《自動控制原理》課件第2章

第二章線性系統的數學描述2.1線性系統的時域數學模型

2.2傳遞函數

2.3結構圖

2.4信號流圖

2.5線性定常系統數學模型的MATLAB實現

小結習題2.1線性系統的時域數學模型

控制系統中的輸出量和輸入量通常都是時間t的函數。很多常見的元件或系統的輸出量和輸入量之間的關系都可以用一個微分方程表示,方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對時間的導數或積分。這種微分方程又稱為動態(tài)方程或運動方程。微分方程的階數一般是指方程中最高導數項的階數,又稱為系統的階數。對于單輸入、單輸出線性定常系統,采用下列微分方程來描述:式中,r(t)和c(t)分別是系統的輸入信號和輸出信號；c(n)(t)為c(t)對時間t的n階導數;ai(i=1,2,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是由系統的結構參數決定的系數,n≥m。

(2.1)2.1.1電氣系統電氣系統中最常見的裝置是由電阻、電容、運算放大器等元件組成的電路,又稱電氣網絡。我們將電阻、電感和電容等本身不含有電源的器件稱為無源器件,而將運算放大器這樣本身包含電源的器件稱為有源器件。僅由無源器件構成的電氣網絡稱為無源網絡；如果電氣網絡中含有有源器件或電源,就稱之為有源網絡。

圖

2-1RLC無源網絡

【例2-1】圖2-1是由電阻R、電感L和電容C組成的無源網絡,試列寫以ui(t)為輸入量,以uo(t)為輸出量的網絡微分方程。

解設回路電流為i(t),由基爾霍夫電壓定律可寫出回路方程為消去中間變量i(t),可得描述該無源網絡輸入輸出關系的微分方程

(2.2)上式也可以寫為

(2.3)其中,T1=L/R,T2=RC。方程(2.2)和(2.3)就是所求的微分方程。這是一個典型的二階線性常系數微分方程,對應的系統稱為二階線性定常系統。

【例2-2】

圖2-2是一個由理想運算放大器組成的電容負反饋電路,電壓ui(t)和uo(t)分別表示輸入量和輸出量,試確定這個電路的微分方程式。圖

2-2電容負反饋電路

解理想運算放大器正、反相輸入端電位相同,且輸入電流為零。根據基爾霍夫電流定律有

整理后得

(2.4)或為

(2.5)其中,T=RC為時間常數。方程(2.4)和(2.5)就是該系統的微分方程,這是一個一階系統。2.1.2機械系統

【例2-3】

圖2-3表示一個含有彈簧、運動部件、阻尼器的機械位移裝置。其中k是彈簧系數,m是運動部件質量,μ是阻尼器的阻尼系數;外力f(t)是系統的輸入量,位移y(t)是系統的輸出量。試確定系統的微分方程。

解

根據牛頓運動定律,運動部件在外力作用下克服彈簧拉力ky(t)、阻尼器的阻力 ,將產生加速度力所以系統的運動方程為

(2.6)或寫成

(2.7)

這也是一個二階線性常微分方程。比較表達式(2.7)和(2.3)可以發(fā)現,兩個不同的物理系統具有相同形式的運動方程,即具有相同的數學模型。

圖2-3機械阻尼器示意圖

【例2-4】圖2-4表示一個單擺系統,輸入量為零(不加外力),輸出量為擺幅θ(t)。擺錘的質量為M,擺桿長度為l,阻尼系數為μ,重力加速度為g。試建立系統的運動方程。

解對于圖2-4所示的單擺系統,根據牛頓運動定律可以直接推出如下系統運動方程:

