重難點01 數式、圖形與函數的規(guī)律探索問題（解析版）

重難點突破01數式、圖形與函數的規(guī)律探索問題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u類型一數式規(guī)律題型01記數類規(guī)律題型02系數規(guī)律題型03等式類規(guī)律題型04數陣類規(guī)律題型05末尾數字規(guī)律題型06楊輝三角題型07與實數運算有關的規(guī)律題類型二圖形規(guī)律題型01圖形固定累加型題型02圖形漸變累加型題型03圖形個數分區(qū)域累加型題型04圖形循環(huán)規(guī)律題型05與幾何圖形有關的規(guī)律探索類型三函數規(guī)律題型01函數圖象規(guī)律題型02函數上點的規(guī)律題型03函數圖象與幾何圖形的規(guī)律類型四新定義類規(guī)律類型一數式規(guī)律關于數式規(guī)律性問題的一般解題思路：(1)先對給出的特殊數式進行觀察、比較;(2)根據觀察猜想、歸納出一般規(guī)律;(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題1.數字猜想型:數字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎上發(fā)現題目中所蘊涵的數量關系，先猜想，然后通過適當的計算回答問題。2.數式規(guī)律型:數式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結論,以列代數式即函數關系式為主要內容.題型01記數類規(guī)律1．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┯^察下列數據：0，3，8，15，24，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第201個數據是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．404【答案】A【分析】觀察不難發(fā)現，各數據都等于完全平方數減1，然后列式計算即可得解．【詳解】∵0=13=28=315=424=5…，∴第201個數據是：2012故選：A．【點睛】此題考查了數字變化規(guī)律，觀察出各數據都等于完全平方數減1是解題的關鍵．2．（2022·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數據依次為12，45，710，1017……按此規(guī)律排列，則第30【答案】88【分析】由所給的數，發(fā)現規(guī)律為第n個數是3n-2n2【詳解】解：∵12，45，710，∴第n個數是3n當n＝30時，3n-2n2故答案為：88901【點睛】本題考查數字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數，探索出數的一般規(guī)律是解題的關鍵．3．（2020·西藏·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究發(fā)現：第1個相同的數是1，第2個相同的數是7，…，若第n個相同的數是103，則n等于（）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】A【分析】根據探究發(fā)現：第1個相同的數是1，第2個相同的數是7，…，第n個相同的數是6(n-1)+1=6【詳解】解：第1個相同的數是1=0×6+1，第2個相同的數是7=1×6+1，第3個相同的數是13=2×6+1，第4個相同的數是19=3×6+1，…，第n個相同的數是6(n所以6n解得n=18答：第n個相同的數是103，則n等于18．故選：A．【點睛】此題主要考查了數字變化規(guī)律，確定出相同數的差值，從而得出相同數的通式是解題的關鍵．4．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預測）正偶數2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，24

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20……則第27行的第21個數是．【答案】744【分析】由圖可以看出，每行數字的個數與行數是一致的，即第一行有1個數，第二行有2個數，第三行有3個數????????第n行有n個數，則前n行共有n(n【詳解】解：由圖可知，第一行有1個數，第二行有2個數，第三行有3個數，???????第n行有n個數．∴前n行共有1+2+3+?+n=n(∴前26行共有351個數，∴第27行第21個數是所有數中的第372個數．∵這些數都是正偶數，∴第372個數為372×2=744．故答案為：744．【點睛】本題考查了數字類的規(guī)律問題，解決這類問題的關鍵是先根據題目的已知條件找出其中的規(guī)律，再結合其他已知條件求解．題型02系數規(guī)律5．（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項式：x、-2x2、4x3、-8x4、A．-256x9 B．256x9 C【答案】B【分析】根據已知的式子可以得到系數是以-2為底的冪，指數是式子的序號減1，x【詳解】解：第9個單項式是-2故選：B．【點睛】本題考查了單項式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數與式子的序號之間的關系是關鍵．6．（2020·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：a，-2a，4a，-8a，16a，-32A．-2n-1a B．-2【答案】A【分析】先分析前面所給出的單項式，從三方面（符號、系數的絕對值、指數）總結規(guī)律，發(fā)現規(guī)律進行概括即可得到答案．【詳解】解：∵a，-2a，4a，-8a，16可記為：-2∴第n項為：-2故選A．【點睛】本題考查了單項式的知識，分別找出單項式的系數和次數的規(guī)律是解決此類問題的關鍵．7．（2023·云南昆明·昆明八中?？既＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的單項式：-x，3x2，-5x3，7x4，A．2n-1(-x)n B．【答案】A【分析】根據題目中的單項式，可以發(fā)現系數的絕對值是一些連續(xù)的奇數且第奇數個單項式的系數為負數，x的指數是一些連續(xù)的正整數，從而可以寫出第n個單項式．【詳解】解：A、當n=1時，第一個單項式為：-B、當n=1時，第一個單項式為：-C、當n=1時，第一個單項式為：3D、當n=1時，第一個單項式為：x故選：A．【點睛】此題考查了數字的變化規(guī)律，單項式的系數和指數，解此題的關鍵是明確題意，發(fā)現單項式系數和字母指數的變化特點及規(guī)律．題型03等式類規(guī)律8．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫出192(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．【答案】(1)8×9(2)(2(3)見解析【分析】（1）根據題干的規(guī)律求解即可；（2）根據題干的規(guī)律求解即可；（3）將(2n【詳解】（1）192（2）(2n（3）(2=(2=4=8n【點睛】此題考查數字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運算，解題關鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現其中的變化規(guī)律．9．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）觀察以下等式：第1個等式：2×1+12第2個等式：2×2+12第3個等式：2×3+12第4個等式：2×4+12……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)2×5+1(2)2n【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數變化規(guī)律可以得出第n個等式為2n+1【詳解】（1）解：觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規(guī)律，可知第5個等式為：2×5+12故答案為：2×5+12（2）解：第n個等式為2n證明如下：等式左邊：2n等式右邊：(===4n故等式2n【點睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現所給數據的規(guī)律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．10．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）（1）初步感知，在④的橫線上直接寫出計算結果：①13=1；②13+23=3；③（2）深入探究，觀察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；根據以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當內容：1+2+3+?+n+(（3）拓展應用，通過以上初步感知與深入探究，計算：①13②113【答案】（1）10；（2）(n+2)(n+1)2；（3）【分析】(1)觀察可得，每個式子的結果都等于被開放數中所有加數的底數之和；(2)所有自然數相加的和等于首項＋尾項的和再乘以自然數的個數，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的規(guī)律綜合運用即可求解．【詳解】解：（1）10；（2）(n（3）①原式=1+2+3+4+5+?+99+100=(1+100)×1002②原式==202×2124-【點睛】主要考查了二次根式的基本性質與化簡、探尋數列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個知識點的應用，其中探求規(guī)律是解題關鍵題型04數陣類規(guī)律11．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規(guī)律，分數202023若排在第a行b列，則a-b的值為112

