專題08 等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和（12大考點(diǎn)知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）（【含答案解析】）

專題08等差數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的定義1、文字語言：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．2、符號(hào)語言：若，則數(shù)列為等差數(shù)列（通?？煞Q為AP數(shù)列）【注意】（1）“從第2項(xiàng)起”是指第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合．（2）“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求是指“相鄰且后項(xiàng)減去前項(xiàng)”，強(qiáng)調(diào)了：①作差的順序；②這兩項(xiàng)必須相鄰．（3）定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項(xiàng)減去前一項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)，否則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的通項(xiàng)與性質(zhì)1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則通項(xiàng)公式為：2、等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．這三個(gè)數(shù)滿足的關(guān)系式是A＝eq\f(a＋b,2).3、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則.特別地，當(dāng)m＋n＝2k（m，n，k∈N*）時(shí)，.（2）對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即（3）若是公差為d的等差數(shù)列，則①（c為任一常數(shù)）是公差為d的等差數(shù)列；②（c為任一常數(shù)）是公差為cd的等差數(shù)列；③（k為常數(shù)，k∈N*）是公差為2d的等差數(shù)列．（4）若，分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列(p，q是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列．（5）通項(xiàng)公式的推廣：(n，m∈N*)．知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與性質(zhì)1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)選用公式2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，為其前n項(xiàng)和，等差數(shù)列的依次項(xiàng)之和，，，…組成公差為的等差數(shù)列；（2）數(shù)列是等差數(shù)列?(a，b為常數(shù))?數(shù)列為等差數(shù)列，公差為；（3）若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d；①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，，，；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，，.（4）在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，整理成關(guān)于n的函數(shù)可得.當(dāng)時(shí)，關(guān)于n的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本量計(jì)算【例1】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的公差是（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又，所?故選：D【變式1-1】（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）數(shù)列為等差數(shù)列，若,，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，所以.故選：B.【變式1-2】（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A．240B．180C．120D．60【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，.故選：A【變式1-3】（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．B．C．2022D．2023【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即，由，則，即，由，則，即，將代入，解得，.故選：A.【變式1-4】（2023·江西新余·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等差數(shù)列的公差（）A．3B．2C．D．4【答案】B【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，于是，解得，所以等差數(shù)列的公差.故選：B考點(diǎn)2等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)應(yīng)用【例2】（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則的值為（）A．20B．15C．10D．5【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，，則，因此．故選：A．【變式2-1】（2023·寧夏銀川·高二銀川二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則（）A．24B．36C．48D．64【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由.故選：B.【變式2-2】（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（）A．4B．5C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.【變式2-3】（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)校考期中）在等差數(shù)列中，，，則（）A．39B．76C．78D．117【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，則.故選：C.【變式2-4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則.【答案】20【解析】在等差數(shù)列中，，所以，所以.考點(diǎn)3等差數(shù)列單調(diào)性及應(yīng)用【例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知等差數(shù)列的公差,則下列四個(gè)命題中真命題為（）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】AD【解析】對(duì)于A，等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列，正確；對(duì)于B，不妨取，則不是遞增數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不妨取，則不是遞增數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于等差數(shù)列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：AD【變式3-1】（2023·安徽馬鞍山·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令公差為且的無窮等差數(shù)列，且，若為遞減數(shù)列，則，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)，不論為何值，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，充分性成立；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，由于，即不為常數(shù)列，故單調(diào)遞減，即，所以為遞減數(shù)列，必要性成立；所以“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C【變式3-2】（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．D．【答案】AD【解析】，而，所以，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：AD．