2024年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃考點(diǎn)2不等式（7種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）含詳解

考點(diǎn)02不等式（7種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

QB【課程安排細(xì)目表1

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、易錯(cuò)分析

五、刷好題

六.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共4小題）

1.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

2.（2020?上海）下列不等式恒成立的是（

A.2abB.cr+b2^-2aCb.a+b^2^J|abID.a2+b2^-lab

3.（2022?上海）若實(shí)數(shù)〃、匕滿(mǎn)足〃>/〉>（）,下列不等式中恒成立.的是（）

A.a+Z?>2VabB.</+/?<2VabC.^-+2/?>2VabD.-|+2/;<2Vab

2

4.（2021?上海）已知兩兩不相等的xi,J”，x2,yi,X3,*，同時(shí)滿(mǎn)足①xaVya,X3〈y3：②xi+.vi=x2+y2=

心+W；③xiyi+x3y3=2x2”，以下明6個(gè)選項(xiàng)恒成立（）

A.2%2<X1+X3B.Zr2>Al+X3C.X2~<X1X3D.X22>AIX3

二.填空題（共5小題）

5.（2022?上海）不等式2二<（）的解集為.

X

6.（2021?上海）不等式空也VI的解集為_(kāi)____________.

x-2

7.（2（）23?上海）已知正實(shí)數(shù)〃、〃滿(mǎn)足〃+4匕=1,則必的最大值為.

8.（2021?上海）已知函數(shù)f（x）=3X+—^—（?>0）的最小值為5,則。=.

3X+1

9.（2020?上海）不等式2>3的解集為.

x

三.解答題（共1小題）

10.（2022?上海）為有效塑造城市景觀(guān)、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線(xiàn)入地工程的建設(shè).如

圖是一處要架空線(xiàn)入地的矩形地塊ABCQ,AB=30m,AD=\5m.為保護(hù)。處的一棵古樹(shù)，有關(guān)部門(mén)劃定了以。

為圓心、D4為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū).若空線(xiàn)入線(xiàn)口為A3邊上的點(diǎn)七，出線(xiàn)口為C。邊上

的點(diǎn)凡施工要求E尸與封閉區(qū)邊界相切，E尸右側(cè)的四邊形地塊8。生將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū).(計(jì)算長(zhǎng)度精確

到0.1/??,計(jì)算面積精確到0.01/H2)

(1)若NAO￡=20°,求所的長(zhǎng);

(2)當(dāng)入線(xiàn)口E在A(yíng)B上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

但二、考點(diǎn)清單

一、等式與不等式的性質(zhì)

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>0^=>a>b,

(1)作差法<a-b=0<=>a=b,

a—b<0<^>a<b.

p>l(a￡R,b>0)<=>a>b(a￡R,b>0),

(2)作商法<^=l<=>a=b(a,b/0)，

a

T<1(a￡R,b>0)<=>a<b(a￡R,b>0).

ko-

2.等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱(chēng)性：若a=b,則b=a

(2)傳遞性：若a=b,b=c,貝ija=c.

(3)可加性：若a=b,則a+c=b+c.

(4)可乘性：若a=b,則ac=bc；若a=b,c=d,則ac=bd.

3.不等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱(chēng)性：a>bob<a；

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c；

(3)可加性：a>b=a+c^b+c；a>b-c>d=a+cNb+d；

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>_bc；a>b,c<O=>ac<t)c；a>d->0,c>d>U=ac二bd；

(5)可乘方：G>b>O=a"N"m￡N,n^l)；

(6)可開(kāi)方：a>b>O=>y[a>y[b(n^N,n^2).

二、均值不等式及其應(yīng)用

1.均值不等式：y[ab^一弓一

⑴均值不等式成立的條件?：。20.b》0.

⑵等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)W2時(shí)取等號(hào).

⑶其中審稱(chēng)為正數(shù)。，b的算術(shù)平均數(shù)，咽稱(chēng)為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

22

(l)a+b^2gb(afb￡R),當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號(hào).

