空間直角坐標(biāo)系課件北師大

空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系是描述空間中點(diǎn)位置的常用方法。它由三條互相垂直的直線組成，稱為x軸、y軸和z軸。課程目標(biāo)理解空間直角坐標(biāo)系了解空間直角坐標(biāo)系的定義和性質(zhì)，以及空間點(diǎn)和向量的表示方法。掌握空間曲線的表示學(xué)習(xí)空間曲線的參數(shù)方程、切線方程和弧長(zhǎng)公式，以及空間曲線在平面上的投影。理解空間平面的表示學(xué)習(xí)空間平面的方程、交線、夾角和投影，以及空間平面與空間曲線的相關(guān)概念。直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系是一個(gè)由兩條相互垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，用來(lái)描述二維空間中點(diǎn)的相對(duì)位置。橫軸稱為x軸，縱軸稱為y軸，兩軸交點(diǎn)稱為原點(diǎn)，用字母O表示。坐標(biāo)系中的每個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)來(lái)表示，其中x表示點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)，y表示點(diǎn)在y軸上的坐標(biāo)。坐標(biāo)軸的定義11.X軸X軸是水平方向的軸線，通常指向右側(cè)，代表橫坐標(biāo)。22.Y軸Y軸是垂直方向的軸線，通常指向上方，代表縱坐標(biāo)。33.Z軸Z軸是垂直于X軸和Y軸的軸線，通常指向前方，代表深度坐標(biāo)。坐標(biāo)軸的方向1X軸方向通常指向東西方向，水平向右為正方向，水平向左為負(fù)方向。2Y軸方向通常指向南北方向，豎直向上為正方向，豎直向下為負(fù)方向。3Z軸方向通常指向垂直于X軸和Y軸的方向，垂直向上為正方向，垂直向下為負(fù)方向?？臻g點(diǎn)的表示在空間直角坐標(biāo)系中，每個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)有序的三元數(shù)組(x,y,z)來(lái)表示，分別代表該點(diǎn)在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)值?？臻g點(diǎn)的位置由其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影位置唯一確定。坐標(biāo)值的正負(fù)號(hào)指示點(diǎn)在坐標(biāo)軸的正方向還是負(fù)方向。例如，點(diǎn)(2,-3,1)表示該點(diǎn)在x軸正方向上距離原點(diǎn)2個(gè)單位，在y軸負(fù)方向上距離原點(diǎn)3個(gè)單位，在z軸正方向上距離原點(diǎn)1個(gè)單位?？臻g直角坐標(biāo)系的定義空間直角坐標(biāo)系是由三條互相垂直的直線構(gòu)成，分別稱為x軸、y軸和z軸。三條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，用字母O表示。空間直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)可以用三個(gè)數(shù)來(lái)表示，分別稱為該點(diǎn)的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)和z坐標(biāo)。P點(diǎn)的坐標(biāo)通常用(x,y,z)表示?？臻g直角坐標(biāo)系的性質(zhì)唯一性每個(gè)空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)唯一的坐標(biāo)，每個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)唯一的空間點(diǎn)?？勺儞Q可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等變換改變坐標(biāo)系的原點(diǎn)和方向，但不會(huì)改變空間點(diǎn)的位置。線性性空間點(diǎn)和坐標(biāo)之間存在線性關(guān)系，這使得空間點(diǎn)的位置和方向可以線性表達(dá)?？臻g直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)可以用三個(gè)坐標(biāo)值來(lái)表示。