(2.8)顯然方程(2.8)是一個二階的非線性微分方程(因為含有sinθ),但是在擺幅較小的情況下,單擺運動方程可以認為是線性的,對應的微分方程為

(2.9)圖2-4單擺運動示意圖

在工程實際中,大多數系統是非線性的。比如,彈簧的剛度與其形變有關系,因此彈簧系數k實際上是其位移的函數,而并非常數;電阻、電容和電感等參數值與周圍的環(huán)境(溫度、濕度、壓力等)及流經它們的電流有關,也并非常值;電動機本身的摩擦、死區(qū)等非線性因素會使其運動方程復雜化而成為非線性方程。非線性系統的分析一般比線性系統復雜。但是當控制系統在圍繞平衡點附近的小范圍內動作時,通常采用泰勒級數展開的方法,可將非線性系統線性化為平衡點附近的線性系統,從而使問題簡化。如在上述的單擺系統中,在小幅擺動的假設下,通過將sinθ在平衡點θ=0處作一階泰勒展開,可將方程(2.8)中的非線性項sinθ用其線性近似量θ表示,從而得到方程(2.9)描述的線性系統。

2.2傳

遞

函

數

2.2.1拉氏變換

1.拉氏變換的定義若將實變量t的函數f(t)乘上指數函數e-st(其中s=σ+jω是一個復數),并且在［0,+∞］上對t積分,就可以得到一個新的函數F(s),稱F(s)為f(t)的拉氏變換,并用符號L［f(t)］表示。

(2.10)上式就是拉氏變換的定義式。從這個定義可以看出,拉氏變換將原來的實變量函數f(t)轉化為復變量函數F(s)。

通常將F(s)稱作f(t)的象函數,將f(t)稱作F(s)的原函數。

2.拉氏變換的基本定理1)線性定理兩個函數和的拉氏變換,等于每個函數拉氏變換的和,即

(2.11)函數放大k倍的拉氏變換等于該函數拉氏變換的k倍,即

(2.12)2)微分定理如果初始條件

成立,則有

(2.13)3)積分定理一個函數積分后再取拉氏變換等于這個函數的拉氏變換除以復參數s,即

重復運用式(2.14)可以推出

(2.14)(2.15)4)初值定理函數f(t)在t=0時的函數值可以通過f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→∞時的極限而得到,即

(2.16)5)終值定理函數f(t)在t→+∞時的函數值(即穩(wěn)定值)可以通過f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→0時的極限而得到,即

(2.17)2.2.2傳遞函數的定義和特點

1.傳遞函數的定義線性定常系統的傳遞函數,定義為零初始條件下,系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設線性定常系統由下面的n階線性常微分方程描述:(2.18)式中,r(t)和c(t)分別是系統的輸入信號和輸出信號;c(n)(t)為c(t)對時間t的n階導數;ai(i=0,1,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是由系統的結構參數決定的常系數。如果r(t)和c(t)及其各階導數在t=0時的值均為零,即滿足如下的零初始條件:則根據拉氏變換的定義和性質,對式(2.18)進行拉氏變換,并令C(s)=L［c(t)］,R(s)=L［r(t)］,可得

由傳遞函數的定義可得系統的傳遞函數為

式中,M(s)和N(s)分別稱為傳遞函數G(s)的分子多項式和分母多項式。

(2.19)【例2-5】

試確定圖2-1所示的RLC無源網絡系統的傳遞函數。解

由例2-1可知,RLC無源網絡系統的微分方程為

在零初始條件下,對上述方程中各項求拉氏變換,并令Uo(s)=L［uo(t)］,Ui(s)=L［ui(t)］，可得復頻域的代數方程

(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)所以系統的傳遞函數為

【例2-6】

試確定如圖2-2所示的運算放大器電路的傳遞函數。

解由例2-2可知,運算放大器電路系統的微分方程為

在零初始條件下,對上述方程中各項求拉氏變換，

得

所以,系統的傳遞函數為

(2.21)

【例2-7】

試確定如圖2-3所示的機械阻尼系統的傳遞函數。

解

由例2-3可知,該系統的運動方程為

在零初始條件下,對上式進行拉氏變換，

可得

(ms2+μs+k)Y(s)=F(s)所以系統的傳遞函數為

(2.22)

