年.（）A．155 B．159 C．162 D．166【答案】B【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】根據(jù)題意列出等量關(guān)系，借助換底公式和題目給出的參考量得出結(jié)果.【詳解】設(shè)氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過年，則，，即年，故選：B.【變式7-2】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，g及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他大約經(jīng)過小時才能駕駛.（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】以時間為自變量，建立指數(shù)型函數(shù)，解即可.【詳解】解：設(shè)小時后此駕駛員的血液中酒精含量為，則，即.依題意當(dāng)，即時才能駕駛，解，得，因為，所以大約經(jīng)過小時才能駕駛.故答案為：【考點題型八】對數(shù)函數(shù)數(shù)模型【例8】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出來的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為．黃海是我國東部中強地震多發(fā)區(qū)之一，2013年4月21日，黃海海域發(fā)生里氏5.0級地震，2015年8月6日黃海海域發(fā)生里氏4.0級地震，前一次地震所釋放出來的能量約是后一次的（

）倍．（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】D【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】由題意得到方程組，相減后得到，結(jié)合給出的參考數(shù)據(jù)，得到.【詳解】由題意得，兩式相減得，而，故，故選：D【變式8-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、運用換底公式化簡計算、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】由已知公式，將信噪比看作整體，分別取求出相應(yīng)的值，再利用對數(shù)運算性質(zhì)與換底公式變形即可得解.【詳解】由題意，將信噪比從2000提升至10000，則最大信息傳遞速率從增加至，所以.故選：B.【變式8-2】（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB．若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（