【變式3-3】（2023·河北衡水·高二安平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列中最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng)．A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】由題意，可得，所以，且，又由等差數(shù)列的公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，前6項(xiàng)均為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，數(shù)列的最大項(xiàng)為，是數(shù)列中的最小項(xiàng)，且，所以數(shù)列中最大的項(xiàng)為，即第6項(xiàng).故選：C.考點(diǎn)4增減項(xiàng)構(gòu)造等差新數(shù)列【例4】（2023·江西·高二統(tǒng)考期末）在和兩個(gè)實(shí)數(shù)之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使數(shù)列為等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的公差為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意等差數(shù)列中共有項(xiàng)，設(shè)公差為，則，所以.故選：B【變式4-1】（2023·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入4個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，則（）A．4043B．4044C．4045D．4046【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知，，，，故，故，則．故選：C.【變式4-2】（2023·上?！じ叨？计谥校┰诤椭g插入個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，后項(xiàng)的和之比為，則插入數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)【答案】B【解析】設(shè)插入的這個(gè)數(shù)分別記為、、、，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，這個(gè)數(shù)列的公差為，這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和為，這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和與后項(xiàng)的和之比為，則，即，解得，所有，插入數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B.【變式4-3】（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，在和之間插入個(gè)形成一個(gè)新數(shù)列，則的前2024項(xiàng)的和為.【答案】7891【解析】在數(shù)列中，在的前面的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，即在的前面的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2015，又在與之間共有63個(gè)2，所有數(shù)列的前2024項(xiàng)中包含數(shù)列的項(xiàng)有63項(xiàng)，中間插入2的數(shù)量為，所有數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.【變式4-4】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列，現(xiàn)在其每相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)數(shù)，使之成為一個(gè)新的等差數(shù)列．（1）求新數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）16是新數(shù)列中的項(xiàng)嗎？若是，求出是第幾項(xiàng)，若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）不是【解析】（1）設(shè)已知的等差數(shù)列為，易知，則，則，由題意知：，則.（2）令，故不是新數(shù)列中的項(xiàng).考點(diǎn)5等差數(shù)列的片段和性質(zhì)【例5】（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】12【解析】設(shè)，則，因?yàn)橐渤傻炔顢?shù)列，所以，即，即，所以.【變式5-1】（2023·甘肅酒泉·高三酒泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.【答案】16【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為,所以,,,成等差數(shù)列,所以，即解得，所以，所以，解得.【變式5-2】（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若等差數(shù)列的前m項(xiàng)的和為20，前3m項(xiàng)的和為90，則它的前2m項(xiàng)的和為.【答案】50【解析】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：為等差數(shù)列，所以，則，所以.【變式5-3】（2022·陜西西安·高二西光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A．10B．20C．30D．15【答案】A【解析】由等差數(shù)列有成等差數(shù)列，設(shè)為d，則，故.故選：A【變式5-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則.【答案】200【解析】依題意，，，，…，依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為.又，，因此，解得，所以.考點(diǎn)6等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值【例6】（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則等于（）A．10B．100C．110D．120【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，則，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2018，，∴數(shù)列{}的公差d，首項(xiàng)為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．【變式6-2】（2023·河南·高三安陽縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，.故選：D.【變式6-3】（2023·江蘇常州·高二奔牛高級(jí)中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中,,其前項(xiàng)和為,則.【答案】110【解析】由題知為等差數(shù)列,記數(shù)列,所以,由,可知,所以是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以,所以,所以.【變式6-4】（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：；，，解得：，即的取值范圍為.考點(diǎn)7兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值【例7】（2023·黑龍江大慶·高二?？计谀┑炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，如果，的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，，又，所以，故選：C.【變式7-1】（2023·福建寧德·高二寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知兩個(gè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列求和公式可得，又因?yàn)椋?故選：ACD.【變式7-2】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為與,且,則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列、都是等差數(shù)列,所以,又，，故，，即有,在中，令，得，故.故選：D.【變式7-3】（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為，，若，則等于（）A．2B．C．1D．【答案】D【解析】因?yàn)?，為等差?shù)列，則，即.故選：D.【變式7-4】（2023·福建南平·高二福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，若，則【答案】【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，所以，由得，得，所以.