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3……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現，分數的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數，分母與其所在行數一致．【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現，分數的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數，分母與其所在行數一致，故202023在第20列，即b=20；向前遞推到第1列時，分數為20-192023+19=12042，故分數202023∴a故選：C．【點睛】本題考查了數字類規(guī)律探索的知識點，解題的關鍵善于發(fā)現數字遞變的周期性和趨向性．12．（2018·湖北十堰·中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數陣，按圖中數陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數是（）1A．210 B．41 C．52 D【答案】B【分析】由圖形可知，第n行最后一個數為1+2+3+?n【詳解】由圖形可知，第n行最后一個數為1+2+3+?n∴第8行最后一個數為8×92=∴第9行從左至右第5個數是36+5=故選B．【點睛】本題主要考查數字的變化類，解題的關鍵是根據題意得出第n行最后一個數為nn13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）將從1開始的連續(xù)自然數按以下規(guī)律排列：請根據上述規(guī)律解答下面的問題：(1)第6行有______個數；第n行有______個數（用含n的式子表示）；(2)若有序數對n，m表示第n行，從左到右第m個數，如3，①求11，20表示的數；②求表示【答案】(1)11；2n(2)①120；②(45,87)【分析】（1）觀察前5行發(fā)現：后一行數字的個數比前一行多2個，以此規(guī)律解答即可；（2）①先求第11行最后一個數，然后判斷11，20為第②先根據442<2023<452判斷2023為第45行的數字，然后根據2023比第45行最后一個數字【詳解】（1）解：第1行有1個數，第2行有3=1+2個數，第3行有5=1+2×2個數，第4行有7=1+2×3個數，第5行有9=1+2×4個數，∴第6行有1+2×5=11個數，……第n行有1+2n（2）解：①∵第11行有2×11-1=21個數，且最末尾的數是112而(11,20)表示第11行的第20個數，∴(11,20)表示的數是121-1=120；②∵442=1936，∴442∴2023位于第45行，∵第45行有45×2-1=89個數，而2023與2025相差2個數，∴2023位于第45行的第87個數，∴表示2023的有序數對是(45,87)．【點睛】本題考查了數字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．題型05末尾數字規(guī)律14．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用已知得出數字個位數的變化規(guī)律進而得出答案．【詳解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾數每4個一循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴22022的個位數字應該是：4．故選：C．【點睛】此題主要考查了尾數特征，根據題意得出數字變化規(guī)律是解題關鍵．15．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【分析】由已知可得尾數1，7，9，3的規(guī)律是4個數一循環(huán)，則70+7【詳解】解：∵70=1，71=7，72=49，73∴尾數1，7，9，3的規(guī)律是4個數一循環(huán)，∵1+7+9+3=20，∴70+7又∵2024÷4=506，∴70+7∴70+7故選：A．【點睛】本題考查數的尾數特征，能夠通過所給數的特點，確定尾數的循環(huán)規(guī)律是解題的關鍵．16．（2022·湖南湘西·?？寄M預測）觀察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】通過觀察發(fā)現2n的個位數字是2、4、8、6四個數字依次不斷循環(huán)，直接填空即可；【詳解】解：通過觀察發(fā)現2n的個位數字是2、4、8、6四個數字依次不斷循環(huán)，且2+4+8+6=20，尾數為02022÷4=500……2，則尾數為2+4=6，故選D．【點睛】此題考查冪的乘方末尾的數字規(guī)律，注意觀察循環(huán)的數字規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．題型06楊輝三角17．（2023·四川成都·模擬預測）我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示了a+bna+b1=aa+b2=a2+2a+b3=a3+3a2…根據以上規(guī)律，（a＋b）4展開式共有五項，系數分別為．【答案】1、4、6、4、1【分析】此題考查完全平方公式，多項式展開式，數字的變化規(guī)律，正確觀察已知的式子與對應的三角形之間的關系是關鍵．觀察可得a+bn（n為非負整數）展開式的各項系數的規(guī)律：首尾兩項系數都是1【詳解】解：根據題意知，a+b4的各項系數分別為1、1+3、3+3、3+1即：1、4、6、4、1；∴a+故答案為：1、4、6、4、1．18．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規(guī)律，(a+b【答案】128【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結果．【詳解】根據題意得：a+b5系數和：1+5+10+10+5+1=32=2a+b6系數和：1+6+15+20+15+6+1=64=2a+b7系數和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=2故答案為：128．【點睛】此題考查了多項式的乘法運算，以及規(guī)律型：數字的變化類，解題的關鍵是弄清系數中的規(guī)律．19．（2022下·重慶·九年級重慶巴蜀中學校考階段練習）我國古代數學的許多發(fā)現都曾位于世界前列，其中楊輝三角（如圖）就是一例．這個三角形給出了a+bn（n=1,2,3,4,5,6…）的展開式（按a的次數由大到小順序排列）的系數規(guī)律．例如在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應a+b2=a2+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的五個數1，4，6，4，1，恰好對應著a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4展開式中各項的系數等等．有如下結論：①“楊輝三角”A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據每一行的數字，找到其和的規(guī)律為1,2,4,8,16,25,???可得每一行的數字和為2n，進而可以判斷①，根據從第2行起，每一行的第三個數字分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4???找到規(guī)律第n行的的第3個數字為n1+n2，即可判斷②，根據第三行的數字可得a+b3=a3【詳解】解：∵每一行的數字，其和的規(guī)律為1,2,4,8,16,25,???∴第n行的數字和為2n則“楊輝三角”中第9行所有數之和2故①不正確；∵從第2行起，每一行的第3個數字分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4???∴第n行的第3個數字為nn∴“楊輝三角”中第20行第3個數為2020-1故②正確；第三行的數字為1,3,3，1故③不正確，∴993+3×故④正確∵a+24=∴∴解得a=-1或∴a的值是-1或故⑤正確故正確的有3個，故選B【點睛】本題考查了因式分解解一元二次方程，數字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵．20．（2022·重慶巴南·統(tǒng)考模擬預測）“楊輝三角”給出了(a+b)n展開式的系數規(guī)律（其中n為正整數，展開式的項按a的次數降幕排列），它的構造規(guī)則是：兩腰上都是數字1，而其余的數則是等于它肩上的兩個數之和．例如：(a+b)2=a2+2ab+b2展開式的項的系數1，2，1與“楊輝三角”第三排對應：①“楊輝三角”第六排數字依次是：1，5，10，10，5，1；②當a=2,b=-1時，代數式a③(a+b④當代數式a4-8a3+24aA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】運用楊輝三角形的排列規(guī)律，及展開式的系數規(guī)律采用賦值法逐一驗證即可求解．【詳解】如圖，依次規(guī)律可得“楊輝三角”第六排數字依次是：1，5，10，10，5，1，故說法①正確；當a=2,b=-1時，a令a=1,b=1，則(a+當代數式a4-8即a4∴a4∴a-22∴a-解得a=3或1故說法④正確，綜上可得，說法正確的有①③④，故選：C【點睛】本題考查了楊輝三角的規(guī)律與展開式的系數規(guī)律，正確把握其中的關系以及合理使用賦值法是解題的關鍵．題型07與實數運算有關的規(guī)律題21．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數：2，12，27，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個數記為an，且滿足1an+1【答案】15【分析】由題意推導可得an=23(【詳解】解：由題意可得：a1=2=21，a2=12=24，∵1a∴2+1a4∴a4=15∵1a∴a5=213同理可求a6=18=∴an=23(∴a2022=26064故答案為：15，1【點睛】本題考查了數字的變化類，找出數字的變化規(guī)律是解題的關鍵．22．（2021·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）已知a1為實數﹐規(guī)定運算：a2=1-1a1，a3=1-1a2，a4=1-A．-23 B．13 C．-【答案】D【分析】當a1=3時，計算出a2【詳解】解：當a1=3時，計算出會發(fā)現是以：3,2∵2021=3×673+2，∴a故選：D．【點睛】本題考查了實數運算規(guī)律的問題，解題的關鍵是：通過條件，先計算出部分數的值，從中找到相應的規(guī)律，利用其規(guī)律來解答．23．（2020·浙江金華·統(tǒng)考一模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，則2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，計算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值為（