）A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB【答案】D【知識點】對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，根據(jù)題意得出和，算出，可計算出.【詳解】設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，由題意可得，解得，因為，所以，所以，所以一般說話時聲音的等級約為60dB.故選：D【考點題型九】擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題【例9】（24-25高一上·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對某路段作了調(diào)研，得到了某時間段內(nèi)的車流量（千輛/小時）和汽車平均速度（千米/小時）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，請說明理由并計算的值；(2)計算該路段最大車流量及最大車流量時汽車的平均速度．【答案】(1)最符合，理由見解析；(2)最大車流量為千輛/小時,此汽車的平均速度千米/小時.【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由基本初等函數(shù)模型性質(zhì)并結(jié)合表中數(shù)據(jù)變化規(guī)律可得結(jié)論，代入計算可求得；（2）利用基本不等式計算即可得最大車流量為千輛/小時,此時平均速度千米/小時.【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著汽車平均速度的增大，車流量呈現(xiàn)出先增大后減少的趨勢；再由一次函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)增大模式，由冪函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)減少模式；只有符合題意；將代入表達(dá)式可得，解得（2）由（1）可知，由基本不等式可得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立；因此該路段最大車流量為千輛/小時,最大車流量時汽車的平均速度千米/小時.【變式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工藝品售賣店，為了更好地進(jìn)行工藝品售賣，進(jìn)行了銷售情況的調(diào)查研究．通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去一個月（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足，（），日銷售量（單位：件）與時間第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．(1)求的值；(2)給出以下三個函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述在過去一個月內(nèi)日銷售量與時間第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)解析式及定義域；(3)設(shè)在過去一個月內(nèi)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【答案】(1)；(2)且定義域為；(3)441元.【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、根據(jù)實際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型、利用給定函數(shù)模型解決實際問題、對勾函數(shù)求最值【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有，即可求參數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的增長趨勢確定模型，再由求參數(shù)，即可得解析式和定義域；（3）根據(jù)（1）（2）得，結(jié)合相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性求最小值.【詳解】（1）由題意，，可得；（2）由表格數(shù)據(jù)知：日銷售量隨時間先增后減，顯然①②不符合，所以，選③，則，可得，即，綜上，且定義域為；（3）由題意，所以，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時最小值為441元；當(dāng)，在上單調(diào)遞減，此時最小值為元；綜上，的最小值441元.【變式9-2】（24-25高三上·上?！て谥校┎枋侵腥A民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞于魯周公，始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊深厚，是我國文化中的一朵瑰寶！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明，用的水泡制，待茶水溫度降至?xí)r，飲用口感最佳.東雅中學(xué)利用課余時間開設(shè)了活動探究課《中國茶文化》，某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間，每隔1min測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：時間012345水溫1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從經(jīng)過后溫度變?yōu)椋F(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進(jìn)行實驗時的室溫約為多少.【答案】(1)選模型②，且(2)(3)約為10℃【知識點】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及增長率，根據(jù)一次函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定模型，再結(jié)合數(shù)據(jù)求解析式；（2）令，利用指數(shù)與對數(shù)關(guān)系及對數(shù)運算性質(zhì)求結(jié)果；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的值域，即可確定進(jìn)行實驗時的室溫.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，即，可得，所以且.（2）令，則.所以泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間為.（3）由，即，所以進(jìn)行實驗時的室溫約為10℃.【考點題型十】零點個數(shù)問題（解答題）【例10】（24-25高一上·寧夏銀川·期中）已知函數(shù)的解析式為(1)畫出這個函數(shù)的圖象，并解不等式；(2)若直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象有兩個公共點，直接寫出的范圍．【答案】(1)圖象見解析，或(2)或【知識點】畫出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）根據(jù)解析式畫出圖像，結(jié)合圖像即可求解不等式；（2）由圖像即可求解.【詳解】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)時，，所以恒成立，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，綜上可知，或，所以不等式的解集為或；（2）如圖，與有2個交點，則或.【變式10-1】（18-19高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上有最大值，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)或【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）由題，，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求參數(shù)范圍；（2）由（Ⅰ），令，因為函數(shù)在上有且只有一個零點，所以的圖像在上與軸只有一個交點，進(jìn)而得到答案．【詳解】（1）由題，因為，所以令，對稱軸為，當(dāng)時，，解得（舍），當(dāng)時，，解得，所以.（2）由（1），由，令，對稱軸為，因為函數(shù)在上有且只有一個零點，所以的圖像在上與軸只有一個交點，所以，解得，或者，即，解得，當(dāng)時，與軸在上有兩個交點，故舍去，綜上，或.【變式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域恰為，則稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的根，求的取值范圍；(3)求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【答案】(1)(2)(3)和【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，取相反數(shù)，利用已知的函數(shù)解析式，整理可得答案；（2）整理方程，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)題目中的新定義，利用分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，建立方程，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，則，由奇函數(shù)的定義可得，所以.（2）方程即，設(shè)，由題意知，解得.（3）因為在區(qū)間上的值域恰為，其中且，所以，則，所以或.①當(dāng)時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，則，所以，所以，則，解得，所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，所以，所以，所以，則，解得，所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.綜上所述，函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒域區(qū)間”為和.【考點題型十一】零點代數(shù)和問題【例11】（24-25高一上·江蘇·期中）記函數(shù)的兩個零點為，．(1)若，，求m的取值范圍；(2)若，求的最值．【答案】(1)(2)最小值為4，最大值為5【知識點】根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的分布可得，進(jìn)而求解即可；（2）由韋達(dá)定理得，進(jìn)而化簡，令，，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以m的取值范圍為.（2）由韋達(dá)定理得，，且，即或，則，且恒成立，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，令，，則，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，則的最小值為4，最大值為5.【變式11-1】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，(1)求的表達(dá)式；(2)若函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設(shè)四個交點的橫坐標(biāo)分別為，，，，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3)．【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解；（2）作出函數(shù)圖象，由圖象可得滿足題意的不等式，從而求得參數(shù)范圍；（3）由韋達(dá)定理（或二次函數(shù)性質(zhì)）得出代入后求得的取值范圍，再由不等式恒成立得的范圍．【詳解】（1）時，，，為奇函數(shù)，則，所以；（2）作出的大致圖象，如圖，要滿足題意，