2.傳遞函數的特點

(1)傳遞函數的概念適用于線性定常系統,傳遞函數的結構和各項系數(包括常數項)完全取決于系統本身結構,因此,它是系統的動態(tài)數學模型,而與輸入信號的具體形式和大小無關,也不反映系統的任何內部信息。因此可以用圖2-5的方塊圖來表示一個具有傳遞函數G(s)的線性系統。該圖說明,系統輸入量和輸出量的因果關系可以用傳遞函數聯系起來。但是同一個系統若選擇不同的量作為輸入量和輸出量,所得到的傳遞函數可能不同。所以談到傳遞函數,必須指明輸入量和輸出量。傳遞函數的概念主要適用于單輸入、單輸出的情況。若系統有多個輸入信號,在求傳遞函數時,除了指定的輸入量以外,其它輸入量(包括常值輸入量)一概視為零;對于多輸入、多輸出線性定常系統,求取不同輸入和輸出之間的傳遞函數將得到系統的傳遞函數矩陣。

圖

2-5傳遞函數的圖示

(2)傳遞函數是在零初始條件下定義的?？刂葡到y的零初始條件有兩層含義:一是指輸入量在t≥0時才起作用;二是指輸入量加于系統之前,系統處于穩(wěn)定工作狀態(tài)。

(3)傳遞函數是復變量s的有理真分式函數,具有復變函數的所有性質;并且理論分析和實驗都指出,對于實際的物理系統和元件而言,輸入量和它所引起的響應(輸出量)之間的傳遞函數,分子多項式M(s)的階次m總是小于分母多項式N(s)的階次n,即m＜n。這個結論可以看作是客觀物理世界的基本屬性。它反映了一個基本事實:一個物理系統的輸出不可能立即復現輸入信號,只有經過一段時間后,輸出量才能達到輸入量所要求的數值。

對于具體的控制元件和系統,我們總是可以找到形成上述事實的原因。例如對于機械系統,由于物體都有質量,物體受到外力和外力矩作用時都要產生形變,相互接觸并存在相對運動的物體之間總是存在摩擦,這些都是造成機械裝置傳遞函數分母階次高于分子階次的原因。電氣網絡中,由運算放大器組成的電壓放大器,如果考慮其中潛在的電容和電感,輸出電壓和輸入電壓間的傳遞函數,分子多項式的階次一定低于分母多項式的階次。

(4)傳遞函數與線性常微分方程一一對應。傳遞函數分子多項式系數和分母多項式系數,分別與相應微分方程的右端及左端微分算符多項式系數相對應。所以,將微分方程的算符d/dt用復數s置換便可以得到傳遞函數;反之,將傳遞函數中的復數s用算符d/dt置換便可以得到微分方程。例如,由傳遞函數可得s的代數方程

(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)用算符d/dt置換復數s,便得到相應的微分方程

(5)傳遞函數不能反映系統或元件的學科屬性和物理性質。物理性質和學科類別截然不同的系統可能具有完全相同的傳遞函數。例如,例2-5表示的RLC電路和例2-7表示的機械阻尼系統的傳遞函數在適當的參數代換后可以具有相同的形式,但是兩者屬于完全不同的學科領域。另一方面,研究某一種傳遞函數所得到的結論,可以適用于具有這種傳遞函數的各種系統,不管它們的學科類別和工作機理如何不同。這就極大地提高了控制工作者的效率。(6)傳遞函數除具有式(2.19)表示的分子、分母多項式形式外,還具有如下兩種常見形式:(2.23)(2.24)表達式(2.23)和(2.24)分別稱為傳遞函數的零極點形式和時間常數形式。式(2.23)的特點是每個一次因子項中s的系數為1。M(s)=0和N(s)=0的根zi(i=1,2,…,m)和pj(j=1,2,…,n)分別稱為傳遞函數的零點和極點,k稱為傳遞函數的增益或根軌跡增益。由于M(s)和N(s)的系數均為實數,因此零極點是實數或共軛復數。式(2.24)的特點是各個因式的常數項均為1,τi(i=1,2,…,m)和Tj(j=1,2,…,n)為系統中各環(huán)節(jié)的時間常數,K為系統的放大倍數。(7)令系統的傳遞函數分母等于零,所得方程稱為特征方程,即N(s)=0。特征方程的根稱為特征根,也就是系統的極點。2.2.3典型環(huán)節(jié)傳遞函數