）A．20202020-12020 B．20202021-【答案】C【分析】由題意可知S＝1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．【詳解】解：設S＝1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①則2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②由②－①得：2019S＝20202021－1∴S=故答案為：C．【點晴】本題主要考查探索數與式的規(guī)律，有理數的加減混合運算．24．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）有一列數，記為a1，a2，…，an，記其前n項和為Sn=a1+a2+???+an，定義Tn=S1+S2+???+Snn為這列數的“亞運和”，現有99個數a1，a2，…，A．791 B．891 C．991 D．1001【答案】C【分析】根據“亞運和”的定義分析可得99個數a1，a2，…，a99，其“亞運和”為1000，，即S1+S2+?+S99=99×1000．同理根據定義求新數列1，a1，【詳解】解：∵S1∴S1∴1，a1，a2，…，a99這100個數的“1+1+===1+990=991．故選：C．【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經常出現．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．關鍵是找到S125．（2022·四川達州·統(tǒng)考中考真題）人們把5-12≈0.618這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設a=5-12，b=5+1【答案】5050【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：∵a=5-∴ab∵SS2…，S∴S1+故答案為：5050【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，求得ab=126．（2021·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）觀察等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22【答案】m【分析】根據規(guī)律將2100，2101，2102，……，2199用含m的代數式表示，再計算【詳解】由題意規(guī)律可得：2+2∵2∴2+2∵2+2∴2101=2+22102=2+22103=2+2……∴2199故2100令22②-①，得2∴2100+故答案為：m2【點睛】本題考查規(guī)律問題，用含有字母的式子表示數、靈活計算數列的和是解題的關鍵．27．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）觀察下列等式：x1x2x3……根據以上規(guī)律，計算x1+【答案】-【分析】根據題意，找到第n個等式的左邊為1+1n2+1(n+1)2，等式右邊為1與1n(n+1)的和；利用這個結論得到原式＝112+116+1112+…+112020×2021﹣2021，然后把1【詳解】解：由題意可知，1+1nx＝112+116+1112+…+1＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12020＝2020+1﹣12021﹣＝-1故答案為：-1【點睛】本題考查了二次根式的化簡和找規(guī)律，解題關鍵是根據算式找的規(guī)律，根據數字的特征進行簡便運算．28．（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式：S1=1+112請利用你所發(fā)現的規(guī)律，計算：S1+【答案】505051【分析】直接根據已知數據變化規(guī)律進而將原式變形求出答案．【詳解】S=1+=50+(1-=5050故答案為：5050【點睛】本題考查數字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關鍵．類型二圖形規(guī)律方法總結：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論．題型01圖形固定累加型解題技巧：對于圖形固定累加首先要確定基礎圖形中含所求圖形的個數a,在確定出后一個圖形在前一個圖形的基礎上累加的所求圖形的個數b(即固定累加圖形個數)，再根據固定累加的圖形規(guī)律推導出與序數n有關的關系式為a+b(n-1).29．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根據前四個圖案圓圈的個數找到規(guī)律，即可求解.【詳解】解：因為第①個圖案中有2個圓圈，2=3×1-1；第②個圖案中有5個圓圈，5=3×2-1；第③個圖案中有8個圓圈，8=3×3-1；第④個圖案中有11個圓圈，11=3×4-1；…，所以第⑦個圖案中圓圈的個數為3×7-1=20；故選：B.【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據前四個圖案圓圈的個數找到第n個圖案的規(guī)律為3n-30．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規(guī)律，第n個圖案中有個白色圓片（用含n的代數式表示）

