力學(xué)中的數(shù)值方法題庫基礎(chǔ)版

方程求根的迭代法1.試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計算結(jié)果有4位有效數(shù)字：（1），（2），【解】 （1）設(shè)，則，牛頓迭代公式：，迭代計算過程見下列表。kxk|xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N 因?yàn)?，所以。?）設(shè)，則，牛頓迭代公式：，迭代計算過程見下列表。kxk|xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y 因?yàn)?，所以?.建立利用方程求的Newton迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因?yàn)楫?dāng)時，，故對于任何滿足，即的初值，上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列收斂于。4.用牛頓法求方程在[3,4]中的根的近似值（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。解：y次迭代公式k01233.53.643.633.636.用牛頓法求解方程的解，，收斂精度7.用牛頓法求方程在初始值鄰近的一個正根，要求。解:因?yàn)樗杂?，相?yīng)的迭代公式為取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因?yàn)?符合計算的精度要求,所以。插值部分已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010，利用拉格朗日型插值二次多項式求lg12的近似值【解】f(x)=lgx,f(10)=1,f(15)=1.1761,f(20)=1.3010

設(shè)x0=10,x1=15,x2=20,y0=1,y1=1.1761,y2=1.3010

則插值基本多項式為：

l0(x)=(x-15)(x-20)/(10-15)(10-20)=(x-15)(x-20)/50

l1(x)=(x-10)(x-20)/(15-10)(15-20)=-(x-10)(x-20)/25

l2(x)=(x-10)(x-15)/(20-10)(20-15)=(x-10)(x-15)/50

于是，拉格朗日二次插值多項式為：

P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)=(x-15)(x-20)/50-1.1761(x-10)(x-20)/25+1.3010(x-10)(x-15)

P1(12)=-(12-10)(12-20)/50-1.1761(12-10)(12-20)/25+1.3010(12-10)(12-15)=1.07662、（p.55，題12）給定節(jié)點(diǎn)，試分別對下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項：（1）；（2）【解】依題意，，拉格朗日余項公式為（1）→；（2）因?yàn)?，所?、（p.56，習(xí)題33）設(shè)分段多項式是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b，c的值.【解】依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)函數(shù)值連續(xù)： ，即： 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)： ，即： 解方程組（1）和（2），得，即 由于，所以S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。4、已知函數(shù)的一組數(shù)據(jù)，和，（1）求其分段線性插值函數(shù)；（2）計算的近似值，并根據(jù)余項表達(dá)式估計誤差?！窘狻浚?）依題意，將x分為[0,1]和[1,2]兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為，利用拉格朗日線性插值公式，求得 ； （2），而 ，實(shí)際誤差為：。由,可知，則余項表達(dá)式5.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,試用線性插值和拋物插值計算.ln2.1的值并估計誤差解：線形插值：取=0.7410拋物線插值：=0.7426.已知x=0,2,3,5對應(yīng)的函數(shù)值分別為y=1,3,2,5.試求三次多項式的插值解：解：取=8.已知函數(shù)y=sinx的數(shù)表如下,分別用前插和后插公式計算sin0.57891的值0.40.50.60.70.389420.479430.564640.64422解：前插：取節(jié)點(diǎn)：0.50.60.70.50.479430.60.564640.085210.70.644220.07958-0.00563(0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1)，

h=0.1取t=0.7891(0.57891)=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.547137690.54714即sin(0.57891)=0.54714后插：取節(jié)點(diǎn)0.40.50.60.40.389420.50.479430.090010.60.564640.08521-0.0048(0.6+th)=0.56464+0.08521*t-*t(t+1)，h=0.1取t=-0.2109(0.57891)=0.56464+0.08521(-0.2109)-0.0024(-0.2109)(0.7891)=0.54068629.已知y=sinx的函數(shù)表X1.51.61.7sinx0.997490.999570.99166試構(gòu)造出差商表，利用二次Newton插值公式計算sin(1.609)(保留5位小數(shù))，并估計其誤差.解：由題意得如下差商表故又故：11.設(shè)，試?yán)美窭嗜詹逯涤囗椂ɡ韺懗鲆詾椴逯倒?jié)點(diǎn)的三次插值多項式。[解]由插值余項定理，有，從而。12試根據(jù)數(shù)表12231-1構(gòu)造Hermite多項式插值解：12>112>0>1>-223>-2>-123所以13.用lg10和lg20來計算lg12