三個(gè)坐標(biāo)值分別代表該點(diǎn)在x軸，y軸和z軸上的投影位置。x坐標(biāo)表示點(diǎn)在x軸上的投影位置y坐標(biāo)表示點(diǎn)在y軸上的投影位置z坐標(biāo)表示點(diǎn)在z軸上的投影位置空間向量的表示向量起點(diǎn)與終點(diǎn)空間向量用帶箭頭的有向線段表示，起點(diǎn)為向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)為向量的終點(diǎn)。向量的大小與方向空間向量的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭方向表示向量的方向。向量符號(hào)表示通常用小寫(xiě)字母加箭頭表示空間向量，例如向量a，向量b等?？臻g向量的基本運(yùn)算1向量加法首尾相接，首尾相連2向量減法共起點(diǎn)，平行且反向3數(shù)量乘法長(zhǎng)度改變，方向不變空間向量基本運(yùn)算包括加減法、數(shù)量乘法。向量加法遵循平行四邊形法則，向量減法遵循三角形法則。數(shù)量乘法改變向量的長(zhǎng)度，不改變方向。向量的數(shù)量乘積數(shù)量乘積的定義向量的數(shù)量乘積是指兩個(gè)向量相乘得到一個(gè)數(shù)，也稱為點(diǎn)積或內(nèi)積。幾何意義向量的數(shù)量乘積等于其中一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影長(zhǎng)度乘以另一個(gè)向量的模長(zhǎng)。應(yīng)用向量的數(shù)量乘積在計(jì)算向量之間的夾角、求向量的投影和計(jì)算工作量等方面具有廣泛應(yīng)用。向量的數(shù)量乘積的應(yīng)用1計(jì)算距離向量數(shù)量乘積能夠幫助我們計(jì)算空間中兩點(diǎn)之間的距離。2求解面積它可用于計(jì)算平行四邊形的面積，以及三角形的面積。3確定體積在三維空間中，數(shù)量積可用來(lái)求解平行六面體的體積。4投影分析向量數(shù)量乘積可以用于計(jì)算一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影長(zhǎng)度。向量的點(diǎn)乘定義兩個(gè)向量a和b的點(diǎn)乘定義為它們的模長(zhǎng)乘積，再乘以它們夾角的余弦值，即a·b=|a||b|cosθ。幾何意義向量a在向量b方向上的投影長(zhǎng)度，乘以向量b的模長(zhǎng)。向量的點(diǎn)乘的性質(zhì)交換律兩個(gè)向量的點(diǎn)乘結(jié)果與它們的順序無(wú)關(guān)。分配律一個(gè)向量與兩個(gè)向量之和的點(diǎn)乘等于該向量分別與這兩個(gè)向量的點(diǎn)乘之和。結(jié)合律三個(gè)向量點(diǎn)乘時(shí)，可以先對(duì)任意兩個(gè)向量進(jìn)行點(diǎn)乘，然后與第三個(gè)向量點(diǎn)乘。零向量任何向量與零向量的點(diǎn)乘都等于零。向量的點(diǎn)乘的應(yīng)用計(jì)算距離點(diǎn)乘可以用來(lái)計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離。計(jì)算夾角點(diǎn)乘可以用來(lái)計(jì)算兩個(gè)向量之間的夾角。投影點(diǎn)乘可以用來(lái)計(jì)算一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影。向量的叉乘右手法則右手食指指向第一個(gè)向量，中指指向第二個(gè)向量，拇指指向叉乘結(jié)果方向。垂直性兩個(gè)向量叉乘的結(jié)果垂直于這兩個(gè)向量所在的平面。平行四邊形面積兩個(gè)向量叉乘的結(jié)果模長(zhǎng)等于這兩個(gè)向量所張成的平行四邊形的面積。向量的叉乘的性質(zhì)反交換律a×b=-b×a分配律a×(b+c)=a×b+a×c結(jié)合律(ka)×b=k(a×b)模長(zhǎng)公式|a×b|=|a||b|sinθ向量的叉乘的應(yīng)用11.求空間兩直線的距離利用向量的叉乘，我們可以得到兩條直線的方向向量，進(jìn)而求得它們之間的距離。22.求空間兩平面之間的夾角利用向量的叉乘，我們可以得到兩個(gè)平面的法向量，然后計(jì)算它們的夾角。33.求空間點(diǎn)到平面的距離我們可以使用向量叉乘求得點(diǎn)到平面的垂線向量，再利用向量點(diǎn)乘求得距離。