【答案】2+2【分析】由于第1個圖案中有4個白色圓片4=2+2×1，第2個圖案中有6個白色圓片6=2+2×2，第3個圖案中有8個白色圓片8=2+2×3，第4個圖案中有10個白色圓片10=2+2×4，…，可得第n(n>1)【詳解】解：第1個圖案中有4個白色圓片4=2+2×1，第2個圖案中有6個白色圓片6=2+2×2，第3個圖案中有8個白色圓片8=2+2×3，第4個圖案中有10個白色圓片10=2+2×4，…，∴第n(n>1)故答案為：2+2n【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數字變化中發(fā)現不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．解題關鍵是總結歸納出圖形的變化規(guī)律．31．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數是（

）A．297 B．301 C．303 D．400【答案】B【分析】首先根據前幾個圖形圓點的個數規(guī)律即可發(fā)現規(guī)律，從而得到第100個圖擺放圓點的個數．【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個圓點，即4＋3×0，第2幅圖7個圓點，即4+3=4+3×1；第3幅圖10個圓點，即4＋3＋3=4＋3×2；第4幅圖13個圓點，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；第n幅圖中，圓點的個數為：4+3(n-1)=3n+1，……，第100幅圖，圓中點的個數為：3×100+1=301．故選：B．【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出存在的規(guī)律．32．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當碳原子數目超過10個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學式為CH4，乙烷的化學式為C2H6，丙烷的化學式為C

【答案】C【分析】根據碳原子的個數，氫原子的個數，找到規(guī)律，即可求解．【詳解】解：甲烷的化學式為CH4乙烷的化學式為C2丙烷的化學式為C3H碳原子的個數為序數，氫原子的個數為碳原子個數的2倍多2個，十二烷的化學式為C12故答案為：C12【點睛】本題考查了規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關鍵．題型02圖形漸變累加型解題技巧：對于個數不固定,1）首先觀察圖形，直接可以從圖形或者補全圖形后就能找出規(guī)律，根據圖形擺放形狀的規(guī)律總結推導出關系式即可.2）如果圖形也看不出規(guī)律的應該先數出所求圖形的個數,在比較后一個圖形和前一個圖形通過作差(商)來觀察圖形個數或將圖形個數與n進行對比，尋找是否與n有關的平方、平方加1、平方減1等關系,從而總結規(guī)律推導出關系式.33．（2021·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，每一幅圖中均含有若干個正方形，第1幅圖中有1個正方形；第2幅圖中有5個正方形……按這樣的規(guī)律下去，第9幅圖中正方形正的個數為（

）A．180 B．204 C．285 D．385【答案】C【分析】從特殊情況開始，先算出前幾幅圖中正方形的個數，找出其中的規(guī)律，歸納得出一般情況，第n幅圖中正方形個數的規(guī)律，于是可算出當n=9時的正方形的個數．【詳解】第１幅圖中有１個正方形；第2幅圖中有1+4=12+22=5個正方形；第3幅圖中有1+4+9=11+22+32=14個正方形；第4幅圖中有1+4+9+16=12+22+32+42=30個正方形；…第n幅圖中有12+22+32+42+…+n2個正方形．于是，當n=9時，正方形的個數為：12+22+32+42+52+62+72+82+92=30+25+36+49+64+81=285（個）故選：C【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，利用圖形間的聯系，得出數字間的運算規(guī)律，從而問題解決，體現了由特殊到一般的數學思想．34．（2023·重慶江北·?？家荒＃┫铝袌D形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個圖形中小正方形的個數是3個，第2個圖形中小正方形的個數是8個，第3個圖形中小正方形的個數是15個，第9個圖形中小正方形的個數是（

）A．100 B．99 C．98 D．80【答案】B【分析】根據圖形間變化可得第n個圖中小正方形的個數是n+12-【詳解】解：∵第1個圖中小正方形的個數是3=2第2個圖中小正方形的個數是8=3第3個圖中小正方形的個數是15=4第4個圖中小正方形的個數是24=5…∴第n個圖中小正方形的個數是n+1∴第9個圖中小正方形的個數是9+12故選：B．【點睛】此題考查了圖形變化類規(guī)律問題的解決能力，關鍵是能根據圖案變化觀察、猜想、驗證而得到此題蘊含的規(guī)律．35．（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個三角形，圖②中有5個三角形，圖③中有11個三角形，圖④中有19個三角形…，依此規(guī)律，則第n個圖形中三角形個數是．【答案】n【分析】此題只需分成上下兩部分即可找到其中規(guī)律，上方的規(guī)律為(n-1)，下方規(guī)律為n2，結合兩部分即可得出答案．【詳解】解：將題意中圖形分為上下兩部分，則上半部規(guī)律為：0、1、2、3、4……n-1，下半部規(guī)律為：12、22、32、42……n2，∴上下兩部分統(tǒng)一規(guī)律為：n2故答案為：n2【點睛】本題主要考查的圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是將圖形分為上下兩部分分別研究．36．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個圖形中一共有4個圓，第2個圖形中一共有8個圓，第3個圖形中一共有14個圓，第4個圖形中一共有22個圓．……按此規(guī)律排列下去，現已知第n個圖形中圓的個數是134個，則n=【答案】11【分析】根據前幾個圖形圓的個數，找出一般求出規(guī)律，得出第n個圖形中圓的個數nn【詳解】解：因為第1個圖形中一共有1×1+1第2個圖形中一共有2×2+1第3個圖形中一共有3×3+1第4個圖形中一共有4×4+1可得第n個圖形中圓的個數是nnnn解得n=-12（舍），n故答案為：11．【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，一元二次方程的應用，解題的關鍵是找出一般規(guī)律，列出方程．題型03圖形個數分區(qū)域累加型解題技巧：首先應觀察圖形區(qū)分圖形累加的各部分,分別求出各部分累加規(guī)律,再將各部分關系式相加,得到第n項（某項)圖形的數量與序數關系式.37．（2021·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）將一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”的“〇”的個數，則第30個“龜圖”中有個“〇”．【答案】875【分析】設第n個“龜圖”中有an個“〇”（n為正整數），觀察“龜圖”，根據給定圖形中“〇”個數的變化可找出變化規(guī)律“an＝n2?n＋5（n為正整數）”，再代入n＝30即可得出結論．【詳解】解：設第n個“龜圖”中有an個“〇”（n為正整數）．觀察圖形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴an＝1＋（n＋1）＋（n?1）2＋2＝n2?n＋5（n為正整數），∴a30＝302?30＋5＝875．故答案是：875．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據各圖形中“〇”個數的變化找出變化規(guī)律“an＝n2?n＋5（n為正整數）”是解題的關鍵．38．（2021下·重慶巴南·九年級?？计谥校┫铝袌D形都是由同樣大小的圓按一定的規(guī)律組成，其中，第①個圖形中一共有2個圓；第②個圖形中一共有7個圓；第③個圖形中一共有16個圓；第④個圖形中一共有29個圓，…，則第⑦個圖形中圓的個數為（）A．67 B．92 C．113 D．121【答案】B【分析】分兩部分：第①個圖形為：02+12+1=1，第②個圖形為：12+22+2=7，第【詳解】第①個圖形為：02第②個圖形為：12第③個圖形為：22第④個圖形為：32+4一般地，第⑦個圖形為：62故選：B．【點睛】本題是圖形規(guī)律探索問題，由特殊出發(fā)得出一般規(guī)律是解題的關鍵．39．（2020·海南·統(tǒng)考中考真題）海南黎錦有著悠久的歷史，已被列入世界非物質文化遺產名錄．圖是黎錦上的圖案，每個圖案都是由相同菱形構成的，若按照第1個圖至第4個圖中的規(guī)律編織圖案，則第5個圖中有個菱形，第n個圖中有個菱形(用含n的代數式表示)．