考點(diǎn)8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)和性質(zhì)【例8】（2023·甘肅定西·高二臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列共有21項(xiàng)，若奇數(shù)項(xiàng)的和為110，則偶數(shù)項(xiàng)的和為（）A．100B．105C．90D．95【答案】A【解析】由，有，偶數(shù)項(xiàng)的和為100．故選：A【變式8-1】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為其中奇數(shù)項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和為則()A．B．C．D．【答案】A【解析】項(xiàng)數(shù)為的中奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),其和為項(xiàng)數(shù)為的中偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),其和為所以解得故選:A.【變式8-2】（2022·江蘇蘇州·高二蘇州第十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)之和為84,奇數(shù)項(xiàng)之和為51,最后一項(xiàng)與第一項(xiàng)之差為63,則該數(shù)列公差為.【答案】3【解析】由題知不妨設(shè)等差數(shù)列為,首項(xiàng)為,公差為,項(xiàng)數(shù)為，故有，兩式相減，因?yàn)椋?，?【變式8-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知公差，且，求的值．【答案】【解析】，，.【變式8-4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求下列兩題：（1）等差數(shù)列前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求該數(shù)列的公差；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，求該數(shù)列的中間項(xiàng)．【答案】（1）5；（2）11．【解析】（1）由題意得：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為則由題意得：，解得：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：解得：故該數(shù)列的公差為.（2）設(shè)等差數(shù)列中共有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)由項(xiàng)，中間項(xiàng)為第項(xiàng)，記作，奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，可知又，所以，解得：又因?yàn)椋运赃@個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)為，共有項(xiàng).考點(diǎn)9等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值【例9】（2022·江西新余·統(tǒng)考二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則當(dāng)（）時(shí)，最大.A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，根?jù)等差數(shù)列性質(zhì)，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，即；所以得且，所以等差?shù)列為遞減的數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，最大.故選：B.【變式9-1】（2023·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則取得最大值時(shí)，n的值是（）A．23B．13C．14D．12【答案】D【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，，即，所以，，因?yàn)?，所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：D.【變式9-2】（2023·福建寧德·高二寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且滿足，則對(duì)描述正確的有（）A．是唯一最大值B．是最大值C．D．是最小值【答案】BC【解析】由得，而則，所以是的最大值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.由于，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以沒有最小值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC【變式9-3】（2023·貴州貴陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差.（1）求的表達(dá)式（2）是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）當(dāng)或時(shí)取得最大值，最大值為.【解析】（1）等差數(shù)列中，若，公差，則有.（2），又，∴當(dāng)或時(shí)取得最大值，最大值為.【變式9-4】（2023·江蘇蘇州·高二沙洲中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（多選）已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，僅得最大值.記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，（）A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值D．若，，則當(dāng)或14時(shí)，取得最大值【答案】BD【解析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對(duì)于A，且時(shí)取最大值，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則時(shí)，，時(shí)，.，則，，，，前14項(xiàng)和最大，B項(xiàng)正確；對(duì)于C，，則，同理，，，前13項(xiàng)和最大，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，得，由題等差數(shù)列在時(shí)，，時(shí)，，所以，，，所以或14時(shí)，前k項(xiàng)和取最大值，D項(xiàng)正確；故選：BD.考點(diǎn)10含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和【例10】（2023·天津·高二天津市咸水沽第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，則等于（）A．445B．765C．1080D．3105【答案】B【解析】依題意由可得為定值，因此可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，即可得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B【變式10-1】（2023·湖北黃岡·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，設(shè)的前項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）求．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.時(shí)，上式亦成立.所以.（2）又，所以時(shí)，，所以.（3）當(dāng)時(shí)，所以.【變式10-2】（2023·福建三明·高二?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與；（2）求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，可得，又由，聯(lián)立方程組，解得，所以，.（2）由，解得，所以，則.【變式10-3】（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，由兩式相減，得，即，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得，，，即，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式10-4】（2023·江蘇無錫·高二無錫市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，公比，且，又與的等比中項(xiàng)為2.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)榕c的等比中項(xiàng)為2，所以，則，解得（舍去），所以，所以（舍去）所以；（2）由（1）得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，.考點(diǎn)11等差數(shù)列的判定與證明【例11】（2023·海南·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，.