(2)abW(歲)(。，b￡R),當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號(hào).

3.利用均值不等式求最值

已知x》0,y20,貝I」

⑴如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是2g(簡(jiǎn)記：積定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)￡時(shí)，xy有最大值是為簡(jiǎn)記：和定積最大).

三、從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式4=匕2—4℃^>0A=0A<0

二次函數(shù)

義

y=ax2-i-bx+c

(a>0)的圖象u

一元二次方程

有兩相異實(shí)根X1，有兩相等實(shí)根X1=X2

ax2-Fbx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根

,b

X2(X1<X2)—2a

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

{X[X>X2

R

或xU—C

(。>0)的解集

W+bx+cVO

{xIxiVxVx?}00

(。>0)的解集

3.(x-a\(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<bo=ba>b

(x—a)-(x—b)>0{x|x<a或x>b}{x|x<b或x>。}

(x—a)-(x—b)<0{xIa<x<b}0{x|b<x<。}

4.分式不等式與整式不等式

⑴招>0（<0）Qf（xH7（x）>0（<0）.

⑵招20（W0）Qf3&x）三0仁（0）目.0（外/。

函加方法

一.等式與不等式的性質(zhì)（共2小題）

1.（2022?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知〃V〃，c2。，則下列不等式中恒成立的是（）

A.ac<bcB.C.a2+c<b2+cD.

2.（2022?楊浦區(qū)模擬）設(shè)xi,X2GR,則“XI+X2>6且加口>9”是“xi>3II4>3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

不等關(guān)系與不等式（共3小題）

3.（2023?黃浦區(qū)模擬）已知.隹R,下列不等式中正確的是（）

A.B.1>1

2X3，x2-x+lx2+x+l

C.D.

2lxIx2+lx2+lX2+2

4.（2（）23?金山區(qū)二模）若實(shí)數(shù)〃、力滿(mǎn)足。2>〃2>（）,則下列不等式中成立的是（）

A.a>hB.2a>2b

C.a>\b\D.log2a2>log2〃2

5.（2023?嘉定區(qū)模擬）不等式的解集為_(kāi)____________.

x-l

三.基本不等式及其應(yīng)用（共9小題）

6.（2023?寶山區(qū)二模）已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）=\x-m+\-2,若正實(shí)數(shù)人〃滿(mǎn)足/Q）±f（2力）=加,

則工二的最小值為（）

ab

A.9B.9C.—D.8

55

7.（2023?黃浦區(qū)模擬）若關(guān)于x的不等式云+c20（b>l）的解集為R,則l+2b+4c的最小值為_(kāi)______

b-l

8.（2（）23?奉賢區(qū)二模）己知兩個(gè)正數(shù)〃，人的幾何平均值為1,則a2+后的最小值為.

9.（2023?金山區(qū)二模）已知正實(shí)數(shù)公人滿(mǎn)足;吊=1，則2〃+人的最小值為.

10.（2023?嘉定區(qū)二模）已知函數(shù)定義域?yàn)椋?,+~）,則該函數(shù)的最小值為

8x

II.（2023?崇明區(qū)二模）已知正實(shí)數(shù)如。滿(mǎn)足必=1,則。+4〃的最小值等于.

12.（2023?浦東新區(qū)模擬）對(duì)于正實(shí)數(shù)x,代數(shù)式x二一的最小值為_(kāi)______.

x+1

13.（2023?楊浦區(qū)校級(jí)三模）若實(shí)數(shù)七y滿(mǎn)足町=1,則2/+）2的最小值為.

14.（2022?上海模擬）已知函數(shù)），=/（/）的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?.若DU4,則稱(chēng)/（x）為“M型函數(shù)"；若AG。,

則稱(chēng)/（x）為“N型函數(shù)”.

（1）設(shè)f（x）="-5X+8,。=口，4],試判斷/（%）是“M型函數(shù)”還是“N型函數(shù)”；

x

（2）設(shè)f（乂）=乂5，g（x）=^（2+工）+必2-x）,若g（x）既是“M型函數(shù)”又是“N型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)小

b的值；

（3）設(shè)/（x）=?-2ax+bfD=[l,3],若/（x）為“N型函數(shù)"，求/（2）的取值范圍.

