【七上】從算式到方程-重難點題型（含答案）

從算式到方程-重難點題型【知識點1方程及一元一次方程的定義】（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程．

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù)．（2）一元一次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．

通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標準形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．【題型1方程及一元一次方程的定義】【例1】（2021秋?太谷縣校級月考）在以下的式子中：x3+8＝3；12﹣x；x﹣y＝3；x+1＝2x+1；3xA．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2021春?米易縣校級期中）下列各式3x﹣2，2m+n＝1，a+b＝b+a（a，b為已知數(shù)），y＝0，x2﹣3x+2＝0中，方程有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】（2021春?射洪市期末）已知下列方程：①x﹣2=1x；②0.4x＝1；③1x=2x﹣2；④x﹣yA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-3】（2021春?墾利區(qū)期末）已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③x3=4x﹣1；④x2+2x﹣5＝0；⑤3x＝1；⑥A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【題型2利用一元一次方程的定義求值】【例2】（2020秋?天橋區(qū)期末）已知方程（a+3）x|a|﹣2+5＝0是關于x的一元一次方程，則a的值是．【變式2-1】（2021春?浦東新區(qū)校級期中）當a＝時，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是關于x的一元一次方程．【變式2-2】（2020秋?武侯區(qū)校級月考）已知：（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是關于y的一元一次方程，則ba的值為．【變式2-3】（2020秋?西城區(qū)校級期中）若nx2﹣xm﹣1+1＝3是關于x的一元一次方程，則m＝，n＝．【知識點2方程的解】方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．【題型3方程的解】【例3】（2020春?蘭考縣期末）x＝3是下列方程的解的有（）①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④13x＝xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-1】（2020秋?十堰期末）若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解為﹣1，則k的值為（）A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【變式3-2】（2020秋?太原期末）方程2x+▲＝3x，▲處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x＝2，那么▲處的常數(shù)是．【變式3-3】（2020秋?洪山區(qū)期末）小紅在解關于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2時，誤將方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解為x＝1，則原方程的解為．【題型4列方程】【例4】（2021春?南陽月考）甲、乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車比乙車早出發(fā)15分鐘，甲、乙兩車的速度比為2：3，相遇時甲比乙少走6千米，已知乙車走了1小時30分，求甲、乙兩車的速度和兩地距離．設甲車速度為2x千米/時，則列出的方程為．【變式4-1】（2020秋?邛崍市期末）我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”．其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托為5尺，那么索和竿各為幾尺？設竿為x尺，可列方程為．【變式4-2】（2020秋?白云區(qū)月考）2020年5月開學初，為做好新冠肺炎疫情的防控工作，班主任邱老師在某網(wǎng)站為班上的每一位學生購買N95口罩，每個N95口罩的價格是15元，在結算時賣家說：“如果您再多買一個口罩就可以打九折，價錢會比現(xiàn)在便宜45元．”邱老師說：“那好吧！我就再買一個，謝謝”根據(jù)兩人的對話，判斷邱老師的班級人數(shù)．設班級人數(shù)為x人，則可列方程為：．【變式4-3】（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）在2019年全國信息學奧林匹克聯(lián)賽中，重慶八中學子再創(chuàng)輝煌，競賽成績?nèi)蓄I先，共56人獲得全國一等獎，同時摘下高一年級組冠軍，高二年級組第二名，包攬初二年級組冠、亞、季軍．在校內(nèi)選拔賽時，某位同學連續(xù)答題40道，答對一題得5分，答錯一題扣2分，最終該同學獲得144分．請問這位同學答對多少道題？下面共列出4個方程，其中正確的是．（多選）A．設答對了x道題，則可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144B．