專題05 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)（12大考點(diǎn)知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）

專題05橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距，焦距的一半叫作半焦距。2、橢圓定義的集合語言表示：注意：定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當(dāng)時(shí)，其軌跡為線段；②當(dāng)時(shí)，其軌跡不存在．3、橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”。一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識(shí)，建立AF1+AF（設(shè)∠F1A性質(zhì)1：AF1+A拓展：?AF1?ABF1性質(zhì)2：4c知識(shí)點(diǎn)2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程（1）以經(jīng)過點(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1.（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為（＞0）.焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，圖1又設(shè)M與的距離的和等于常數(shù).圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因?yàn)椋裕?）兩邊平方得，整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應(yīng)有，故設(shè)，就有2、橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)比知識(shí)點(diǎn)3橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍，，對(duì)稱性關(guān)于軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)：；短軸長(zhǎng)：長(zhǎng)軸長(zhǎng)：；短軸長(zhǎng)：頂點(diǎn)離心率離心率越接近1，則橢圓越圓；離心率越接近0，則橢圓越扁通徑通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)軸的橢圓的弦長(zhǎng)通徑的大小：知識(shí)點(diǎn)4直線與橢圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)在橢圓上點(diǎn)在橢圓外2、直線與橢圓的位置關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系：聯(lián)立消去y得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．（2）解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：=1\*GB3①得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；=2\*GB3②聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；=3\*GB3③寫出根與系數(shù)的關(guān)系；=4\*GB3④將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的形式；=5\*GB3⑤代入求解．3、直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式（1）定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長(zhǎng)的方法=1\*GB3①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：4、解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，則有。考點(diǎn)1橢圓定義的辨析【例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．線段C．不存在D．橢圓或線段【變式1-1】（2022秋·北京·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．線段C．橢圓或線段D．雙曲線【變式1-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．線段B．圓C．橢圓D．直線【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（）A．B．C．1D．3【變式1-4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，則的值可能是（）A．B．3C．6D．8考點(diǎn)2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2022春·四川遂寧·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓有相同的離心率的橢圓方程為（）A．B．C．D．【變式2-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）．A．B．C．D．【變式2-2】（2023秋·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則橢圓的方程為（）A．B．C．D．【變式2-3】（2023秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10；（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點(diǎn).【變式2-4】（2023秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為；（2）x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為.考點(diǎn)3根據(jù)橢圓方程求參數(shù)【例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)充分但不必要條件是（）A．B．C．D．【變式3-1】（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的可能取值為（）A．1B．C．2D．3【變式3-2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【變式3-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若曲線是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，則的取值范圍為．【變式3-4】（2023秋·安徽淮南·高二校考階段練習(xí)）對(duì)于方程，（1）若該方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若該方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若該方程表示橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)4橢圓的焦點(diǎn)三角形應(yīng)用【例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為.【變式4-1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（）A．B．C．4D．【變式4-2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若，則的面積為（）A．B．C．D．【變式4-4】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為考點(diǎn)5橢圓中距離和差的最值【例5】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）已知為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A．B．1C．D．【變式5-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別為（）A．8，11B．8，12C．6，10D．6，11【變式5-2】（2023春·河南焦作·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓C：，，為橢圓的左右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），則的范圍為．【變式5-3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【變式5-4】（2023春·安徽六安·高二?？奸_學(xué)考試）若點(diǎn)P在橢圓C1：＋y2＝1上，C1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，則的最小值為．考點(diǎn)6與橢圓相關(guān)的軌跡問題【例6】（2023秋·高二單元測(cè)試）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)，過任一焦點(diǎn)向的外角平分線作垂線，垂足為P，則P點(diǎn)的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【變式6-1】（2023秋·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為【變式6-2】（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知圓與圓，圓與圓均相切，則圓的圓心的軌跡中包含了哪條曲線（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【變式6-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【變式6-4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角的角平分線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程.考點(diǎn)7求橢圓離心率的值【例7】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？奸_學(xué)考試）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)P，若，則橢圓E的離心率為【變式7-2】（2023秋·吉林四平·高二統(tǒng)考期中）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上（點(diǎn)異于A，兩點(diǎn)），線段與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【變式7-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（）A．B．C．D．【變式7-4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，且存在點(diǎn)，使得（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．考點(diǎn)8求橢圓離心率的取值范圍【例8】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓和圓，（為橢圓的半焦距），對(duì)任意的恒有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式8-1】（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2022秋·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓與橢圓，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線的夾角為，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式8-3】（2022秋·江西上饒·高二階段練習(xí)）設(shè)?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率的取值范圍是【變式8-4】（2023秋·高二單元測(cè)試）若橢圓上存在一點(diǎn)M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)），則橢圓的離心率e的取值范圍為.考點(diǎn)9直線與橢圓位置關(guān)系判斷【例9】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相離B．相切C．相交D．無法確定【變式9-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．無法確定【變式9-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線：與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．相切或相交【變式9-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓，直線，那么直線與橢圓位置關(guān)系（）A．相交B．相離C．相切D．不確定【變式9-4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：與橢圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．考點(diǎn)10直線與橢圓相切應(yīng)用【例10】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與橢圓相切，則斜率的值是（）A．B．C．±D．±【變式10-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)作橢圓的切線，則切線方程為.【變式10-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【變式10-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓：，直線l：，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，則使得點(diǎn)P到直線l的距離為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【變式10-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線，則橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為（）A．B．C．D．考點(diǎn)11橢圓的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法【例11】（2023秋·寧夏銀川·高二校考期中）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（）A．B．C．D．【變式11-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A．B．C．D．【變式11-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程為.【變式11-3】（2022秋·浙江嘉興·高二校考期中）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為.【變式11-4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)的軌跡．考點(diǎn)12直線與橢圓相交弦長(zhǎng)【例12】（2022秋·四川樂山·高二?？计谥校┻^橢圓的左焦點(diǎn)作斜率為1的弦，則弦的長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【變式12-1】（2023秋·重慶沙坪壩·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).【變式12-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的最大值.【變式12-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：與橢圓有相同的焦點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長(zhǎng)度為1．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)m的值．【變式12-4】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是．（1）求橢圓的方程；（2）傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知，求直線的一般式方程．1．（2023秋·江西·高二?？茧A段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）A．線段B．圓C．橢圓D．不存在2．（2023秋·河南·高二?？计谥校┮阎獧E圓C過點(diǎn)，且離心率為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．或D．或3．（2023秋·江西撫州·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，過作直線與交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A．24B．20C．16D．124．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．5．（2023秋·湖南株洲·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)滿足的最小值為（）A．B．C．D．前三個(gè)答案都不對(duì)6．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．7．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若定點(diǎn)，滿足，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓B．若定點(diǎn)，滿足，動(dòng)