44.判斷空間兩直線的位置關(guān)系通過(guò)計(jì)算兩個(gè)直線的方向向量的叉乘，我們可以判斷它們是否平行、相交或異面?？臻g曲線的表示空間曲線可以用多種方法來(lái)表示，包括參數(shù)方程、向量方程和點(diǎn)坐標(biāo)方程。參數(shù)方程是使用一個(gè)參數(shù)來(lái)描述空間曲線上的每個(gè)點(diǎn)，可以方便地描述曲線上的點(diǎn)。向量方程則使用向量來(lái)表示空間曲線，可以簡(jiǎn)潔地描述曲線的形狀和方向?？臻g曲線的參數(shù)方程1參數(shù)方程使用一個(gè)或多個(gè)參數(shù)表示曲線上的點(diǎn)2參數(shù)獨(dú)立變量，通常用t表示3坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，表示點(diǎn)的坐標(biāo)空間曲線可以通過(guò)參數(shù)方程來(lái)表示，這種表示方式將曲線上每個(gè)點(diǎn)的位置用一個(gè)或多個(gè)參數(shù)來(lái)描述。參數(shù)通常用t表示，它是一個(gè)獨(dú)立變量，而曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)則是參數(shù)的函數(shù)。通過(guò)參數(shù)方程，我們可以用簡(jiǎn)潔的方式描述空間曲線的形狀和位置?？臻g曲線的切線方程切線方程的定義空間曲線在某一點(diǎn)處的切線是該曲線在該點(diǎn)附近的一條直線，它與曲線在該點(diǎn)處有相同的切向量。切線方程的求法首先求出曲線在該點(diǎn)處的切向量，然后利用點(diǎn)斜式方程即可寫(xiě)出切線方程?？臻g曲線的弧長(zhǎng)空間曲線弧長(zhǎng)是指曲線上的兩點(diǎn)之間的距離，是曲線長(zhǎng)度的度量?；￠L(zhǎng)可以通過(guò)積分計(jì)算，積分的被積函數(shù)為曲線的切線長(zhǎng)度，積分區(qū)間為兩點(diǎn)之間的參數(shù)范圍。1公式L=∫ab1+(dydx)2dx2參數(shù)參數(shù)方程可以幫助計(jì)算弧長(zhǎng)3應(yīng)用在工程和物理學(xué)中有廣泛應(yīng)用空間曲線的平面方程曲線與平面交點(diǎn)曲線與平面相交時(shí)，它們?cè)诮稽c(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)值。曲線的參數(shù)方程使用參數(shù)方程可以表示空間曲線，方便求解曲線與平面的交點(diǎn)。切向量與法向量曲線在交點(diǎn)處的切向量與平面的法向量垂直，滿足點(diǎn)乘為零?？臻g平面的表示空間平面是空間中一個(gè)無(wú)限延伸的二維圖形?？臻g平面的表示方法有多種，例如：點(diǎn)法式方程一般式方程參數(shù)方程空間平面的方程點(diǎn)法式方程已知空間平面上的一個(gè)點(diǎn)和法向量，則可表示該平面的點(diǎn)法式方程。一般式方程空間平面方程的一般形式為Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C不全為0。截距式方程當(dāng)平面與坐標(biāo)軸相交時(shí)，可表示該平面的截距式方程，該方程中，a、b、c分別表示平面與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)坐標(biāo)?？臻g平面的交線定義兩個(gè)不平行的平面相交，交線是一條直線。求交線求兩個(gè)平面的交線，可以通過(guò)聯(lián)立兩個(gè)平面的方程，解方程組得到交線的參數(shù)方程。方向向量交線的方向向量可以由兩個(gè)平面的法向量叉乘得到。應(yīng)用在空間幾何中，求空間圖形的交線是一個(gè)重要問(wèn)題，例如求兩個(gè)平面圖形的交線?？臻g平面的夾角空間平面夾角空間中兩平面的夾角是指兩平面法向量之間的夾角。夾角計(jì)算可以通過(guò)平面法向量的點(diǎn)乘來(lái)計(jì)算兩平面的夾角。公式兩平面的夾角公式為：cosθ=(n1·n2)/(|n1||n2|),其中n1和n2分別為兩個(gè)平面的法向量?？臻g平面的投影11.投影的概念空間平面上的點(diǎn)和直線在另一個(gè)平面上的映射稱為投影，投影后的圖形稱為投影圖。22.投影的方向投影方向通常垂直于投影平面，即沿著投影平面法線方向進(jìn)行投影。33.投影的應(yīng)用投影技術(shù)應(yīng)用于工程制