2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練50拋物線含解析文新人教版

PAGE專練50拋物線命題范圍：拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡潔的幾何性質(zhì)[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為()A．1B．2C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)2．[2024·全國卷Ⅲ]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)3．動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(2,1)的距離和到直線l：3x＋4y－10＝0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為()A．拋物線B．直線C．線段D．射線4．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()A．－4B．4C．－2D．25．若拋物線y2＝2px(p>0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為10，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．4B．8C．16D．326．AB是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)弦，且|AB|＝4，則AB的中點(diǎn)到x軸的距離為()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,2)D.eq\f(7,4)7．[2024·天津卷]已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)8．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2＝2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．3D．－39．[2024·湖南邵陽高三測試]若拋物線C：y2＝4x上一點(diǎn)M(a，b)到焦點(diǎn)F的距離為5，以M為圓心且過點(diǎn)F的圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()A．4B．6C．2eq\r(10)D．8二、填空題10．已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________．11．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|PQ|＝________.12．已知直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為________．[實(shí)力提升]13．[2024·吉大附中高三測試]拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右焦點(diǎn)重合，又P為兩曲線的一個(gè)公共交點(diǎn)，且|PF|＝5，則雙曲線的實(shí)軸長為()A．1B．2C.eq\r(7)－3D．614．[2024·湖南長沙高三測試]拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則△ABM的周長為()A.eq\f(71,12)＋eq\r(26)B．9＋eq\r(26)C．9＋eq\r(10)D.eq\f(83,12)＋eq\r(26)15．[2024·張家界高三測試]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，拋物線C有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，若等邊△PMF的面積為4eq\r(3)，則p＝________.16．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸上方)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝________.專練50拋物線1．By＝eq\f(1,4)x2可化為x2＝4y，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(1,2)×4＝2.2．B由拋物線的對稱性，不妨設(shè)D在x軸上方、E在x軸下方．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y2＝2px))得D(2,2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，∵OD⊥OE，∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故選B.3．B∵F(2,1)在直線l：3x＋4y－10＝0上，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為過點(diǎn)F且與直線l垂直的直線．4．B∵eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，p＝4.5．B由拋物線的定義知，6＋eq\f(p,2)＝10，eq\f(p,2)＝4，p＝8，∴拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝8.6．D如圖為x2＝y(tǒng)的圖象，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，l為x2＝y(tǒng)的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知AA1＝AF，BB1＝BF，∴AA1＋BB1＝AF＋BF＝AB＝4，由圖可知AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(AA1＋BB1,2)＝2，∴AB的中點(diǎn)到x軸的距離為2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).7．D本題考查雙曲線的離心率，拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，∵|AB|＝4|OF|＝4，不妨設(shè)A在B上方，∴A(－1,2)，又點(diǎn)A在直線y＝－eq\f(b,a)x上，∴2＝－eq\f(b,a)·(－1)，∴eq\f(b,a)＝2，∴雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).故選D.8．B當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1×(－1)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y2＝2x，))得k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0由韋達(dá)定理得x1＋x2＝eq\f(k2＋2,k2)，x1x2＝eq\f(1,4)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)))＝(1＋k2)x1x2－eq\f(1,2)k2(x1＋x2)＋eq\f(k2,4)＝－eq\f(3,4).9．B由于M到焦點(diǎn)的距離為5，故到準(zhǔn)線x＝－1的距離也是5，故a＝4，代入拋物線得y2＝20，解得b＝±4，不妨設(shè)b＝4，故圓心為(4,4)，半徑為5，圓的方程為(x－4)2＋(y－4)2＝25，令x＝0，解得y＝1,7，故|AB|＝7－1＝6.故選B.10．y2＝－8x或x2＝－y解析：由題可知，拋物線開口向下或向左，設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，x2＝－2py(p>0)，將P(－2，－4)代入，分別得方程y2＝－8x或x2＝－y.11．8解析：|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.12．0或1解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，滿意題意；若k≠0，則Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.綜上得k＝0或k＝1.13．B如圖所示，F(xiàn)(2,0)，MT的方程為x＝－2，|PF|＝|PM|＝5，所以|PN|＝3，作FQ⊥PM，則|PQ|＝1，在Rt△PFQ中，|FQ|＝eq\r(|PF|2－|PQ|2)＝eq\r(25－1)＝2eq\r(6)，所以P(3,2eq\r(6))將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(24,b2)＝1，,c＝2，,c2＝a2＋b2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，,c＝2，))所以實(shí)軸2a＝2，所以選B.14．B令y＝1，得x＝eq\f(1,4)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，代入y2＝4x.消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.則xAxB＝1，所以xB＝eq\f(1,xA)＝4.|AB|＝xA＋xB＋p＝eq\f(25,4).將x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4)．故|MB|＝eq\r(4－32＋－4－12)＝eq\r(26).故△ABM的周長為|MA|＋|MB|＋|AB|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,4)))＋eq\r(26)＋eq\f(25,4)＝9＋eq\r(26).故選B.15．2解析：設(shè)準(zhǔn)線l和x軸交于N點(diǎn)，PM平行于x軸，∠PMF＝∠MFN＝60°，由拋物線的定義得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故eq\f(\r(3),4)(2p)2＝4eq\r(3)，∴p＝2.故答案為2.16．3解