設答錯了y道題，則可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144C．設答對題目得a分，則可列方程：a5D．設答錯題目扣b分，則可列方程144?b5【知識點3等式的性質】性質1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結果仍得等式；性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式．【題型5利用等式的性質變形】【例5】（2021秋?香坊區(qū)校級月考）根據(jù)等式的性質，下列變形中正確的為（）A．若x2＝5x，則x＝5 B．若xa=ya，則C．若a2x＝a2y，則x＝y(tǒng) D．若?32k=8【變式5-1】（2020秋?道里區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．在等式ab＝ac兩邊除以a，可得b＝c B．在等式2x＝2a﹣b兩邊除以2，可得x＝a﹣b C．在等式a＝b兩邊除以（c2+1），可得acD．在等式ba=ca兩邊除以a【變式5-2】（2021?寧波模擬）若a=1b+1c，其中aA．b+c＝a B．b+c=1a C．b+c=abc D．b【變式5-3】（2020春?雙陽區(qū)期末）已知5a+8b＝3b+10，利用等式性質可求得a+b的值是．【題型6等式的性質的應用】【例6】（2021?沙河市開學）假設“▲、●、■”分別表示三種不同的物體．如圖，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放（）個■．A．5 B．6 C．7 D．8【變式6-1】（2020秋?蕪湖期末）設“●■▲”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”處應該放“●”的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式6-2】（2021春?下城區(qū)校級期中）如圖所示，三個天平的托盤中形狀相同的物體質量相等，圖1、圖2所示的兩個天平處于平衡狀態(tài)，要使圖3所示的天平也保持平衡，可在它的右盤中放置（）A．3個〇 B．5個〇 C．4個〇 D．6個〇【變式6-3】設“”，“”，“”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖①②所示．由此請判斷圖③④⑤⑥中天平的狀態(tài)是否正確．從算式到方程-重難點題型【答案版】【知識點1方程及一元一次方程的定義】（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程．

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù)．（2）一元一次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．

通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標準形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．【題型1方程及一元一次方程的定義】【例1】（2021秋?太谷縣校級月考）在以下的式子中：x3+8＝3；12﹣x；x﹣y＝3；x+1＝2x+1；3xA．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)方程的定義對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：12﹣x不是方程，因為不是等式；2+5＝7不是方程，因為不含有未知數(shù)；x3+8＝3、x﹣y＝3、x+1＝2x+1、3x故選：B．【變式1-1】（2021春?米易縣校級期中）下列各式3x﹣2，2m+n＝1，a+b＝b+a（a，b為已知數(shù)），y＝0，x2﹣3x+2＝0中，方程有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】含有未知數(shù)的等式叫做方程．根據(jù)方程的定義可以解答．【解答】解：2m+n＝1，y＝0，x2﹣3x+2＝0，這3個式子既是等式又含有未知數(shù)，都是方程．3x﹣2不是等式，因而不是方程．a(chǎn)+b＝b+a（a，b為已知數(shù)）不含未知數(shù)所以都不是方程．故有3個式子是方程．故選：C．【變式1-2】（2021春?射洪市期末）已知下列方程：①x﹣2=1x；②0.4x＝1；③1x=2x﹣2；④x﹣yA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．即可判斷．【解答】解：根據(jù)一元一次方程定義可知：下列方程：①x﹣2=1x；②0.4x＝1；③1x=2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤故選：A．【變式1-3】（2021春?墾利區(qū)期末）已知下列方程：①3x＝6y；②2x＝0；③x3=4x﹣1；④x2+2x﹣5＝0；⑤3x＝1；⑥A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)一元一次方程的定義即可求出答案．只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．【解答】解：一元一次方程指只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式．①3x＝6y含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程；②2x＝0，是一元一次方程；③x3=4④x2+2x﹣5＝0，未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，不是一元一次方程；⑤3x＝1，是一元一次方程；⑥3x?2＝2，∴一元一次方程有②③⑤共3個．