【答案】41(2【分析】根據第1個圖形有1個菱形，第2個圖形有2×2×1+1=5個菱形，第3個圖形有2×3×2+1=13個菱形，第4個圖形有2×4×3+1=25個菱形，據此規(guī)律求解即可.【詳解】解：∵第1個圖形有1個菱形，第2個圖形有2×2×1+1=5個菱形，第3個圖形有2×3×2+1=13個菱形，第4個圖形有2×4×3+1=25個菱形，∴第5個圖形有2×5×4+1=41個菱形，第n個圖形有2×n×(n-1)+1=2n2故答案為：41，(2n【點睛】本題考查了規(guī)律型—圖形類規(guī)律與探究，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現其中的規(guī)律，并應用發(fā)現的規(guī)律解決問題．40．（2020·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個圖形中一共有3個菱形，第②個圖形中一共有7個菱形，第③個圖形中一共有13個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個圖形中菱形的個數為．【答案】57【分析】根據題意得出第n個圖形中菱形的個數為n2+n【詳解】解：第①個圖形中一共有3個菱形，3=1第②個圖形中共有7個菱形，7=2第③個圖形中共有13個菱形，13=3…，第n個圖形中菱形的個數為：n2則第⑦個圖形中菱形的個數為72故答案為：57．【點睛】本題考查了整式加減的探究規(guī)律—圖形類找規(guī)律，其關鍵是根據已知圖形找出規(guī)律．題型04圖形循環(huán)規(guī)律解題技巧：①先找出一個周期的圖形個數n:②N(第N個)÷n=b……m(0≤m<n);③第N個圖形是一個周期中第m次變化后的圖形.41．（2023·廣東佛山·佛山市南海區(qū)里水鎮(zhèn)里水初級中學?？既＃┯^察下列圖形，并判斷照此規(guī)律從左向右第2007個圖形是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查圖形的規(guī)律探索，解題的關鍵是根據已知條件圖形推出規(guī)律．圖中的笑臉是以ABCD的順序4個為循環(huán)單位排列的，由此可推出第2007個圖形．【詳解】解：圖中的笑臉是以ABCD的順序4個為循環(huán)單位排列的，即個數能被4整除的圖形為D，不能整除余數為1、2、3的圖形分別為A、B、C；因為2007÷4商501余3，所以第2007個圖形為C．故選：C．42．（2019·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）下面擺放的圖案，從第二個起，每個都是前一個按順時針方向旋轉90°得到，第2019個圖案中箭頭的指向是(

)A．上方 B．右方 C．下方 D．左方【答案】C【分析】直接利用已知圖案得出旋轉規(guī)律進而得出答案.【詳解】如圖所示：每旋轉4次一周，2019÷4＝504…3，則第2019個圖案中箭頭的指向與第3個圖案方向一致，箭頭的指向是下方，故選C.【點睛】本題考查了規(guī)律型——圖形的變化類，觀察出圖形的變化規(guī)律是解題的關鍵.43．如圖，把周長為4個單位長度的圓放到數軸（單位長度為1）上，A，B，C，D四點將圓四等分，將點A與數軸上表示1的點重合，然后將圓沿著數軸正方向滾動，依次為點B與數軸上表示2的點重合，點C與數軸上表示3的點重合，點D與數軸上表示4的點重合，點A與數軸上表示5的點重合，…，若當圓停止運動時，點B正好落到數軸上，此時，則點B對應的數軸上的數可能為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】本題主要考查數軸，找規(guī)律，找到圓的滾動規(guī)律是解題的關鍵．根據圓的滾動規(guī)律可知4次一個循環(huán)，將各選項中的數字除以4，根據余數可判定求解．【詳解】解：由題意得：圓沿著數軸正方向滾動一次按A，B，C，D的順序排列：A、2020÷4=505，所以此時點D正好落在數軸上；B、2021÷4=505…1，所以此時點A正好落在數軸上；C、2022÷4=505…2，所以此時點B正好落在數軸上；D、2023÷4=505…3，所以此時點C正好落在數軸上．故選：C．44．（2019·河北·統(tǒng)考二模）將數軸按如圖所示從某點開始折出一個等邊三角形ABC，設點A表示數為x-3，點B表示的數是2x+1，點C表示的數是-7-x，則x的值等于；若將ΔABC向右滾動，數字