P1(12)=1.0602,lg12=1.0792

e=|1.0602-1.0792|=0.0190

估計誤差：f(x)=lgx;

，當(dāng)x在[10,20]時，

|f”()|<(ln10)2/100=0.053

|1/2*f”()(12-10)(12-20)|<8*0.053=0.424

15.給定數(shù)據(jù)表：，1246741011求4次牛頓插值多項式，并寫出插值余項。[解]一階差商二階差商三階差商四階差商1421-34061710由差商表可得4次牛頓插值多項式為：，插值余項為。16.如下表給定函數(shù)：，0123436111827試計算出此列表函數(shù)的差分表，并利用牛頓向前插值公式給出它的插值多項式。[解]構(gòu)造差分表：03320016520211723189427由差分表可得插值多項式為：。17.已知：x0=1,x1=3,x2=4,x3=7,f(x0)=0,f(x1)=2,f(x2)=15,f(x3)=12，求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式

解：f(x0)=0,f(x1)=1,f(x2)=4,f(x3)=-1.25

則牛頓三次插值多項式為

N3(x)=0+(x-1)+4(x-1)(x-3)-1.25(x-1)(x-3)(x-4)21.給出函數(shù)f(x)的數(shù)表如下,求四次Newton插值多項式,并由此計算f(0.596)的值0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382解：F2F3F4F5F60.40.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.80.888111.275730.358930.197330.91.026521.384100.433470.18634-0.022001.051.253821.515330.524920.228630.088460.16394f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)-0.022(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)+0.16394(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9)所以f(0.596)=0.63195最小二乘法1.用最小二乘法解下列超定方程組： 【解】 構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：， 分別就Q對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零： ： ， ： ， 解方程組（1）和（2），得 2.用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合下列數(shù)據(jù).解：本題給出擬合曲線，即，故法方程系數(shù)法方程為解得最小二乘擬合曲線為3.用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合以下數(shù)據(jù)。192531384419.032.349.073.397.8解：先將線性化，設(shè)，則原式變?yōu)?，這里，，，，代入公式得，，，，，所以可以得到以下方程組：，解得：，，所求方程為：。4.已知如下表的函數(shù)，試用最小二乘法求二次多項式來擬合這組數(shù)據(jù)x-1.00-0.75-0.5-0.2500.250.50.751y-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836微分方程部分1.應(yīng)用向前歐拉法和改進(jìn)歐拉法求由如下積分所確定的函數(shù)y在點(diǎn)x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：該積分問題等價于常微分方程初值問題其中h=0.5。其向前歐拉格式為改進(jìn)歐拉格式為將兩種計算格式所得結(jié)果列于下表向前歐拉法改進(jìn)歐拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.849693.用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題，取步長計算，并與準(zhǔn)確解相比較。[解]由改進(jìn)的歐拉公式可知，又由，，，可得，從而；；；；；；；；；。6.對初值問題，在區(qū)間內(nèi)取步長，分別用歐拉公式、改進(jìn)的歐拉公式及經(jīng)典的四階Runge-Kutta公式作數(shù)值計算。解：（1）由歐拉公式可知：=。（2）由改進(jìn)的歐拉公式可知：將已知代入化簡可得：，，=。（3）由經(jīng)典的四階Runge-Kutta公式可知：公式為：記為（1），所以有：，，，，代入到（1）得：。8.取步長，試用經(jīng)典的四階龍格—庫塔公式求初值問題的，的近似值。解：，其中，，，將，，，，代入原式：，取節(jié)點(diǎn)：，，，于是有：，。12.取，用歐拉方法求解初值問題，。【解】歐拉格式：；化簡后，，計算結(jié)果見下表。n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.461313.用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解初值問題，，試取步長計算的近似值，要求小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字?！窘狻?四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法公式：；列表求得如下：nxnyn00.02.00010.22.300420.42.465414.