浙江省2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第6節(jié)空間向量及其運(yùn)算含解析

PAGE第6節(jié)空間向量及其運(yùn)算考試要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，了解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2.了解空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；3.了解空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；4.駕馭空間兩點(diǎn)間的距離公式，會求向量的長度、兩向量的夾角.知識梳理1.空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合的向量a∥b共面對量平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則①可化為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).(2)共面對量定理共面對量定理的向量表達(dá)式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或?qū)臻g隨意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝1.(3)空間向量基本定理假如向量e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b相互垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))5.空間兩點(diǎn)間的距離公式空間中點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2).[常用結(jié)論與易錯(cuò)提示]1.a·b＝0?a＝0或b＝0或〈a，b〉＝eq\f(π,2).2.a·b<0不等價(jià)為〈a，b〉為鈍角，因?yàn)椤碼，b〉可能為180°；a·b>0不等價(jià)為〈a，b〉為銳角，因?yàn)椤碼，b〉可能為0°.診斷自測1.推斷下列說法的正誤.(1)空間中隨意兩非零向量a，b共面.()(2)對隨意兩個(gè)空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.()(3)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.()(4)若a·b＜0，則〈a，b〉是鈍角.()解析對于(2)，因?yàn)?與任何向量數(shù)量積為0，所以(2)不正確；對于(3)，若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對于(4)，若〈a，b〉＝π，則a·b<0，故(4)不正確.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A.垂直 B.平行C.異面 D.相交但不垂直解析由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3，3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又AB與CD沒有公共點(diǎn).∴AB∥CD.答案B3.(選修2－1P97A2改編)如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A.－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析由題意，依據(jù)向量運(yùn)算的幾何運(yùn)算法則，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB,\s\up6(→))1＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.答案A4.(2024·上海卷)如圖，以長方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若eq\o(DB1,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(4，3，2)，則eq\o(AC1,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________.解析A(4，0，0)，C1(0，3，2)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－4，3，2).答案(－4，3，2)5.已知O為空間中隨意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋teq\o(OC,\s\up6(→))，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝________.解析∵P，A，B，C四點(diǎn)共面，∴eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋t＝1，∴t＝eq\f(1,8).答案eq\f(1,8)6.已知i，j，k為兩兩垂直的單位向量，非零向量a＝a1i＋a2j＋a3k(a1，a2，a3∈R)，若向量a與向量i，j，k的夾角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝________.解析設(shè)i，j，k為長方體的共頂點(diǎn)的三條棱的方向向量，因非零向量a＝a1i＋a2j＋a3k(a1，a2，a3∈R)，故a可為長方體體對角線的方向向量，則α＝∠xEA，β＝∠yEA，γ＝∠zEA，所以cosα＝cos∠xEA＝cos∠CAE＝eq\f(AC,AE)，cosβ＝cos∠yEA＝cos∠DAE＝eq\f(AD,AE)，cosγ＝cos∠zEA＝cos∠EAB＝eq\f(AB,AE)，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\f(AB2＋AC2＋AD2,AE2)＝eq\f(AE2,AE2)＝1.答案1考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算【例1】如圖所示，在空間幾何體ABCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.規(guī)律方法(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，這是用向量解決立體幾何問題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知和所求向量視察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.提示空間向量的線性運(yùn)算類似于平面對量中的線性運(yùn)算.【訓(xùn)練1】如圖，三棱錐O－ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，則eq\o(NM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)(－a＋b＋c) B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c) D.eq\f(1,2)(－a－b＋c)解析eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c).答案B考點(diǎn)二共線定理、共面定理的應(yīng)用【例2】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))).(1)推斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)推斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解(1)由題意知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面.(2)由(1)知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且過同一點(diǎn)M，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面.從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).規(guī)律方法(1)證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法①eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；②對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1).(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；②對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；③eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))).(3)三點(diǎn)共線通常轉(zhuǎn)化為向量共線，四點(diǎn)共面通常轉(zhuǎn)化為向量共面，線面平行可轉(zhuǎn)化為向量共線、共面來證明.【訓(xùn)練2】(1)若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三點(diǎn)共線，則m＋n＝________.(2)已知空間四點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，D(1，2，t)，若四點(diǎn)共面，則t的值為________.解析(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m＋1，n－2，－2).∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\f(m＋1,3)＝eq\f(n－2,－1)＝eq\f(－2,1)，∴m＝－7，n＝4，∴m＋n＝－3.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，2，t－2)，∵A，B，C，D四點(diǎn)共面，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))共面.設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，即(3，2，t－2)＝(x－y，x，2y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,x＝2，,2y＝t－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，,t＝0.))∴t的值為0.答案(1)－3(2)0考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用【例3】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求eq\o(BD1,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值.解(1)記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的長為eq\r(6).(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).即eq\o(BD1,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值為eq\f(\r(6),6).規(guī)律方法利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是依據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角干脆計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題.(1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；(2)|a|＝eq\r(a2)；(3)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).【訓(xùn)練3】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是其內(nèi)切球O的一條直徑，E是正方體表面上一點(diǎn)，求eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(EN,\s\up6(→))的最大值.解由極化恒等式的三角形形式得eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(2eq\o(EO,\s\up6(→)))2－eq\o(MN,\s\up6(→))2].又因?yàn)镸N是其內(nèi)切球O的一條直徑，E是正方體表面上的動點(diǎn)，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(EO,\s\up6(→))|≤eq\r(3)，所以eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(2eq\o(EO,\s\up6(→)))2－4]≤2，所以eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(EN,\s\up6(→))的最大值為2.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，則實(shí)數(shù)m的值等于()A.eq\f(3,2) B.－2C.0 D.eq\f(3,2)或－2解析∵a∥b，∴eq\f(2m＋1,2)＝eq\f(3,m)＝eq\f(m－1,－m)，解得m＝－2.