四.其他不等式的解法（共5小題）

15.（2022?浦東新區(qū)校級(jí)二模）下列各組不等式中，解集完全相同的是（）

2

A.屋〈一與『<盧6

x+1x+1

B.（X-2）尸1）vo與（4-2）（x+1）<0

C.（x[2）（I）>0與x+2>0

x-1

D.xT〉2x+l與尸3>2什1

x2-x+lx2-x+l

16.（2023?嘉定區(qū)二模）已知A二｛x—<0]?B={x|xel}，則AG8=

17.（2023?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)y=a^+bx+c的圖像如圖所示，則不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）<0的解集

是

18.（2023?寶山區(qū)二模）己知函數(shù)f（x）」——t（“>0且〃K1）,若關(guān)于x的不等式/（/+瓜+c）>（）的解集

ax+l2

為（1,2）,其中〃W（-6,1）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

則不等式f（x）卷>0的解集

19.（2022?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足:

為_(kāi)_____________

五.指、對(duì)數(shù)不等式的解法（共3小題）

20.（2023?楊浦區(qū)二模）由函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)，不等式3、+/gxW3的解集是

21.（2022?閔行區(qū)二模）不等式2廠(chǎng)5<0的解集為.

22.（2022?寶山區(qū)一模）已知函數(shù)/（為）=--3-+a-

3x+1+b

（1）當(dāng)。=8=1時(shí)，求滿(mǎn)足了（%）23"的x的取值范圍；

（2）若），=/（%）的定義域?yàn)镽,又是奇函數(shù)，求y=/（x）的解析式，判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明.

六.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象(共3小題)

23.(2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬)函數(shù)/(/)=，-6|A1+8的單調(diào)減區(qū)間是.

24.(2022?寶山區(qū)校級(jí)二模)“跳臺(tái)滑雪”是冬奧會(huì)中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，俗稱(chēng)“勇敢者的游戲”，觀(guān)賞性和挑戰(zhàn)性極

22

強(qiáng).如圖：一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起滑門(mén)點(diǎn)A出發(fā)，沿著助滑道曲線(xiàn)f(x)=-7b-x(-b<x40)滑到臺(tái)端點(diǎn)8起跳，

然后在空中沿拋物線(xiàn)g(x)-20ar-b(x>0)飛行一?段時(shí)間后在點(diǎn)C著陸，線(xiàn)段的長(zhǎng)度稱(chēng)作運(yùn)動(dòng)員的

飛行距離，計(jì)入最終成績(jī).已知g(x)=陵-20ax-b在區(qū)間［0,30］上的最大值為-30,最小值為-70.

(1)求實(shí)數(shù)小人的值及助滑道曲線(xiàn)A3的長(zhǎng)度.

(2)若運(yùn)動(dòng)員某次比賽中著陸點(diǎn)C與起滑門(mén)點(diǎn)A的高度差為120米，求他的飛行距離(精確到米).

A(起滑門(mén))

25.(2022?青浦區(qū)二模)設(shè)函數(shù)/(x)=^+px+q(p,q5R),定義集合。={巾二(x))=x,xWR},集合后={巾

(/(x))=0,xGR).

(1?若p=q=0,寫(xiě)出相應(yīng)的集合。?和現(xiàn)

(2)若集合。={0},求出所有滿(mǎn)足條件的p,q；

(3)若集合6只含有一個(gè)元素，求證：p20,q20.

七.一元二次不等式及其應(yīng)用（共1小題）

26.（2。23?金山區(qū)二模）若實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足不等式f-3x+2<0,則x的取值范圍是

Q四、易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)h忽視字母的取值范圍而致錯(cuò)

1.（多選）對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，b,c,d,下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）

A.若CWO,則4C>Z?C；B.若a>b,則4c

C.若則D.若a>b>0,c>d,則。c>Z?d.