故選：B．【題型2利用一元一次方程的定義求值】【例2】（2020秋?天橋區(qū)期末）已知方程（a+3）x|a|﹣2+5＝0是關于x的一元一次方程，則a的值是．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的等式．由此可得|a|﹣2＝1，a+3≠0，求出a即可．【解答】解：∵方程（a+3）x|a|﹣2+5＝0是關于x的一元一次方程，∴|a|﹣2＝1，a+3≠0，∴a＝±3，a≠﹣3，∴a＝3，故答案為：3．【變式2-1】（2021春?浦東新區(qū)校級期中）當a＝時，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是關于x的一元一次方程．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義列出關于a的方程組，求出a的值即可．【解答】解：∵（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是關于x的一元一次方程，∴a2解得a＝﹣1．故答案為：﹣1．【變式2-2】（2020秋?武侯區(qū)校級月考）已知：（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是關于y的一元一次方程，則ba的值為．【分析】利用一元一次方程的定義判斷求出a與b的值，代入原式計算即可求出值．【解答】解：∵（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是關于y的一元一次方程，∴a+2b＝0，a﹣1＝1，解得：a＝2，b＝﹣1，則原式＝（﹣1）2＝1．故答案為：1．【變式2-3】（2020秋?西城區(qū)校級期中）若nx2﹣xm﹣1+1＝3是關于x的一元一次方程，則m＝，n＝．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義得出n＝0，m﹣1＝1，再求出m即可．【解答】解：∵nx2﹣xm﹣1+1＝3是關于x的一元一次方程，∴n＝0，m﹣1＝1，∴m＝2，故答案為：2，0．【知識點2方程的解】方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．【題型3方程的解】【例3】（2020春?蘭考縣期末）x＝3是下列方程的解的有（）①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④13x＝xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】分別求出四個方程的解各是多少，判斷出x＝3是所給方程的解的有多少個即可．【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0，∴x＝﹣3．②∵|x+2|＝5，∴x+2＝±5，解得x＝﹣7或3．③∵（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x＝3或1．④∵13x＝x∴x＝3，∴x＝3是所給方程的解的有3個：②、③、④．故選：C．【變式3-1】（2020秋?十堰期末）若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解為﹣1，則k的值為（）A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出關于k的新方程，通過解新方程來求k的值．【解答】解：依題意，得2×（﹣1）﹣（﹣1）k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7，解得，k＝﹣6．故選：C．【變式3-2】（2020秋?太原期末）方程2x+▲＝3x，▲處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x＝2，那么▲處的常數(shù)是．【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出關于▲的方程，通過解該方程可以求得▲處的數(shù)字．【解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，解得▲＝2．故答案為：2．【變式3-3】（2020秋?洪山區(qū)期末）小紅在解關于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2時，誤將方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解為x＝1，則原方程的解為．【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程為﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案為：x＝﹣1．【題型4列方程】【例4】（2021春?南陽月考）甲、乙兩車從A、B兩地相向而行，甲車比乙車早出發(fā)15分鐘，甲、乙兩車的速度比為2：3，相遇時甲比乙少走6千米，已知乙車走了1小時30分，求甲、乙兩車的速度和兩地距離．設甲車速度為2x千米/時，則列出的方程為．【分析】設甲車速度為2x千米/時，則乙車的速度為3x千米/時，根據(jù)路程＝速度×時間，結合相遇時甲比乙少走6千米，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：15分鐘=14小時，1小時30分設甲車速度為2x千米/時，則乙車的速度為3x千米/時，依題意得：32×3x﹣（32故答案為：32×3x﹣（32【變式4-1】（2020秋?邛崍市期末）我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”．其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托為5尺，那么索和竿各為幾尺？設竿為x尺，可列方程為．