【答案】-3【分析】根據等邊三角形邊長相等列方程求出x的值，進而得出A、B、C所表示的數及等邊ΔABC的邊長，然后即可求出數字2019對應的點將與△ABC的頂點A重合．【詳解】解：由題意得：（2x＋1）?（x?3）＝（?7?x）?（2x＋1），解得：x＝?3，∴點A表示的數為：?6，點B表示的數為?5，點C表示的數為?4，∴等邊ΔABC的邊長為1，∵[2019?（?6）]÷3＝675，∴數字2019對應的點將與△ABC的頂點A重合，故答案為：?3，A．【點睛】本題考查了數軸以及圖形類規(guī)律探索，解答本題的關鍵是明確數軸的特點，利用數形結合的思想解答．題型05與幾何圖形有關的規(guī)律探索45．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AC為邊作第二個正方形ACEF，再以CF為邊作第三個正方形FCGH…，按照這樣規(guī)律作下去，第10個正方形的邊長為．【答案】16【分析】根據題意和圖形，可以寫出前幾個正方形的邊長，從而可以發(fā)現邊長的變化特點，從而可以求得第10個正方形的邊長．【詳解】解：由題意可知，第一個正方形的邊長是1，第二個正方形的邊長是12第三個正方形的邊長是2?第四個正方形的邊長是2×2……，則第n個正方形的邊長是2n當n=10時，2即第10個正方形的邊長為29故答案為：162【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現正方形邊長的變化特點，求出第10個正方形的邊長．46．（2019·廣東汕頭·校聯考一模）如圖：順次連接矩形A1B1C1D1四邊的中點得到四邊形A2B2C2D2，再順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點得四邊形A3B3C3D3，…，按此規(guī)律得到四邊形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面積為8，那么四邊形AnBnCnDn的面積為．【答案】8【分析】根據矩形A1B1C1D1面積、四邊形A2B2C2D2的面積、四邊形A3B3C3D3的面積，即可發(fā)現新四邊形與原四邊形的面積的一半，找到規(guī)律即可解題．【詳解】解：順次連接矩形A1B1C1D1四邊的中點得到四邊形A2B2C2D2，則四邊形A2B2C2D2的面積為矩形A1B1C1D1面積的一半，順次連接四邊形A2B2C2D2四邊的中點得四邊形A3B3C3D3，則四邊形A3B3C3D3的面積為四邊形A2B2C2D2面積的一半，故新四邊形與原四邊形的面積的一半，則四邊形AnBnCnDn面積為矩形A1B1C1D1面積的12∴四邊形AnBnCnDn面積=12n-故答案為：82【點睛】本題考查了學生找規(guī)律的能力，本題中找到連接矩形、菱形中點則形成新四邊形的面積為原四邊形面積的一半是解題的關鍵．47．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B1【答案】3【分析】過點B1作B1D⊥OA1于點D，連接B【詳解】解：過點B1作B1D⊥OA1∴∠B∵∠B∴∠D∵B1A1∴DA1=∴B1∴tan∠∵菱形A1B1∴△A∴∠A1B∵∠A∴OA∴∠O∴tan∠設B2∵∠B∴HD∴B1∴52x+∴B2∴A2同理可得：B3D2∴A3由上可得：AnBn∴S△故答案為36【點睛】本題主要考查菱形的性質、等邊三角形的性質與判定、含30度直角三角形的性質及三角函數，熟練掌握菱形的性質、等邊三角形的性質與判定、含30度直角三角形的性質及三角函數是解題的關鍵．48．（2021·云南昭通·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC是邊長為1的等邊三角形，分別取AC，BC邊的中點D，E，連接DE，作EF∥AC得到四邊形EDAF，它的周長記作C1；分別取EF，BE的中點D1，E1連接D1E1，作E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的周長記作C【答案】1【分析】根據三角形中位線定理得到DE＝12AB，DE∥AB，進而證明四邊形ADEF為菱形，求出菱形ADEF的周長【詳解】解：∵點D，E分別為AC，BC邊的中點，∴DE＝12AB＝12，DE∥AB，AD＝1∴AD＝DE，∵EF∥∴四邊形ADEF為菱形，∴四邊形ADEF的周長C1＝4×12＝2同理：四邊形E1D1FF1的周長記作C2＝4×14＝1…C2021＝4×122021＝故答案為：12【點睛】本題考查的是三角形中位線判定與性質、菱形的判定與性質，圖形的變化規(guī)律，根據三角形中位線性質總結出規(guī)律是解題的關鍵．49．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=OB=4，連接AB，過點O作OA1⊥AB于點A1，過點A1作A1B1⊥x軸于點B1；過點B1作B1A2⊥AB于點A2，過點A2

【答案】4-【分析】根據題意，結合圖形依次求出A1,A【詳解】解：在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA=∴△OAB是等腰直角三角形，∠∵O∴△O同理可得：△O∴A根據圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，依次可得：A由此可推出：點A2023的坐標為4-故答案為：4-1【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，以及點的坐標變化規(guī)律問題，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是依次求出A150．（2020·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點F3