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)的運動方程和相對應的傳遞函數分別為

式中K為增益。特點:輸入輸出量成比例,無失真和時間延遲。實例:電子放大器,齒輪,電阻(電位器),感應式變送器等。

(2.25)(2.26)

2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)的運動方程和相對應的傳遞函數分別為

(2.27)(2.28)式中T為時間常數,K為比例系數。特點:含一個儲能元件,對突變的輸入,其輸出不能立即復現,輸出無振蕩。實例:直流伺服電動機的勵磁回路。

3.純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)常簡稱為微分環(huán)節(jié),其運動方程和傳遞函數分別為

(2.29)(2.30)特點:輸出量正比輸入量變化的速度,能預示輸入信號的變化趨勢。實例:實際中沒有純粹的微分環(huán)節(jié),它總是與其他環(huán)節(jié)并存的。實際中可實現的微分環(huán)節(jié)都具有一定的慣性,其傳遞函數如下:(2.31)4.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程和傳遞函數分別為

(2.32)(2.33)

特點:輸出量與輸入量的積分成正比例,當輸入消失,輸出具有記憶功能。實例:電動機角速度與角度間的傳遞函數,模擬計算機中的積分器等。

5.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的運動方程和傳遞函數分別為

(2.34)(2.35)式中ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比,T為時間常數,ωn為系統的自然振蕩角頻率(無阻尼自振角頻率),并且有

特點:環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件,并可進行能量交換,其輸出出現振蕩。實例:RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數,以及機械阻尼系統的傳遞函數。

6.純時間延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)的動態(tài)方程和傳遞函數分別為

(2.36)(2.37)式中τ為該環(huán)節(jié)的延遲時間。特點:輸出量能準確復現輸入量,但要延遲一固定的時間間隔τ。實例:管道壓力、

流量等物理量的控制,其數學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。

2.3結

構

圖2.3.1結構圖的組成與繪制

1.結構圖的組成

(1)結構圖的每一元件用標有傳遞函數的方框表示,方框外面帶箭頭的線段表示這個環(huán)節(jié)的輸入信號(箭頭指向方框)和輸出信號(箭頭離開方框),其方向表示信號傳遞方向。箭頭處標有代表信號物理量的符號字母,如圖2-6所示。

圖

2-6元件的結構圖

(2)然后把系統中所有元件都用上述方框形式表示,按系統輸入信號經過各元件的先后次序,依次將代表各元件的方塊用連接線連接起來。顯然,前后兩方塊連接時,前面方塊輸出信號必為后面方塊的輸入信號。

(3)對于閉環(huán)系統,需引入兩個新符號,分別稱為相加點和分支點(如圖2-7所示)。其中相加點如圖2-7(a)所示,它是系統的比較元件,表示兩個以上信號的代數運算。箭頭指向的信號流線表示它的輸入信號,箭頭離開它的信號流線表示它的輸出信號,附近的＋、－號表示信號之間的運算關系是相加還是相減。在框圖中,可以從一條信號流線上引出另一條或幾條信號流線,而信號引出的位置稱為分支點或引出點(如圖2-7(b)所示)。需要注意的是,無論從一條信號流線或一個分支點引出多少條信號流線,它們都代表一個信號,即原始大小的信號。圖