【分析】設竿為x尺，則索為（x+5）尺，根據(jù)“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關于x一元一次方程．【解答】解：設竿為x尺，則索為（x+5）尺，根據(jù)題意得：12（x+5）＝x故答案為：12（x+5）＝x【變式4-2】（2020秋?白云區(qū)月考）2020年5月開學初，為做好新冠肺炎疫情的防控工作，班主任邱老師在某網(wǎng)站為班上的每一位學生購買N95口罩，每個N95口罩的價格是15元，在結算時賣家說：“如果您再多買一個口罩就可以打九折，價錢會比現(xiàn)在便宜45元．”邱老師說：“那好吧！我就再買一個，謝謝”根據(jù)兩人的對話，判斷邱老師的班級人數(shù)．設班級人數(shù)為x人，則可列方程為：．【分析】根據(jù)多買一個反而少花45元，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：15x﹣15×0.9（x+1）＝45．故答案為：15x﹣15×0.9（x+1）＝45．【變式4-3】（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）在2019年全國信息學奧林匹克聯(lián)賽中，重慶八中學子再創(chuàng)輝煌，競賽成績?nèi)蓄I先，共56人獲得全國一等獎，同時摘下高一年級組冠軍，高二年級組第二名，包攬初二年級組冠、亞、季軍．在校內(nèi)選拔賽時，某位同學連續(xù)答題40道，答對一題得5分，答錯一題扣2分，最終該同學獲得144分．請問這位同學答對多少道題？下面共列出4個方程，其中正確的是．（多選）A．設答對了x道題，則可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144B．設答錯了y道題，則可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144C．設答對題目得a分，則可列方程：a5D．設答錯題目扣b分，則可列方程144?b5【分析】A、若設答對了x道題，等量關系：5×答對數(shù)量﹣2（40﹣x）＝144；B、若設答錯了y道題，等量關系：5×（40﹣y）﹣2y＝144；C、若設答對題目得a分，等量關系：答對的數(shù)量﹣答錯數(shù)量＝40；D、設答錯題目扣b分，答對的數(shù)量﹣答錯數(shù)量＝40．【解答】解：A、若設答對了x道題，則可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144，故本選項符合題意；B、若設答錯了y道題，則可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144，故本選項符合題意；C、若設答對題目得a分，則可列方程：a5D、設答錯題目扣b分，則可列方程144+b5故答案是：ABC．【知識點3等式的性質】性質1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結果仍得等式；性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式．【題型5利用等式的性質變形】【例5】（2021秋?香坊區(qū)校級月考）根據(jù)等式的性質，下列變形中正確的為（）A．若x2＝5x，則x＝5 B．若xa=ya，則C．若a2x＝a2y，則x＝y(tǒng) D．若?32k=8【分析】利用等式的性質變形得到結果，即可作出判斷．【解答】解：A、由x2＝5x，x≠0，得到x＝5，原變形錯誤，故此選項不符合題意；B、若xa=ya，則C、若a2x＝a2y，a2≠0，則x＝y(tǒng)，原變形錯誤，故此選項不符合題意；D、若?32k=8，則故選：B．【變式5-1】（2020秋?道里區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．在等式ab＝ac兩邊除以a，可得b＝c B．在等式2x＝2a﹣b兩邊除以2，可得x＝a﹣b C．在等式a＝b兩邊除以（c2+1），可得acD．在等式ba=ca兩邊除以a【分析】根據(jù)等式的性質即可求出答案【解答】解：A、當a＝0時，該結論不成立，故A錯誤．B、在等式2x＝2a﹣b兩邊除以2，可得x=2a?b2，故C、由于c2+1≥1，在等式a＝b兩邊除以（c2+1），可得ac2+1D、在等式ba=ca兩邊除以a，可得故選：C．【變式5-2】（2021?寧波模擬）若a=1b+1c，其中aA．b+c＝a B．b+c=1a C．b+c=abc D．b【分析】根據(jù)等式性質，等式兩邊乘以bc即可選出正確答案．【解答】解：∵a=1根據(jù)等式的性質，等式兩邊乘以bc，等式仍然成立．∴a?bc=1b?bc+1∴abc＝c+b．故選：D．【變式5-3】（2020春?雙陽區(qū)期末）已知5a+8b＝3b+10，利用等式性質可求得a+b的值是．【分析】根據(jù)等式的性質，等式的兩邊同時減去3b，可得5a+5b＝10，再把等式的兩邊同時除以5即可．【解答】解：5a+8b＝3b+10，5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10，5a+5b＝10，5（a+b）＝10，a+b＝2．給答案為：2．【題型6等式的性質的應用】【例6】（2021?沙河市開學）假設“▲、●、■”分別表示三種不同的物體．如圖，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放（）個■．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)前兩架天平保持平衡，可得：1個三角形等于1個圓加1個正方形，2個圓等于1個三角形和1個正方形，所以2個圓等于1個圓加2個正方形，據(jù)此推得1個圓＝2個正方形，所以要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應放6個■．【解答】解：∵1個▲＝1個●+1個■，2個●＝1個▲+1個■，∴2個●＝（1個