【答案】2【分析】先計算出ΔEF1B、ΔE【詳解】解：∵AE=∴ΔABE面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為2+1=3∵點F1是CD的中點，∴∴SΔBSΔD∴SΔE∵點F2是C∴SΔB且DF∴S∴SΔE同理可以計算出：SΔB且DF∴SΔD∴SΔE故ΔEF1B、ΔEF2觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合2n，分子規(guī)律為2∴ΔEFnB故答案為：2n【點睛】本題考查了三角形的中線的性質，三角形面積公式，矩形的性質等，本題的關鍵是能求出前面三個三角形的面積表達式，進而找出規(guī)律求解．51．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=2，以AB為直徑畫半圓，圓心為A1，以AA1為直徑畫半圓①；取A1B的中點A2，以A1A2為直徑畫半圓②；取A2B【答案】255256π【分析】由AB＝2，可得半圓①弧長為12π，半圓②弧長為（12）2π，半圓③弧長為（12）3π，......半圓⑧弧長為（12）8π，即可得8個小半圓的弧長之和為12π+（12）2π+（12）3π+...+（【詳解】解：∵AB=2，∴AA2=1，半圓①同理A1A2=1A2A3=1……半圓⑧弧長為π×∴8個小半圓的弧長之和為12故答案為：255256【點睛】此題考查圖形的變化類規(guī)律，解題的關鍵是掌握圓的周長公式和找到弧長的變化規(guī)律．52．（2020·湖南湘西·中考真題）觀察下列結論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB,BC上的點，且AM=BN，則（2）如圖②，在正方形ABCD中，點M，N是AB,BC上的點，且AM=BN，則（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB,BC上的點，且AM=BN，則AN根據以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4??An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1【答案】A1N=A【分析】根據正多邊形內角和定理結合全等三角形的判定和性質可得出（1）、（2）、（3）的結論，根據以上規(guī)律可得出正n邊形的結論．【詳解】（1）∵正三角形ABC中，點M、N是AB、AC邊上的點，且AM=BN，∴AB=AC，∠CAM=∠ABN=n-∵在△ABN和△CAM中，AB=∴△ABN≌△CAM（SAS），∴AN=CM，∠BAN=∠MCA，∴∠NOC=∠OAC+∠MCA=∠OAC+∠BAN=∠BAC=60°，故結論為：AN=CM，∠NOC=60°；（2）∵正方形ABCD中，點M、N是AB、BC邊上的點，且AM=BN，∴AB=AD，∠DAM=∠ABN=n-同理可證：Rt△ABN?Rt△DAM，∴AN=DM，∠BAN=∠ADM，∠NOD=∠OAD+∠ADM=∠OAD+∠BAN=∠BAC=90°，故結論為：AN=DM，∠NOD=90°；（3）∵正五邊形ABCDE中，點M、N是AB、BC邊上的點，且AM=BN，∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=n-同理可證得：Rt△ABN?Rt△EAM，∴AN=EM，∠BAN=∠AEM，∠NOE=∠OAE+∠AEM=∠OAE+∠BAN=∠BAE=108°，故結論為：AN=EM，∠NOE=108°；?∵正三角形的內角度數為：60°，正方形的內角度數為：90°，正五邊形的內角度數為：108°，∴以上所求的角恰好等于正n邊形的內角n-在正n邊形A1A2A3A4??An中，點M，N是A1A2,A2A故答案為：A1N=An【點睛】本題考查了正n邊形的內角和定理以及全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是發(fā)現A1N與An類型三函數規(guī)律根據圖形點坐標的變換特點，有兩種考查形式:1）點坐標變換是在同一象限遞推變化:2）點坐標變換在坐標軸上或象限內循環(huán)遞推變化解決這類題的方法如下：1）根據圖形點坐標的變化特點判斷出屬于哪一類.2）根據圖形的變換規(guī)律分別求出第1個點、第2個點、第3個點、第4個點的坐標，歸納出后一個點坐標與前一個點坐標之間存在的倍分關系3）①第一類確定點坐標的方法:根據上述得到的倍分關系，得到第M個點的坐標;②第二類確定點坐標的方法:先觀察點坐標變換的規(guī)律是按順時針循環(huán)，還是按逆時針循環(huán)交替出現，找出循環(huán)一周的變換次數，記為n，用M÷n=w…q(0≤g<n)，則第M次變換同第q次變換后的點坐標所在的坐標軸或象限相同，根據已得到的倍分關系，得到第M個點的坐標.題型01函數圖象規(guī)律56．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系，橫、縱坐標均為整數的點案如下規(guī)律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按這個規(guī)律，則(6,7)是第個點．

【答案】99【分析】先根據點的坐標，找出規(guī)律，再計算求解．【詳解】解：橫縱坐標和是0的有1個點，橫縱坐標和是1的有2個點，橫縱坐標和是2的有3個點，橫縱坐標和是3的有4個點，……，橫縱坐標和是n的有(n6+7=13，∵1+2+……+12+13=1∴橫縱坐標和是13的有14點，分別為：(13,0)、(12,1)、(11,2)、(10,3)、(9,4)、(8,5)、(7,6)、(6,7)、(5,8)、(4,9)、(3,10)、(2,11)、(1,12)、(0,13)、∴(6,7)是第91+8=99個點，故答案為：99．【點睛】本題考查了點的坐標，找到坐標的排列規(guī)律是解題的關鍵．57．（2023·浙江紹興·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長，P1，P2，P3，…，均在格點上，其順序按圖中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3

【答案】(504,-504)【分析】根據各個點的位置關系，可得出從P3(1,1)開始，下標為4的倍數的點在第四象限的角平分線上，被4除余1的點在第三象限的角平分線上，被4除余2的點在第二象限的角平分線上，被4除余3的點在第一象限的角平分線上，所以點P2016【詳解】解：由圖知，令n≥0（n從P3(1,1)開始，P4n(n,-n)在第4象限，P4n由規(guī)律可得，2016=4×504，∴點P2016的在第四象限的角平分線上，坐標為故答案為：(504,-504)．【點睛】本題考查了規(guī)律型：點的坐標，根據前幾個點的坐標，總結出４個一循環(huán)的規(guī)律是解題的關鍵.58．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為1的正方形OABC，邊OA，OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB1C1，再以對角線OB1

【答案】2【分析】首先根據各點的坐標求出OB，OB1，OB2，OB3，OB4，【詳解】解：∵正方形OABC邊長為1，∴OB=2，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的對角線OB為邊，∴OB1=2OB∴B1點坐標為(0,2)，同理可知OB∴B2點坐標為(-2,2)，同理可知OBB3點坐標為(-4,0)，可知OB∴B4點坐標為(-4,-4)，可知OB∴B5點坐標為(0,-8)，可知OB∴B6可知OB∴B7可知OB∴B8···由規(guī)律可以發(fā)現，OB由規(guī)律可以發(fā)現，每經過8次作圖后，點的坐標符號與第一次坐標符號相同，∵2023÷8=252…7，∴B2023的橫縱坐標符號與點B7∴B2023的坐標為故答案為：21012【點睛】本題主要考查正方形的性質，坐標與圖形的性質，解答本題的關鍵是由點坐標的規(guī)律變化發(fā)現OB59．（2023·四川內江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數的點，其順序為(1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,1)、(1【答案】(45【分析】觀察圖形可知，以最外邊的矩形邊長上的點為準，點的總個數等于x軸上右下角的點的橫坐標的平方，據此求解即可．【詳解】解：觀察圖形可知，到每一個橫坐標結束，經過整數點的個數等于最后橫坐標的平方，∴橫坐標以n結束的有n2∵452∴第2025個點的坐標是(45,∴2023個點的縱坐標往上數2個單位為2，∴2023個點的坐標是(45,故答案為：(45,【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律探究，觀察出點的個數與橫坐標存在平方關系是解題的關鍵．題型02函數上點的規(guī)律56．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系，橫、縱坐標均為整數的點案如下規(guī)律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按這個規(guī)律，則(6,7)是第個點．