易錯(cuò)點(diǎn)2：多次運(yùn)用不等式性質(zhì)而致錯(cuò)

2^已知一1<2。+〃<2,3<a-b<4,求的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視不等式中高次項(xiàng)的系數(shù)

3.若不等式〃。2+2〃認(rèn)一4<2?+4工對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（2,+8）C.（-2,21D.[-2,2]

易錯(cuò)點(diǎn)4：應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，忽略不等式成立的三個(gè)條件，

4.當(dāng)xe（l,2）時(shí)，不等式產(chǎn)+"優(yōu)+4v（）恒成立，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<-5B.m<-4C.m<5D.m>5

5.已知遞增等差數(shù)列｛%｝中，4%=一2,則〃3的（）

A.最大值為-4B.最小值為4C.最小值為T(mén)D.最大值為4或T

易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視一元二次不等式中兩根大小而致錯(cuò)

6.已知集合4=｛才/一（3〃-1）工+242-4<。｝，集合3=-4工+3<（）｝,命題p：xeA,

命題Q：XGR.若尸是Q的充分條件,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)6：忽視分式不等式中的分母不能為零致錯(cuò)

2

7.不等式/yWl的解集是.

易錯(cuò)點(diǎn)7：忽視一元二次不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零致錯(cuò)

8.若不等式〃〉+2律成-4V2『+4x對(duì)任意工都成立，則實(shí)數(shù)/〃的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（2,4-oo）c.（-2,21D.[-2,2]

易錯(cuò)點(diǎn)8:忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯(cuò).

9.不等式。一2）（3—法）20的解集為（）

A.（1,+8）B.2

3（3"

C.{.很忘2或％22}.D.1-8,-

易錯(cuò)點(diǎn)力一元二次不等式恒成立問(wèn)題中忽視區(qū)間的開(kāi)閉致錯(cuò)

10.當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式加十X一1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

易錯(cuò)點(diǎn)10:有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯(cuò)

11.若方程f+（〃，-2）x+5一機(jī)=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是

易錯(cuò)點(diǎn)11：解一元二次不等式時(shí)忽視兩根大小而致錯(cuò)

12.解關(guān)于x的不等式ar2—（〃+l）x+1<05>0）.

Q五、刷好題

一.填空題（共9小題）

1.（2023?寶山區(qū)二模）不等式上V0的解集為_(kāi)___________.

x-1

2.（2022秋?閔行區(qū)期末）已知。是正實(shí)數(shù)，若/>〃，則。的取值范圍是.

3.（2022秋?徐匯區(qū)期末）不等式x+44]的解集為_(kāi)_____________________.

X2+2X+2

4.（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)）=/二（a>0,aWl）的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程〃?1

=0（"[〃>（））,則工d的最小值.

mn

5.（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）不等式然-<1的解集為.

6.（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知方程7+x-1=（）的兩個(gè)根為川、X2,則|川-刈=.

7.（2022秋?浦東新區(qū)期末）已知一元二次方程-3a=0（a>0）的兩個(gè)實(shí)根為xi、x2,則x\2x2+x22x\=.

a

8.（2023春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)。>0,b<0,則半b-a的取值范圍是

2g

9.（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)），=:的最小值是_______________________

■京

二.解答題（共2小題）

10.（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開(kāi)辟為水果園和植桃樹(shù)，已知角

4為120°,AB,AC的長(zhǎng)度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆.

（1）若圍墻人P,AQ總長(zhǎng)度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？

（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價(jià)均為每平方米100元.若圍圍墻用了2000（）元，問(wèn)如何

圍可使竹籬笆用料最??？

II.（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)/（x）=-.r+2av+a2+l,t/GR

（1）函數(shù)在區(qū)間［-1,1］上為嚴(yán)格減函數(shù)，求〃的取值范圍;

（2）函數(shù)在區(qū)間［-1,I］上的最大值為3,求。的值.