2-7結構圖的相加點和分支點

2.結構圖的繪制

(1)列寫系統的微分方程組,并求出其對應的拉氏變換方程組。

(2)從輸出量開始寫,以系統輸出量作為第一個方程左邊的量。(3)每個方程左邊只有一個量。從第二個方程開始,每個方程左邊的量是前面方程右邊的中間變量。列寫方程時盡量用已出現過的量。

(4)輸入量至少要在一個方程的右邊出現;除輸入量外,在方程右邊出現過的中間變量一定要在某個方程的左邊出現。

(5)按照上述整理后拉氏變換方程組的順序,從輸出端開始繪制系統的結構圖?！纠?-8】

在圖2-8(a)中,電壓u1(t)、u2(t)分別為輸入量和輸出量,繪制系統的結構圖。圖

2-8RC濾波電路結構圖

解對于電氣網絡可以采用電路理論中“運算阻抗”的概念和方法,不列寫微分方程就可以方便地求出相應的傳遞函數。具體地講,電阻R的運算阻抗就是電阻R本身。電感L的運算阻抗是Ls,電容C的運算阻抗是1/(Cs),其中s是拉氏變換的復參量。把電路中的電阻R、電感L和電容C全換成運算阻抗,把電流i(t)和電壓u(t)全換成相應的拉氏變換式I(s)和U(s),把運算阻抗當作普通電阻。這樣從形式上看,在零初始條件下,電路中的運算阻抗和電流、電壓的拉氏變換式之間的關系滿足各種電路定律,如歐姆定律、基爾霍夫定律。從而采用普通的電路定律,經過簡單的代數運算就可求解I(s)和U(s)及相應的傳遞函數。采用運算阻抗的方法又稱運算法,相應的電路圖稱為運算電路。圖2-8(a)對應的運算電路如圖2-8(b)所示。設中間變量I1(s)、I2(s)和U3(s)。從輸出量U2(s)開始按上述步驟列寫系統方程式:

按照上述方程的順序,從輸出量開始繪制系統的結構圖,其繪制結果如圖2-8(c)所示(注意這是一個還沒有經過簡化的系統結構圖)。值得注意的是,一個系統可以具有不同的結構圖,但由結構圖得到的輸出和輸入信號的關系都是相同的。2.3.2閉環(huán)系統的結構圖一個閉環(huán)負反饋系統通常用圖2-9所示的結構圖來表示。輸出量C(s)反饋到相加點,并且在相加點與參考輸入量R(s)進行比較。圖中各信號之間的關系為

C(s)=G(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C(s)式中E(s)和B(s)分別為偏差信號和反饋信號的拉氏變換,H(s)為閉環(huán)系統中的反饋傳遞函數。并且反饋到相加點與輸入量進行比較的反饋信號B(s)=H(s)C(s)。

圖2-9閉環(huán)系統結構圖反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比,叫做開環(huán)傳遞函數,即

輸出量C(s)和偏差信號E(s)之比,叫做前向傳遞函數,即

如果反饋傳遞函數等于1,那么開環(huán)傳遞函數和前向傳遞函數相同,并稱這時的閉環(huán)反饋系統為單位反饋系統。從圖2-9可以推出系統輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的關系,具體推導如下:C(s)=G(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

消去E(s)可得

C(s)=G(s)［R(s)-H(s)C(s)］

所以有

(2.38)上式就是系統輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的傳遞函數,稱為閉環(huán)傳遞函數。這個傳遞函數將閉環(huán)系統的動態(tài)特性與前向通道環(huán)節(jié)和反饋通道環(huán)節(jié)的動態(tài)特性聯系在一起。由方程(2.38)可得

可見,閉環(huán)系統的輸出量取決于閉環(huán)傳遞函數和輸入量的性質。

2.3.3擾動作用下的閉環(huán)系統

實際的系統經常會受到外界擾動的干擾,通常擾動作用下的閉環(huán)系統的結構圖可由圖2-10表示。從圖2-10可知,這個系統存在兩個輸入量,即參考輸入量R(s)和擾動量N(s)。