（1）求；（2）證明是等差數(shù)列.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和,則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因此（常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列.【變式11-1】（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）已知數(shù)列中，，，.（1）求的值；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）數(shù)列中，，，且，令，可得.（2）證明：由，當(dāng)時(shí)，可得，則，又由，，可得，所以是公差為的等差數(shù)列，即數(shù)列是公差為4等差數(shù)列.（3）由（2）知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，可得，所以.即數(shù)列的通項(xiàng)公式為【變式11-2】（2023·江蘇鹽城·高二新豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，由得，所以，又，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不符合故【變式11-3】（2023·四川眉山·高二仁壽一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列等差數(shù)列.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)，其中，因此，則，數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列是首項(xiàng)為12，公差為的等差數(shù)列.【變式11-4】（2023·陜西咸陽·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.（1）計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)；（2）求證：是等差數(shù)列；（3）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1），，，；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）數(shù)列中，，，則，，，所以數(shù)列的前4項(xiàng)為，，，．（2）由（1）知，，將等號(hào)兩端取倒數(shù)得，，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）知，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.考點(diǎn)12等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例12】（2023·福建廈門·高二廈門集美中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這些節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，則芒種日影長(zhǎng)為（

）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】C【解析】從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種的日影長(zhǎng)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，即，解得，又因?yàn)槎痢⒘⒋?、春分日影長(zhǎng)之和為尺，即，可得，所以，數(shù)列的公差為，所以，即芒種日影長(zhǎng)為尺.故選：C.【變式12-1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由n，和d求各項(xiàng)的問題，如九兒?jiǎn)柤赘瑁骸耙粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長(zhǎng)排來差三歲，共年二百又零七．借問長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”則該問題中老人的長(zhǎng)子的歲數(shù)為（）A．35B．32C．29D．26【答案】A【解析】根據(jù)題意，九個(gè)兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)長(zhǎng)子的歲數(shù)為，則，解得．故選：A【變式12-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二邗江中學(xué)校考期中）現(xiàn)有一張正方形剪紙，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再從中任選一張，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開，若經(jīng)過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為（）A．33B．34C．36D．37【答案】B【解析】設(shè)沒剪之前正方形的邊數(shù)為，即，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，，然后無論是選擇三角形或四邊形，剪一次后邊數(shù)都增加3，所以可知次剪紙得到的多邊形紙片的邊數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，即，故經(jīng)過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為，故選：B.【變式12-3】（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升.”在該問題中前7天共分發(fā)多少升大米？（）A．1170B．1440C．1785D．1772【答案】C【解析】由題意得，每天分發(fā)的大米升數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，記第一天共分發(fā)大米為(升)，則前7天共分發(fā)大米（升）.故選：C.【變式12-4】（2023·福建福州·高二?？茧A段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問題：將到這個(gè)自然數(shù)中被除余且被除余的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為．【答案】【解析】由題知，滿足上述條件的數(shù)列為，該數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，則，解得，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.1．（2023·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，解得，，解得，故等差數(shù)列的公差為，故.故選：C2．（2023·山東泰安·高二泰安第二中學(xué)校考階段練習(xí)）首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，由從第項(xiàng)起開始為正數(shù)，所以，即，解得，故D正確.故選：D.3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A．26B．27C．28D．29【答案】B【解析】由題意得成等差數(shù)列，∴，又，∴，解得.故選：B.4．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某中學(xué)的募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了（）A．20天B．25天C．30天D．35天【答案】B【解析】由題意可知，每一天收到的捐款成等差數(shù)列，首項(xiàng)為20，公差為15，設(shè)這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了n天，則，得（負(fù)值舍去）.故選：B.5．（2023·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，都有，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，且，所以.故選：D.6．（2023·湖北黃岡·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，，由，得，即，而，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，，所以.故選：C7．（2023·海南?？凇じ叨？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（）A．10B．11C．12D．13【答案】C【解析】由，得，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)椋?，所以，又，，所以，，，且，，所以最?故選：C.8．（2023·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前101項(xiàng)中能被整除的項(xiàng)數(shù)為（）A．42B．41C．40D．39【答案】