則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；（3）由得，，同理，因為，所以，所以，恒成立，則．【變式11-2】（23-24高一上·重慶·期中）函數(shù)，其中為常數(shù)，有這5個不同的實數(shù)解，并且有．(1)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并求的取值范圍（用表示）；(2)若，求的最小值．【答案】(1)作圖見解析，(2)【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、畫出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】（1）作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)已知求出的值（或關(guān)系），將表示出得到.換元令，則.設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的最小值.【詳解】（1）作出函數(shù)的圖象由圖象可知，當(dāng)時，直線與y=fx的圖象有5個交點，所以，.（2）當(dāng)時，.易知為方程，即的較小的解，所以，；為方程，即的解，由韋達(dá)定理可知，，，且；為方程的解，；為方程的解，.所以，.因為，所以，.令，則，設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，在處取得最小值，此時有，所以，滿足條件.所以，原式的最小值為.【考點題型十二】函數(shù)與方程綜合【例12-1】（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若方程有兩個不等實根，，且，求的取值范圍.【答案】(1)a=?1(2)【知識點】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)太即可求解；（2）利用方程有兩根可得，，，由已知可得，可求取值范圍.【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以是的兩根，所以，解得；（2）方程有兩個不等實根，，所以，為的兩根，所以，所以，，，又，兩邊平方得，即，，所以，又，所以，所以，同理可得，，所以的取值范圍為.【例12-2】（23-24高一上·江蘇泰州·期中）對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，且，滿足，則稱為“弱偶函數(shù)”.若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“弱奇函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“弱奇函數(shù)”或“弱偶函數(shù)”；（直接寫出結(jié)論）(2)已知函數(shù)，試判斷為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，若是，求出所有滿足的的值，若不是，請說明理由；(3)若為其定義域上的“弱奇函數(shù)”.求實數(shù)取值范圍.【答案】(1)既不是“弱奇函數(shù)”也不是“弱偶函數(shù)”(2)不是，理由見解析(3)【知識點】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、求函數(shù)的零點、函數(shù)新定義【分析】（1）（2）根據(jù)所給定義判斷即可；（3）首先由在上恒成立，求出的取值范圍，依題意存在實數(shù)使得，分、、三種情況討論，分別結(jié)合方程有解求出的取值范圍，即可得解.【詳解】（1）對于，則，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以不存在使得，即不是“弱偶函數(shù)”，若存在使得，即，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以方程無解，故不存在使得，即不是“弱奇函數(shù)”，綜上可得既不是“弱奇函數(shù)”也不是“弱偶函數(shù)”.（2）假設(shè)為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，則，若，則，則，舍去；若，則，則，舍去；若，則，則，舍去；從而無解，所以不是其定義域上的“弱奇函數(shù)”.（3）由在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即.因為為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，所以存在實數(shù)使得，當(dāng)時，則，所以，即，所以，，即在有解可保證是“弱奇函數(shù)"，所以，又因為，所以；當(dāng)時，，此時，不成立；當(dāng)時，則，所以，則，即，即在有解可保證是“弱奇函數(shù)”，所以，由可知；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題屬于新定義問題，對于新定義問題，關(guān)鍵是理解所給定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解，分段函數(shù)注意分類討論.【變式12-1】（24-25高一上·上海徐匯·期中）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑.(1)已知函數(shù),若對任意，恒成立，求：實數(shù)的取值范圍.(2)設(shè)，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足①，②兩個條件，求：a的取值范圍.①對于任意，的值為或；②關(guān)于的方程無實數(shù)解．(3)已知函數(shù)，若方程有實根，求：集合的元素的可能個數(shù).【答案】(1)(2)(3)2或4【知識點】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、解含有參數(shù)的一元二次不等式、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)恒成立，分離參數(shù)進(jìn)行討論即可；（2）根據(jù)函數(shù)的定義，在函數(shù)中給定的自變量，只有唯一確定的與之對應(yīng)，即可解答；（3）根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，即可解答.【詳解】（1）①當(dāng)時，，則，此時恒成立，故；②當(dāng)時，，則，若，即令為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故；③當(dāng)時，若，則，同②符合題意成立；若，則，同①符合題意成立.綜上所述，的取值范圍為.（2）由條件①得，，解得或，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，又因為關(guān)于的方程無實數(shù)解，所以且,所以.（3）①若函數(shù)有兩個相等的實數(shù)根，則，得，實數(shù)根，令，則，當(dāng)時，，此時，有2個解；②若函數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根，則，得，此時兩個實數(shù)根分別是，而，即在時成立，此時，有4個解；綜上所述，集合有2個或4個元素.【點睛】（1）考查絕對值不等式中對參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）考查函數(shù)自變量與應(yīng)變量一一對應(yīng)的關(guān)系；（3）考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系.【變式12-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?(1)若，證明：，并指出等號成立的條件;(2)已知，設(shè)關(guān)于的方程的兩個非零實數(shù)根為，問是否存在，使得對任意以及恒成立，若存在請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)或.【知識點】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【分析】（1）利用換元法，代入后利用基本不等式即可證明；（2）由題意可轉(zhuǎn)化為有兩個非零實數(shù)根為，結(jié)合韋達(dá)定理表示并求出，進(jìn)而得到，令，利用恒成立得到不等式組,解出即可.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時,等號成立.由，得當(dāng)時等號成立，所以.（2）由可得：，化簡得，所以關(guān)于的方程的兩個非零實數(shù)根為，可以轉(zhuǎn)化為有兩個非零實數(shù)根為，所以，所以，因為，所以當(dāng)時，，若使恒成立，則，所以得，對任意，都有成立.設(shè)，，若使對任意，都有成立，則，解得或.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·遼寧撫順·期中）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】判斷零點所在的區(qū)間【分析】根據(jù)零點存在定理，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】對于函數(shù)，當(dāng)時,，則，，，，，所以根據(jù)零點存在定理可知，，0,1，2,3內(nèi)不一定包含的零點，內(nèi)一定包含的零點．故選：C.2．（24-25高一上·河南新鄉(xiāng)·期中）某花店銷售某品種鮮花，當(dāng)每束鮮花的售價為50元時，花店每天可以賣出18束鮮花；當(dāng)每束鮮花的售價每降低1元時，花店當(dāng)天可以多賣出1束鮮花．要使得該店該品種鮮花的日銷售額最大，則每束鮮花的售價應(yīng)為（