圖

2-10擾動作用下的閉環(huán)系統結構圖

根據線性系統滿足疊加性原理的性質,可以先對每一個輸入量單獨地進行處理,然后將每個輸入量單獨作用時相應的輸出量進行疊加,就可得到系統的總輸出量。對于圖2-10所示的系統,研究擾動量N(s)對系統的影響時,可以假設參考輸入信號R(s)=0,經過簡單的推導可以得出系統對擾動的響應CN(s)為

所以,系統輸出對擾動的傳遞函數ΦN(s)=CN(s)/N(s)為

(2.39)

同樣在分析系統對參考輸入的響應時,可以假設擾動量N(s)=0,這時系統對參考輸入量R(s)的響應CR(s)為

所以,系統輸出對參考輸入的傳遞函數Φ(s)=CR(s)/R(s)為

(2.40)

根據線性系統的疊加原理可知,參考輸入量R(s)和擾動量N(s)同時作用于系統時,系統的響應(總輸出)C(s)為

2.3.4結構圖的簡化和變換規(guī)則

1.串聯環(huán)節(jié)的簡化幾個環(huán)節(jié)的結構圖首尾連接,前一個結構圖的輸出是后一個結構圖的輸入,稱這種結構為串聯環(huán)節(jié)。圖2-11(a)是三個環(huán)節(jié)串聯的結構。

根據結構圖可知:消去中間變量X1(s)和X2(s)得

所以此系統的等效傳遞函數為

圖

2-11三個環(huán)節(jié)串聯

上述結論可以推廣到任意個環(huán)節(jié)的串聯，即n個環(huán)節(jié)(每個環(huán)節(jié)的傳遞函數為Gi(s),i=1,2,…,n)串聯的等效傳遞函數等于n個傳遞函數相乘。G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)(2.42)

2.并聯環(huán)節(jié)的簡化兩個或多個環(huán)節(jié)具有同一個輸入信號,而以各自環(huán)節(jié)輸出信號的代數和作為總的輸出信號,這種結構稱為并聯環(huán)節(jié)。圖2-12(a)表示三個環(huán)節(jié)并聯的結構,根據結構圖可知:所以,整個系統的等效傳遞函數為

(2.43)圖

2-12三個環(huán)節(jié)并聯

3.反饋回路的簡化圖2-13(a)表示一個基本的反饋回路。根據2.3.2節(jié)的分析和得到的閉環(huán)傳遞函數形式可以推出

(2.44)所以,圖2-13(a)所表示的反饋系統結構圖可簡化為圖2-13(b)。圖

2-13基本反饋回路的簡化

4.相加點和分支點的移動

1)相加點前移圖2-14(a)和圖2-14(b)分別表示相加點前移變換前后的系統結構圖。

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關系:圖

2-14相加點前移

2)相加點后移

圖

2-15相加點后移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關系：

3)分支點前移

圖

2-16分支點前移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關系：

C(s)=R(s)G(s)4)分支點后移

圖

2-17分支點后移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關系：

5)相鄰相加點之間的移動如圖2-18所示,相鄰相加點之間可以互換位置而不改變該結構輸入和輸出信號之間的關系。

D=A±B±C=A±C±B

并且,這個結論對于多個相鄰的相加點也適用。

圖

2-18相加點之間的移動

6)相鄰分支點之間的移動從一個信號流線上無論分出多少條信號線,它們都代表同一個信號。所以在一條信號流線上的各分支點之間可以隨意改變位置,不必作任何其他改動(如圖2-19所示)。

