極限的概念講解

第二節(jié)極限的概念“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒崭拍畹囊胍唬當(dāng)?shù)列極限正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)1．?dāng)?shù)列極限的描述性定義如果這樣的常數(shù)不存在,則稱數(shù)列{xn}沒有極限,或稱數(shù)列{xn}發(fā)散．?dāng)?shù)列的收斂或發(fā)散的性質(zhì)統(tǒng)稱為數(shù)列的斂散性．注:

例如對(duì)于數(shù)列2.數(shù)列極限的ε－N定義即:

ε＞0，N，當(dāng)n＞N時(shí)，有|xn－a|＜ε恒成立

如果不存在這樣的常數(shù)a,就說數(shù)列{xn}沒有極限，或者說數(shù)列{xn}是發(fā)散的．習(xí)慣上也說不存在．注：（1）ε的二重性：任意性和固定性．（2）N的相應(yīng)性．幾何解釋:其中（3）幾何解釋:例2.2解說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).例2.3解

上面我們討論了數(shù)列的極限.而我們又知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)——定義在正整數(shù)集上的函數(shù).那么一般函數(shù)的極限又應(yīng)該如何定義呢？以下我們將全面引入函數(shù)極限的定義.二．函數(shù)極限

1．自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限引例考察函數(shù)是一定值,可以看到,當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于常數(shù)5,此時(shí)我們說當(dāng)時(shí),函數(shù)的極限是5，并記作更一般地我們有下面定義:從圖中函數(shù)極限的描述性定義：或定義：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)則稱是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,并記作若這樣的常數(shù)不存在,則說當(dāng)時(shí)函數(shù)沒有極限.例設(shè)函數(shù)即函數(shù)在點(diǎn)

處的極限與函數(shù)在這一點(diǎn)是否有定義或

為多少毫無關(guān)系,它所反映的是在則該點(diǎn)附近的變化趨勢(shì).注:是指x無限接近于

而永遠(yuǎn)不等于．但事實(shí)上,極限與的取值毫無關(guān)系.注:當(dāng)時(shí),無限接近于的含義是:當(dāng)

的過程中,與常數(shù)的接近程度沒有限制,即當(dāng)足夠小時(shí),可以任意小.

再以函數(shù)為例來說明這種現(xiàn)象.因函數(shù)極限的

定義注：定義中的ε刻劃f(x)與常數(shù)A的接近程度，δ刻劃x與x0的接近程度；ε是任意給定的，δ是ε隨而確定的．（3）定義中0＜|x－x0|表示x≠x0．（1）ε具有二重性：任意性和固定性．（4）幾何解釋:例2.6討論當(dāng)時(shí),函數(shù)的極限.解

函數(shù)無限接近于4，定理冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù),反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處，都有例如：單側(cè)極限例如,

如果當(dāng)從的左側(cè)趨向于時(shí),函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)則稱是函數(shù)在點(diǎn)處的左極限,記為或單側(cè)極限的描述性定義：

如果當(dāng)從的右側(cè)趨向于時(shí),函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)則稱是函數(shù)在點(diǎn)處的右極限,記為或左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.單側(cè)極限的定義：注：此定理常用于證明分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限不存在．定理例2.7解設(shè)左極限右極限∵左右極限存在但不相等,解∵左右極限存在但不相等,左右極限存在但不相等,例證2.自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義

設(shè)函數(shù)對(duì)絕對(duì)值充分大的均有定義,如果當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)（記作）,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)則稱為函數(shù)當(dāng)趨于無窮大時(shí)的極限,記作或函數(shù)極限的描述性定義：如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.函數(shù)極限的

定義增大,記為或

如果當(dāng)自變量朝軸正方向（反方向）絕對(duì)值無限對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無無窮）時(shí)的極限,記作限接近于常數(shù)則稱是當(dāng)趨于正無窮大（負(fù)或類似地可以定義另兩種情形:定理注：定義中的ε刻劃f(x)與常數(shù)A的接近程度，X刻劃|x|充分大的程度；ε是任意給定的，X是ε隨而確定的．（2）幾何解釋:例2.8因當(dāng)時(shí),故有

此時(shí)又稱直線為曲線的水平漸進(jìn)線.水平漸進(jìn)線例2.9求所以不存在.解曲線