試用顯式Euler法及改進(jìn)的Euler法計算初值問題（取步長h=0.2）并比較兩者的誤差。解：步長,真解顯式法：改進(jìn)法：顯然改進(jìn)的法誤差小于法。數(shù)值積分部分3.分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計算,(取步長h=1/6).解：（1）用復(fù)合梯形公式故（2）用復(fù)合Simpson公式：4.用變步長梯形求積公式計算,(精確到).解：由得：5.試構(gòu)造兩點(diǎn)Gauss公式,并由此計算積分(精確到).解：二次Lagendre多項式：Gauss點(diǎn)為由公式得令即使得7.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出所構(gòu)造的求積公式所具有的代數(shù)精度。解：設(shè)，，，求積公式準(zhǔn)確成立，代入（2）式可得：解得：，代入原式整理得：，對于，代入上式驗(yàn)證，左邊=右邊，繼續(xù)令，代入上式驗(yàn)證，左邊右邊，即所構(gòu)造的求積公式具有3次代數(shù)精度。10.若用復(fù)化Simpson公式計算，要使誤差不超過，問需要計算多少個節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值？解：，在這里取復(fù)化Simpson公式余項的絕對值，代入已知條件得：，進(jìn)行放縮得：，解得：。13.用龍貝格求積公式計算積分的近似值，要求收斂精度14.用辛普森公式求積分并估計誤差。[解]。，從而。16.用三個節(jié)點(diǎn)（）的Gauss求積公式計算積分。[解]三個節(jié)點(diǎn)的Gauss求積公式為，所以17.給定求積節(jié)點(diǎn)試構(gòu)造計算積分的插值型求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積系數(shù)：；；插值求積公式： =1\*GB3①當(dāng)，左邊=；右邊=；左=右； =2\*GB3②當(dāng)，左邊=；右邊=；左=右； =3\*GB3③當(dāng)，左邊=；右邊=；左≠右； 故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。18.設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表，x0.000.250.500.751.00f(x)1.000001.655341.551521.066660.72159分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分的近似值?！窘狻?（1）用復(fù)化梯形法： （2）用復(fù)化辛普生法：19.設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表，x1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066試用三點(diǎn)公式計算的值，并估計誤差?！窘狻恳阎萌c(diǎn)公式計算微商：，用余項表達(dá)式計算誤差21.已知函數(shù)在點(diǎn)x=1.0，1.1，1.2處的函數(shù)值（見下表），試用二點(diǎn)微分公式求在點(diǎn)x=1.1處的導(dǎo)數(shù)值，并估計誤差。1.01.11.20.2500000.2267570.206612解：由二點(diǎn)數(shù)值微分公式可得：，其誤差為：0.016，其誤差為：0.01524.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度：解：令時等式精確成立，可解得：即：，可以驗(yàn)證，對公式亦成立，而對不成立，故公式（3）具有2次代數(shù)精度。26.試應(yīng)用復(fù)合梯形公式計算積分要求誤差不超過，并把計算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較。解：復(fù)合梯形公式的余項為本題，本題余項為要使，得，取得于是有檢驗(yàn)：27.驗(yàn)證Gauss型求積公式求積系數(shù)及節(jié)點(diǎn)分別為，,，。解：因?yàn)樯鲜鯣auss型求積公式的代數(shù)精度為3，所以對進(jìn)行檢驗(yàn)即可將如下兩組分別代入，可知滿足方程。解線性方程部分1.用選列主元高斯消元法求解下列方程組：（1）（2）【解】 （1）所以： ，,.（2）所以： ，,.3.用矩陣的三角分解求解下列線形代數(shù)方程組（1）解：（2）解：4．用追趕法解線性代數(shù)方程組。解：，，，，5.用追趕法解方程組。解：由題可知：矩陣為三對角占優(yōu)矩陣，由追趕法知：設(shè)的分解為：，按照矩陣乘法展開與原矩陣對比可得：，，，，，，，，，。下面解此方程組，先解，即：，解得：，再解，。即：，解得：即為方程的解。7.用平方根法（Cholesky分解）求解方程組：（1）。（2）。[解]由系數(shù)矩陣的對稱正定性，可令，其中L為下三角陣。（1）求解可得，求解可得。（2）。求解可得，求解可得。8.用平方根法解方程組。解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣為對稱正定矩陣，應(yīng)用平方根法，可分解為即如下形式：，按照矩陣乘法展開與原矩陣對比整理得：，，，，，，。，，。先解方程組，即：，解得：，再解，即：，解得：即為方程的解。9．求用雅克比迭代解下列線性代數(shù)方程組的兩次迭代解（取初始向量＝0）。解：（1）雅可比迭代式為：，取則（2）雅可比迭代式為取，則10．設(shè)有線性代數(shù)方程組判斷雅克比迭代的收斂性；判斷高斯—塞德爾迭代的收斂性。解：（1）雅克比迭代矩陣故雅克比迭代發(fā)散（2）高斯—塞德爾迭代矩陣==，，故高斯—塞德爾迭代收斂11.設(shè)方程組（a）；（b）；試考察解此方程組的雅克比迭代法及高