圖

2-19相鄰分支點的移動

【例2-9】

試簡化圖2-20系統的結構圖,并求系統的傳遞函數C(s)/R(s)。

圖

2-20系統結構圖

解在圖2-20中,如果不移動相加點或分支點的位置就無法進行結構圖的等效運算。采用以下步驟簡化原圖:①利用分支點后移規(guī)則,將G3(s)和G4(s)之間的分支點移到G4(s)方框的輸出端(注意不宜前移),變換結果如圖2-21(a)所示;②將G3(s)、G4(s)和H3(s)組成的內反饋回路簡化(如圖2-21(b)所示),其等效傳遞函數為③再將G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)組成的內反饋回路簡化(見圖2-21(c))。

其等效傳遞函數為

④將G1(s)、G23(s)和H1(s)組成的反饋回路簡化便求得系統的傳遞函數為

圖

2-21系統結構圖簡化

應當指出,在結構圖簡化過程中,兩個相鄰的相加點和分支點不能輕易交換?？傊?根據實際系統中各環(huán)節(jié)(子系統)的結構圖和信息流向,可建立系統的結構圖。在確定系統的輸入量和輸出量后,經過對系統結構圖的簡化和運算,就能求出系統的傳遞函數。

這是經典控制理論中利用傳遞函數來建立系統數學模型的基本方法。

圖

2-22信號流圖2.4信

號

流

圖

1.信號流圖中的術語下面結合圖2-23介紹信號流圖的有關術語。輸入節(jié)點(源)

僅具有輸出支路的節(jié)點。如圖2-23中的x1。

圖

2-23信號流圖

輸出節(jié)點(阱)

僅有輸入支路的節(jié)點。有時信號流圖中沒有一個節(jié)點是僅具有輸入支路的。我們只要定義信號流圖中任一變量為輸出變量,然后從該節(jié)點變量引出一條增益為1的支路,即可形成一輸出節(jié)點,如圖2-23中的x6。

混合節(jié)點既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如圖2-23中的x2,x3,x4,x5。

通道沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑。如果通道與任一節(jié)點相交不多于一次,就叫開通道。如果通道的終點就是起點,并且與任何其他節(jié)點相交不多于一次,就稱作閉通道。

前向通道如果從輸入節(jié)點(源)到輸出節(jié)點(阱)的通道上,通過任何節(jié)點不多于一次,則該通道叫前向通道。如

前向通道增益前向通道上各支路增益之乘積,用Pk表示?；芈菲瘘c和終點在同一節(jié)點,并與其它節(jié)點相遇僅一次的通路,也就是閉合通道。以下是圖2-23中的一些回路:

回路增益回路中所有支路的乘積,用La表示。

不接觸回路回路之間沒有公共節(jié)點時,這種回路叫做不接觸回路。在信號流圖中,可以有兩個或兩個以上的不接觸回路。

例如：

就是不接觸回路的例子。上述定義可以類推到系統的結構圖中,從而采用梅遜公式(后面將介紹)求取由結構圖表示的系統的閉環(huán)傳遞函數。

2.信號流圖的性質

(1)信號流圖適用于線性系統。

(2)支路表示一個信號對另一個信號的函數關系,信號只能沿支路上的箭頭指向傳遞。

(3)在節(jié)點上可以把所有輸入支路的信號疊加,并把相加后的信號送到所有的輸出支路。

(4)具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點,通過增加一個具有單位增益的支路可以把它作為輸出節(jié)點來處理。

(5)對于一個給定的系統,信號流圖不是唯一的。由于描述同一個系統的方程可以表示為不同的形式,因此可以畫出不同的信號流程圖。

3.梅遜公式用梅遜公式可以直接求信號流圖從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的增益,其表達式為

(2.45)式中,

P——系統總增益(對于控制系統的結構圖而言,就是輸入到輸出的傳遞函數);

k——前向通道數目;