Q八.刷壓軸

一、解答題

1.(2022?上海閔行?統(tǒng)考二模)某學(xué)校舉辦畢業(yè)聯(lián)歡晚會(huì)，舞臺(tái)上方設(shè)計(jì)了三處光源.如圖，./8C是邊長(zhǎng)為6的等

邊三角形，邊BC的中點(diǎn)M處為固定光源，E、F分別為邊A8、AC上的移動(dòng)光源，且ME始終垂直于M尸，三處

光源把舞臺(tái)照射出五彩繽紛的若干區(qū)域.

⑴當(dāng)尸為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段石￡的長(zhǎng)度;

(2)求AEFM的面積的最小值.

2.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)A是由2x〃(〃eN*)個(gè)實(shí)數(shù)組成的2行〃列的矩陣，滿(mǎn)足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大

于1,且所有數(shù)的和為零.記S5)為所有這樣的矩陣構(gòu)成的集合.記彳04)為A的第一行各數(shù)之和，4(A)為A的第

二行各數(shù)之和，q(㈤為A的第，列各數(shù)之和(W”).記封4)為卜(A)|、歸(閩、匕(闈、"(A)|、…、仁(閔中的

最小值.

-0.9、

(1)若矩陣人=求MA)；

10.2-0.3一1」

(2)對(duì)所有的矩陣Ae5(3),求k(A)的最大值;

(3)給定/cN"對(duì)所有的矩陣4eS⑵+1),求&(A)的最大值.

3.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑶，甲變化:/(x)-/(x-O；乙變化："*+，)-/(切，，>0.

(1)若1=1,/(A)=2\八刈經(jīng)甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

⑵若fix)=x2,八幻經(jīng)乙變化得到〃(x),求不等式h(x)<f(x)的解集；

⑶若〃幻在(3,。)上單調(diào)遞增，將/(x)先進(jìn)行甲變化得到〃"),再將“(X)進(jìn)行乙變化得到乙(%)：將/(刈先進(jìn)行乙

變化得到v(x),再將歡乃進(jìn)行甲變化得到期(x),若對(duì)任意￡>0,總存在%(幻=似X)成立,求證：到X)在R上單調(diào)

遞增.

4.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在橢圓廠(chǎng):=■+/=1中，直線(xiàn)/:x=a上有兩點(diǎn)C、0(。點(diǎn)在第一象限)，左頂點(diǎn)為

a'

A，下頂點(diǎn)為從右焦點(diǎn)為E

⑴若西/B=g,求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

6

⑵若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為1,則BC與4。的交點(diǎn)是否在橢圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶已知直線(xiàn)8c與橢圓「相交于點(diǎn)P,直線(xiàn)A。與橢圓「相交于點(diǎn)。若P與Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的最小值.

考點(diǎn)02不等式（7種題型11個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

【課程安排細(xì)目表】

二、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

四、易錯(cuò)分析

五、刷好題

六.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共4小題）

1.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對(duì)于A(yíng),令a=2,b=l,c=-I,d=-2,滿(mǎn)足力但a+"=/）+c,故4錯(cuò)誤,

對(duì)于4,**a>b>c>d,即c>d,

由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故B正確，

對(duì)于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿(mǎn)足a>b>c>d,（Eac=bd,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于。，令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿(mǎn)足但adVbe,故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?上海）下列不等式恒成立的是（）

A./+必忘2"B.a*12+3b2^-labC.a+h^2^JIabID.a2+b2^-2ab

【分析】利用（a+b）2?。恒成立，可直接得到『+廬》?2曲成立，通過(guò)舉反例可排除ACO.

【解答】解：4.顯然當(dāng)。<0,>>0時(shí)，不等式。2+啟W2岫不成立，故A錯(cuò)誤；

B.（a+力）220,???。2+廿+2岫20,-2ab,故3正確；

C.顯然當(dāng)。<0,/?<（）時(shí)，不等式Iab|不成立,故C錯(cuò)誤；

D.顯然當(dāng)〃>（）,匕>0時(shí)，不等式-2"不成立，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

3.（2022?上海）若實(shí)數(shù)〃、匕滿(mǎn)足下列不等式中恒成立的是（）

A.；?+/?>2VabB.f/+/?<2VabC.^-+2/?>2VabD.且+2萬(wàn)<2^^

22

【分析】利用已知條件以及基本不等式化簡(jiǎn)即可判斷求解.