）A．16元 B．18元 C．32元 D．34元【答案】D【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】設(shè)每束鮮花的售價降低元，由日銷售額，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：設(shè)每束鮮花的售價降低元，則花店該品種鮮花的日銷售額:，，故當(dāng)，即每束鮮花的售價為34元時，花店該品種鮮花的日銷售額最大．故選：D3．（24-25高一上·江西·期中）單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時通過的車輛數(shù)滿足關(guān)系，其中為安全距離，為車速.當(dāng)安全距離取40m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（

）A．110 B．116 C．119 D．122【答案】B【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】把給定函數(shù)變形，利用基本不等式即可得解.【詳解】由題知當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為116.故選：B.4．（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】轉(zhuǎn)化為與y=fx有3個交點，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意可知，有3個實數(shù)根，即y=fx和有3個交點，畫出函數(shù)y=fx

若與y=fx有3個交點，則.故選：C5．（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知識點】判斷一般冪函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)解析式直接判斷單調(diào)性，利用零點存在性定理判斷零點是否存在.【詳解】由在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是1.故選：B6．（24-25高三上·河南·期中）放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：，其中指初始質(zhì)量，為衰變時間，為半衰期，為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（1）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】由題意可得，計算即可得解.【詳解】由題意可得，即，即.故選：A.7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩個點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)對稱性，先求出當(dāng)時關(guān)于原點對稱的函數(shù)解析式，然后將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時與的圖象有公共點，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題，最后結(jié)合圖象即可得解.【詳解】由函數(shù)定義域可知，，當(dāng)時，設(shè)，要題目條件成立，只需的圖象與的圖象有公共點，即方程在時有解，所以，即在時有解，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，，得，綜上所述，，故選：D.8．（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知是上的偶函數(shù)，對于任意的，都有成立，且，當(dāng)且時，都有成立.現(xiàn)給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對稱軸為；③函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)；④方程在上有4個根.其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】①在中，令即可判斷①；②由.所以的周期為4，再利用是偶函數(shù)，可得，從而可判斷②；③依題意知，函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，利用的周期為4，且是偶函數(shù)，從而可判斷③；根據(jù)可判斷④．【詳解】對于任意x∈R，都有成立，令，則，即，又因為是上的偶函數(shù)，所以，則，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．①，正確；②的周期為4，又是上的偶函數(shù)，所以，故直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，即②正確；③：且時，都有成立則函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，是上的偶函數(shù)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)而的周期為4，函數(shù)在上為減函數(shù)，故③不正確；④，的周期為4，函數(shù)在0,2上為增函數(shù)，在2,4上為減函數(shù)，在0,4上只有一個零點2，則，所以，函數(shù)在上有4個零點，故④正確．故選：C二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、畫出具體函數(shù)圖象、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、根據(jù)指對冪函數(shù)零點的分布求參數(shù)范圍【分析】由題意，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形和二次函數(shù)的性質(zhì)，依次判斷選項即可.【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，，故A錯誤；