Pk——第k條前向通道的增益;Δ——信號流圖的特征式,它是信號流圖所表示的方程組的系數矩陣的行列式。在同一個信號流圖中不論求圖中任何一對節(jié)點之間的增益,其分母總是Δ,變化的只是其分子。它可以通過下面的表達式計算:其中,∑L(1)——所有不同回路增益乘積之和;∑L(2)——所有任意兩個互不接觸回路增益乘積之和;∑L(3)——所有任意三個互不接觸回路增益乘積之和;∑L(m)

——所有任意m個不接觸回路增益乘積之和;Δk——信號流圖中除去與第k條前向通道Pk相接觸的支路和節(jié)點后余下的信號流圖的特征式,稱為Pk的余因式。

【例2-10】

系統的方塊圖如圖2-24所示,試用梅遜公式求系統的傳遞函數C(s)/R(s)。

有三個獨立回路：

解

從圖中可以看出,該框圖只有一個前向通道,其增益為

沒有兩個及兩個以上的互相獨立回路。圖2-24系統的方塊圖所以,特征式Δ為

連接輸入節(jié)點和輸出節(jié)點的前向通道的余因式Δ1,可以通過除去與該通道接觸的回路的方法得到。因為通道P1與三個回路都接觸,所以有

Δ1=1

因此,輸入量R(s)和輸出量C(s)之間的總增益或閉環(huán)傳遞函數為

【例2-11】

利用梅遜公式確定圖2-8(c)所表示的系統的傳遞函數Φ(s)=U2(s)/U1(s)及ΦE(s)=E(s)/U1(s)。

解

該圖有三個反饋回路:回路1和回路3不接觸,所以有

以U2(s)作為輸出信號時,該系統只有一條前向通道。

且有

該前向通道與各回路都有接觸,所以

Δ1=1故

以E(s)作為輸出信號時,該系統也只有一條前向通道。

且

P1=1這條前向通道與回路1相接觸,故

所以

總之,當求解系統的傳遞函數時,簡單的系統可以直接用結構圖運算,既清楚又方便;復雜的系統可以將其看作信號流圖后,再利用梅遜公式計算。

需要強調的是,在利用梅遜公式時,要考慮周到,不能遺漏任何應當計算的回路和前向通道。

2.5線性系統數學模型的MATLAB實現

1.MATLAB建立系統數學模型的方法下面通過一些示例說明MATLAB建立線性定常系統三種數學模型的方法。

【例2-12】若給定系統的傳遞函數為

試用MATLAB語句表示該傳遞函數。

解輸入上述傳遞函數的MATLAB程序如下:%ex-212num=［12241220］;den=［24622］;

G=tf(num,den)程序第一行是注釋語句,不執(zhí)行;第二、三行分別按降冪順序輸入給定傳遞函數的分子和分母多項式的系數;第四行建立系統的傳遞函數模型。運行結果顯示

Transferfunction:12s^3+24s^2+12s+20-------------------------------------2s^4+4s^3+6s^2+2s+2注意，如果給定的分子或分母多項式缺項,則所缺項的系數用0補充,例如一個分子多項式為3s2＋1,則相應的MATLAB輸入為

num=［301］;如果分子或分母多項式是多個因子的乘積,則可以調用MATLAB提供的多項式乘法處理函數conv()。

【例2-13】已知系統的傳遞函數為

試用MATLAB實現此傳遞函數。

解輸入上述傳遞函數的MATLAB程序如下:%ex-213num=4*conv(［12］,conv(［166］,［166］));den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([1,1],[1325]))));G=tf(num,den)程序中的conv()表示兩個多項式的乘法,并且可以嵌套。運行結果為

Transferfunction:4s^5+56s^4+288s^3+672s^2+720s+288-------------------------------------------s^7+6s^6+14s^5+21s^4+24s^3+17s^2+5s

【例2-14】已知系統的零極點分布和增益,用MATLAB建立系統模型。系統零點為-2和-3,系統極點為-3,-4+j5和-4-j5,增益為10。

解用MATLAB建立上述系統零極點增益模型的程序如下:%ex-214z