【解答】解：因?yàn)樗?+822/京，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

又4b>0,所以故4正確，B錯(cuò)誤,

■^■+2b>2,當(dāng)且僅當(dāng)包=2b，即〃=4。時(shí)取等號(hào)，故CO錯(cuò)誤,

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?上海）已知兩兩不相等的川，）1X2,X3，”，同時(shí)滿(mǎn)足①XlVyi，X2<”，X3V”；②Xl+yi=X2+），2=

X3+”;@xiy1+X3y3=2x2y2?以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立（）

A.2XI<X]+X3B.2J2>X|+X3C.X22<X\X3D.X22>X\X3

=2,2—r)u2

xi=m-ax2m-bx3=in-ca+c一/b.

【分析】設(shè),，?,根據(jù)題意，則有._，可得xi+x3-2.V2=2〃■(a+c),

yj=m+ay2=m+by3=m+cm'>b'

通過(guò)求解（2b）2-（a+c）2>0,可得X1+X3-2x2=2/?-（a+c）>0,可得人正確，8錯(cuò)誤；利用作差法可得L

/_\2

-'=3-a-c）〃L,而上面已證｛2b-a-c）>0,因無(wú)法知道，〃的正負(fù)，可得該式子的正負(fù)無(wú)

法恒定，即無(wú)法判斷CD,即可得解.

【解答】解：設(shè)Xl+yi=X2+)2=X3+”=2〃7,

xj=m-aX2=m-bX3=m-c

y2^m+by3^m+c

'a#b卉c

根據(jù)題意，應(yīng)該有4

a,b,c>0

且n?-a2+nr-c2=2(.nr-b2)>0,

2上2_,2

a+c-2ob

則有《

2\,2

m

則XI+JG?2攻=(m-a)+(m-c)-2(m?b)=2b-(a+c),

因?yàn)?2b)2-(a+c)2=2(A2+C2)-(a+c)2>0,

所以xi+x3?2x2=2b~(o+c)>0.

所以A項(xiàng)正確，4錯(cuò)誤.

,(_)2

xixi-xr=(〃？-〃)(m-c)-(in-h)2=(2b-a-c)m+ac-/?2=(2b-a-c)m-aC'-,而上面已證

2

⑵?4?C)>0,

因?yàn)椴恢兰拥恼?fù)，

所以該式子的正負(fù)無(wú)法恒定.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等關(guān)系與不等式的應(yīng)用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

二.填空題（共5小題）

5.（2022?上海）不等式2二工<0的解集為（0,1）.

x

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解.

【解答】解：由題意得x（X-1）<0,

解得0Vx<1,

故不等式的解集（0，1）.

故答案為：（0,1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?上海）不等式空地-VI的解集為（?7,2）.

x-2

【分析】由已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化三<0,進(jìn)行可求.

x-2

【解答]解:當(dāng)”<]=紅包_]<（）=211<（）,

x-2x-2x-2

解得，-7<x<2.

故答案為：（?7,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)〃、〃滿(mǎn)足“+4A=1,則必的最大值為

16

【分析】直接利用基本不等式求出結(jié)果.

【解答】解：正實(shí)數(shù)〃、人滿(mǎn)足〃+初=1,則岫=Lxa?4b《2X（三&產(chǎn)』，當(dāng)且僅當(dāng)b*時(shí)

4個(gè)4、2,1628

等號(hào)成立.

故答案為：士.

16

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：基本不等式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.

8.（2021?上海）已知函數(shù)=3'+——（。>0）的最小值為5,則。=9.

3X+1

【分析】利用基本不等式求最值需要滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”，該題只需將函數(shù)解析式變形成/（x）=311+

-1,然后利用基本不等式求解即可，注意等號(hào)成立的條件.