【答案】99【分析】先根據點的坐標，找出規(guī)律，再計算求解．【詳解】解：橫縱坐標和是0的有1個點，橫縱坐標和是1的有2個點，橫縱坐標和是2的有3個點，橫縱坐標和是3的有4個點，……，橫縱坐標和是n的有(n6+7=13，∵1+2+……+12+13=1∴橫縱坐標和是13的有14點，分別為：(13,0)、(12,1)、(11,2)、(10,3)、(9,4)、(8,5)、(7,6)、(6,7)、(5,8)、(4,9)、(3,10)、(2,11)、(1,12)、(0,13)、∴(6,7)是第91+8=99個點，故答案為：99．【點睛】本題考查了點的坐標，找到坐標的排列規(guī)律是解題的關鍵．57．（2023·浙江紹興·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長，P1，P2，P3，…，均在格點上，其順序按圖中“→”方向排列，如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3

【答案】(504,-504)【分析】根據各個點的位置關系，可得出從P3(1,1)開始，下標為4的倍數的點在第四象限的角平分線上，被4除余1的點在第三象限的角平分線上，被4除余2的點在第二象限的角平分線上，被4除余3的點在第一象限的角平分線上，所以點P2016【詳解】解：由圖知，令n≥0（n從P3(1,1)開始，P4n(n,-n)在第4象限，P4n由規(guī)律可得，2016=4×504，∴點P2016的在第四象限的角平分線上，坐標為故答案為：(504,-504)．【點睛】本題考查了規(guī)律型：點的坐標，根據前幾個點的坐標，總結出４個一循環(huán)的規(guī)律是解題的關鍵.58．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為1的正方形OABC，邊OA，OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB1C1，再以對角線OB1

【答案】2【分析】首先根據各點的坐標求出OB，OB1，OB2，OB3，OB4，【詳解】解：∵正方形OABC邊長為1，∴OB=2，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的對角線OB為邊，∴OB1=2OB∴B1點坐標為(0,2)，同理可知OB∴B2點坐標為(-2,2)，同理可知OBB3點坐標為(-4,0)，可知OB∴B4點坐標為(-4,-4)，可知OB∴B5點坐標為(0,-8)，可知OB∴B6可知OB∴B7可知OB∴B8···由規(guī)律可以發(fā)現，OB由規(guī)律可以發(fā)現，每經過8次作圖后，點的坐標符號與第一次坐標符號相同，∵2023÷8=252…7，∴B2023的橫縱坐標符號與點B7∴B2023的坐標為故答案為：21012【點睛】本題主要考查正方形的性質，坐標與圖形的性質，解答本題的關鍵是由點坐標的規(guī)律變化發(fā)現OB59．（2023·四川內江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數的點，其順序為(1,0)、(2,0)、(2,1)、(1,1)、(1【答案】(45【分析】觀察圖形可知，以最外邊的矩形邊長上的點為準，點的總個數等于x軸上右下角的點的橫坐標的平方，據此求解即可．【詳解】解：觀察圖形可知，到每一個橫坐標結束，經過整數點的個數等于最后橫坐標的平方，∴橫坐標以n結束的有n2∵452∴第2025個點的坐標是(45,∴2023個點的縱坐標往上數2個單位為2，∴2023個點的坐標是(45,故答案為：(45,【點睛】本題考查了點坐標規(guī)律探究，觀察出點的個數與橫坐標存在平方關系是解題的關鍵．題型03函數圖象與幾何圖形的規(guī)律60．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A

A．31.34 B．31,-34 C．32,35 D．32,0【答案】A【分析】根據圖象可得移動3次完成一個循環(huán)，從而可得出點坐標的規(guī)律A3【詳解】解：∵A1-2，1，A4-∴A3∵100=3×34-2，則n=34∴A10031故選：A．【點睛】本題考查了點的規(guī)律變化，解答本題的關鍵是仔細觀察圖象，得到點的變化規(guī)律．61．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如圖的方式放置，點A1、A2、A3……An在直線y=-x-1，點C1、C2、C3……Cn在xA．3×2n-C．3×2n-【答案】D【分析】由四邊形A1B1C1O是正方形，求得A2(1，-2)，求出拋物線L2的頂點為(2，-3)，再將點(2，-3)代入y=ax-22-3，可求拋物線L2的解析式為y=x-22-【詳解】解：對于直線y=-x-1，設∴A1∵四邊形A1∴C1(1,0)，又點A2∴A2又∵B2∴拋物線L2的對稱軸為直線x∴拋物線L2的頂點為(2設拋物線L2的解析式為：y∵L2過點B∴-2=a×∴拋物線L2的解析式為y將x=3代入y=-x∴A3∵四邊形A3∴A3∴B3∴拋物線L3的對稱軸為直線x把x=5代入y=-x∴拋物線L3的頂點為(5∴設拋物線L3的解析式為y將點B3(7，∴拋物線L3的解析式為y∵拋物線L1的頂點為1拋物線L2的頂點為(2拋物線L3的頂點為(5…∴拋物線Ln的頂點坐標為(3×故選：D．【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，正方形的性質，根據點的坐標特點，探索出點的一般規(guī)律是解題的關鍵．62．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，A4……在x軸上且OA1=1，OA2=2OA1，OA3=2OA2，OA4=2OA3……按此規(guī)律，過點A