答案B2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉的值為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(4\r(5),9)C.eq\f(2\r(5),9) D.eq\f(2,3)解析如圖，設(shè)正方體棱長為2，則易得eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2，－2，1)，eq\o(D1N,\s\up6(→))＝(2，2，－1)，∴cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CM,\s\up6(→))·\o(D1N,\s\up6(→)),|\o(CM,\s\up6(→))||\o(D1N,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,9)，又〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴sin〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(D1N,\s\up6(→))〉＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))\s\up12(2))＝eq\f(4\r(5),9).答案B3.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k的值是()A.－1 B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,3) D.eq\f(7,5)解析由題意得ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝eq\f(7,5).答案D4.已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＜eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的大小不能比較解析取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF綉eq\f(1,2)CD，因?yàn)椤磂q\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＞90°，因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＜0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).答案C5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A.a2 B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2 D.eq\f(\r(3),4)a2解析如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.答案C6.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上說法正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4解析eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→))，所以A1M∥D1P，又D1P?平面DCC1D1，D1P?平面D1PQB1，A1M?平面DCC1D1，A1M?平面D1PQB1，由線面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正確.答案C二、填空題7.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則b，c的夾角為________.解析由題意得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝eq\f(b·c,|b|·|c|)＝eq\f(－18,12×\r(1＋4＋4))＝－eq\f(1,2)，0°≤〈b，c〉≤180°，∴〈b，c〉＝120°.答案120°8.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a與b夾角的余弦值為________；若a⊥(a－λb)，則λ＝________.解析∵a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2＋2＋3,\r(14)×\r(6))＝eq\f(\r(21),6)；由題意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案eq\f(\r(21),6)29.已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則x＝________，y＝________，z＝________.解析由條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋5－2z＝0，,x－1＋5y＋6＝0，,3（x－1）＋y－3z＝0，))解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7)，z＝4.答案eq\f(40,7)－eq\f(15,7)410.設(shè)A1，A2，A3，A4，A5是空間中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)，則使＝0成立的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)有________.解析設(shè)M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k＝1，2，3，4，5).則eq\o(MAk,\s\up6(→))＝(xk－a，yk－b，zk－c)，∴由eq\o(MAk,\s\up6(→))＝0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋x3＋x4＋x5－5a＝0，,y1＋y2＋y3＋y4＋y5－5b＝0，,z1＋z2＋z3＋z4＋z5－5c＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,5)（x1＋x2＋x3＋x4＋x5），,b＝\f(1,5)（y1＋y2＋y3＋y4＋y5），,c＝\f(1,5)（z1＋z2＋z3＋z4＋z5），))∴存在唯一點(diǎn)M.答案1三、解答題11.如圖，已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′.試用eq\o(AC,\s\up6(→))′表示eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))′＋eq\o(AD,\s\up6(→))′.解∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，∴在?ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，在?ABB′A′中，eq\o(AB,\s\up6(→))′＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))′，在?ADD′A′中，eq\o(AD,\s\up6(→))′＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))′，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))′＋eq\o(AD,\s\up6(→))′＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))′)＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))′)＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))).又∵在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，在?ACC′A′中，eq\o(AA,\s\up6(→))′＝eq\o(CC,\s\up6(→))′，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))′＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC,\s\up6(→))′＝eq\o(AC,\s\up6(→))′，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))′＋eq\o(AD,\s\up6(→))′＝2eq\o(AC,\s\up6(→))′.12.已知空間中三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c.(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝eq\r(（－2m）2＋（－m）2＋（2m）2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(（－1）2＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，即向量a與向量b的夾角的余弦值為－eq\f(\r(10),10).實(shí)力提升題組13.在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A.－1 B.0C.1 D.不確定解析如圖，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案B14.若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，則(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo).已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個(gè)基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)是()A.(4，0，3) B.(3，1，3)C.(1，2，3) D.(2，1，3)解析設(shè)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z).則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①因?yàn)閜在{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，∴p＝4a＋2b＋3c，②由①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝2，,z＝3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，,z＝3，))即p在{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(3，1，3).答案B15.已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2，3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，1，2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1，1，2)，且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值時(shí)，eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐標(biāo)是__________.解析∵點(diǎn)Q在直線OP上，∴設(shè)點(diǎn)Q(λ，λ，2λ)，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(2,3).即當(dāng)λ＝eq\f(4,3)時(shí)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(2,3).此時(shí)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))16.已知空間向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))的模長分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°.點(diǎn)G為△ABC的重心，若eq\o(PG,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))，x，y，z∈R，則x＋y＋z＝________.|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝________.解析因?yàn)锳，B，C，G四點(diǎn)共面，所以x＋y＋z＝1，則z＝1－x－y，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)PC＝eq\f(1,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，∴x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,3)，|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋\o(PC,\s\up6(→))）2)＝eq\f(1,3)×eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2＋|\o(PB,\s\up6(→))|2+|\o(PC,\s\up6(→))|2+2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))+2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))+2\o(PB,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(5,3).答案1eq\f(5,3)17.如圖，在棱長為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.(1)寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：eq\o(A1F,\s\up6(→))⊥eq\o(C1E,\s\up6(→))；(3)若A1