3X+1

【解答】解：f（x）=3'+」一=3a1+一--12/-1=5,

3X+13X+1

所以。=9,經(jīng)檢驗(yàn)，3》=2時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及整體的思想，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造積為定值，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2020?上海）不等式工>3的解集為（0,工）.

x3

【分析】將不等式化簡(jiǎn)后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集.

【解答】解：由工〉3得上絲〉0,

xx

貝IjX（1-3x）>0,即X（3x-1）<0,解得0<x<—,

3

所以不等式的解集是（0,1）,

故答案為：（0,!）.

O

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題（共1小題）

1（）.（2022?上海）為有效塑造城市景觀(guān)、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線(xiàn)入地工程的建設(shè).如

圖是一處要架空線(xiàn)入地的矩形地塊43cAB=30m,AD=\5m.為保護(hù)。處的一棵占樹(shù)，有關(guān)部門(mén)劃定了以。

為限心、DA為半徑的四分之?圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū).若空線(xiàn)入線(xiàn)口為A8邊上的點(diǎn)￡,HI線(xiàn)口為。。邊上

的點(diǎn)F，施工要求E尸與封閉區(qū)邊界相切，E尸右側(cè)的四邊形地塊BC尸E將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū),（計(jì)算長(zhǎng)度精確

到0.1m,計(jì)算面積精確到O.OEP）

（1?若N4DE=20°,求EF的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)入線(xiàn)口E在A(yíng)8上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

【分析】（1）作。"_LER然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出E扛

（2〕設(shè)結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示AE,FH,然后表示出面積，結(jié)合同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，再

由基木不等式可求.

【解答】解：（I）作。"_1_七/，垂足為從

則石尸=石〃+=15tan200+15tan500223.3m；

(2)設(shè)NAQE=0,則AE=15tan9,FH=15tan(90°-29),

S四邊形AOFE=2Si\ADE+S^DFH=2XAx15X15lan6+—X15X15tan(90°一28)，

22

C5X噱陪）=等Wane，）2駕1

—(3Otan0+15cot2e)=—

22

當(dāng)且僅當(dāng)3tan0=—1—,即tan9二巨時(shí)取等號(hào)，此時(shí)4E=l5lanO=5V3,最大面積為450-225y,

tan832

255/4〃廣.

H

AEB

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于

中檔題.

但二、考點(diǎn)清單

一、等式與不等式的性質(zhì)

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>O<=>a>b,

⑴作差法<a-b=O^a=b.

a-b<O<^>a<b.

p>l(aWR,b>0)<=>a>b(a￡R,b>0),

(2)作商法<￡=l=a三bCo,bWO)，

a

g<l(Q￡R,b>0)<=>a<b(a￡R,b>0).

2.等式的性質(zhì)

⑴對(duì)稱(chēng)性：若。=4Mb=a.

(2)傳遞性：若a=b,b=c,貝ija=c.

(3)可加性：若a=b,則a+c=b+c.

⑷可乘性：若a=b,則ac=bc；若a=b,c=d,則ac=bd.

3.不等式的性質(zhì)

稱(chēng)性：a>b^b<a；

(2)傳遞性：o>b,b>c=>a>c；

(3)可加性：o>b<=>a+c>_b-^cxa>b-c>d=a+c入b+d：

(4)可乘性：a>bfc>Q=>ac>_bc^a>b,c<O=>ac<bc；a>b>0,c>d>O=>ac>_bdx

(5)可乘方：a>b>O=^an>bn(n^N,n^l)；

(6)可開(kāi)方：a>b>O=?Va>Vb(nEN.〃22).

二、均值不等式及其應(yīng)用

1.均值不等式：曬W皇

⑴均值不等式成立的條件：。20,beo.

⑵等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)歸之時(shí)取等號(hào).

⑶其中號(hào)稱(chēng)為正數(shù)。，b的算術(shù)平均數(shù)，咽稱(chēng)為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

(l)a2+b2>2ab(a,b@R),當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)取等號(hào).