由，可得，故B正確；因為，所以，所以，則，又，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，故C正確；因為，所以，故D正確．故選：BCD10．（24-25高一上·陜西榆林·期中）定義域和值域均為?a,a的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（

A．方程有且僅有3個解 B．方程有且僅有3個解C．方程有且僅有5個解 D．方程有且僅有1個解【答案】ABD【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的零點求解方法，從外到內(nèi)數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷和選擇.【詳解】對于選項A：由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,因為，所以，由數(shù)形結(jié)合可知：,都有一個根，故方程有且僅有3個解，故選項A正確;對于選項B：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0,;令，因為，由數(shù)形結(jié)合可知：都有3個根，方程有且僅有3個解，故選項B正確;對于選項C:由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,由題可知：，，由數(shù)形結(jié)合可知，,各有三解，故方程有且僅有9個解,故選項C錯誤；對于選項D：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0,;令，因為，所以只有1解，故方程有且僅有1個解,故選項D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：對于復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)，則可得到函數(shù)的零點個數(shù).三、填空題11．（24-25高一上·山東·期中）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】根據(jù)解析式畫出大致圖象，結(jié)合的性質(zhì)研究臨界情況下參數(shù)值，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下：

而恒過定點，當(dāng)與在處相切時，有僅有一個解，所以，此時，當(dāng)過時，，此時，結(jié)合圖象，知時，交點至少兩個.故答案為：12．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為．【答案】【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】畫出函數(shù)圖像，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找出滿足題意得圖像段，縮小變量范圍，后將M轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題.【詳解】因為的圖象是將在軸下方部分沿軸翻折得到的.滿足，則直線在如圖所示兩條虛線間上下平移.令，即，解得或.令時，解得.令，即，解得或.令時，解得.畫出草圖如下：由，，知，，又因為，由函數(shù)的對稱性，此兩點關(guān)于對稱，則.令，則，，則，，，對稱軸為，則在單調(diào)遞減..則的取值范圍為.故答案為：.四、解答題13．（24-25高一上·山東·期中）某物流基地今年初用49萬元購進(jìn)一臺大型運輸車用于運輸.若該基地預(yù)計從第1年到第n年花在該臺運輸車上的維護(hù)費用總計為萬元，該車每年運輸收入為23萬元.(1)該車運輸幾年開始盈利?（即總收入減去成本及維護(hù)費用的差為正值）(2)若該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時，以17萬元的價格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算?請說明理由.【答案】(1)3(2)方案較合算，理由見詳解【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式、基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由，能求出該車運輸3年開始盈利.（2）方案①中，.從而求出方案①最后的利潤為59（萬）；方案②中，，時，利潤最大，從而求出方案②的利潤為59（萬），比較時間長短，進(jìn)而得到方案①較為合算.【詳解】（1）由題意可得，即，解得，，該車運輸3年開始盈利.；（2）該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時，以17萬元的價格賣出，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，方案①最后的利潤為：（萬）；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出，，時，利潤最大，方案②的利潤為（萬），兩個方案的利潤都是59萬，按照時間成本來看，第一個方案更好，因為用時更短，方案①較為合算.14．（24-25高一上·陜西西安·期中）設(shè)函數(shù)，(1)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)討論方程，解的情況.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【知識點】畫出具體函數(shù)圖象、函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)的零點【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及翻折變換法則，畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)（1）中的圖象，分別討論的圖象與交點的個數(shù)，即可得到方程的解的情況．【詳解】（1）函數(shù)的圖象如圖所示（2）由