(2)abW(V)(a,b￡R),當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號(hào).

3.利用均值不等式求最值

已知x?0,y20,則

⑴如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是2g(簡(jiǎn)記：積定和最小).

s2

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)正匕時(shí)，xy有最大值是7筒記：和定積最大).

三、從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式4=〃-4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)

IL義

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

一元二次方程

有兩相異實(shí)根Xl?有兩相等實(shí)根XT=X2

2沒(méi)有實(shí)數(shù)根

ax4-bx+c=0b

X2(X1〈X2)-

-2a

(。>0)的根

2

ax+bx+c>0{x[x>X2

R

或xVxi}

(。>0)的解集

ax2+bx+c<0

{xIxiVxVx?}00

(。>0)的解集

3.(x-a\(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解集

不等式解集

a<bo=ba>b

(x—a)-(x—b)>0{x|x<a&戈x>b}(xlxWa}(x|x<b3戈

(x—o)-(x—b)<0{x|a<x<b}0{x|b<x<。}

4.分式不等式與整式不等式

⑴前劑<0）.

（2）爆20（W0）of（幻Q（X）N0（W0）且Q（K）W。

融方法

一.等式與不等式的性質(zhì)（共2小題）

1.（2022?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知4Vb,。20,則下列不等式中恒成立的是（）

A.ac<hcB.a2c^b2cC.a2+c<b2+cD.adWbc1

【分析】利用不等式的性質(zhì)和特殊值法，判斷A、4、C、。即可.

【解答】解:對(duì)于A(yíng)：?:aVb,c20,這姐則選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B和C：當(dāng)a=-1,時(shí)，即?》?，

2

:序c和a2+c>b2+c成立，則選項(xiàng)B、C不正確；

對(duì)于。：Vc>0?.*.c2^0,則選項(xiàng)。正確；

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022?楊浦區(qū)模擬）設(shè).CWR,則“巾+式2>6且加X(jué)2>9”是“川>3且也>3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，以及不等式的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：令Xl=l,X2=9,滿(mǎn)足Xl+X2>6且X1X2>9,但X1V3,故充分性不成立，

當(dāng)Xl>3且X2>3時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，Xl+X2>6jlxi.￥2>9,故必要性成'、￡,

故“Xl+r>6且XU2>9”是“箱>3且X2>3”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題.

二.不等關(guān)系與不等式（共3小題）

3.（2023?黃浦區(qū)模擬）已知在R,下列不等式中正確的是（）

AA.—1\1Bn.---1--->、---1---

23'x--x+lx、x+l

【分析】舉反例可排除4、8、C,再利用不等式的性質(zhì)可證明。正確即可.

【解答】解：取x=0可得二一=1=」一,故A錯(cuò)誤；

2X3X

取x=0可得——=1=—一，故B錯(cuò)誤；

x'-x+lX+x+l

取X=1可得_^=_1=二_,故C錯(cuò)誤；

21x12x2+1

選項(xiàng)。，???/+2>/+i>（）,故。正確.

x'+lx'+2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式比較大小，舉反例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

4.（2023?金山區(qū)二模）若實(shí)數(shù)。、〃滿(mǎn)足戶(hù)>0,則下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2h

C.a>|/?|D.Iog2a2>log2/?2

【分析】舉反例可判斷ABC錯(cuò)誤，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷。正確.

【解答】解：對(duì)于八，取a=-2,b=1,滿(mǎn)足〃2>戶(hù)>（）,但是不成立，故人錯(cuò)誤：

對(duì)于從取。=-2,b=\,滿(mǎn)足戶(hù)>0,但是2a=1<212,即2，>2%不成立，故8錯(cuò)誤；

4

對(duì)于C,取。=-2,b=l,滿(mǎn)足/>戶(hù)>0,但是〃>|加不成立，故c錯(cuò)誤；

22

對(duì)于。，Va>b>0f且y=logu在（0,+°°）上單調(diào)遞增，

?Tog2a2>log2b1故。正確?

故逃：D.