2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.1常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.2.2導(dǎo)數(shù)公式表及數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用應(yīng)用案鞏固提升新人教B版選修2-2

PAGEPAGE11.2.1常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.2.2導(dǎo)數(shù)公式表及數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用[A基礎(chǔ)達標(biāo)]1．已知函數(shù)f(x)＝x3，若f′(x0)＝6，則x0＝()A．eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±eq\r(2) D．±1解析：選C.因為f′(x)＝3x2，所以f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＝6，解得x0＝±eq\r(2).2．下列結(jié)論中不正確的是()A．若y＝0，則y′＝0B．若y＝5x，則y′＝5C．若y＝x－1，則y′＝－x－2D．若y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，則y′＝eq\f(1,2)xeq\s\up6(\f(1,2))解析：選D.當(dāng)y＝xeq\s\up6(\f(1,2))時，y′＝(xeq\s\up6(\f(1,2)))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).3．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()A．eq\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)解析：選D.因為y′＝ex，所以切線的斜率k＝e2，所以切線方程為y＝e2x－e2，它與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為(0，－e2)，(1，0)，所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為eq\f(e2,2).4．過曲線y＝eq\f(1,x)上一點P的切線的斜率為－4，則P的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))解析：選B.因為y′＝－eq\f(1,x2)，令－eq\f(1,x2)＝－4，得x＝±eq\f(1,2)，P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，故選B.5．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N＋)在點(1，1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·…·xn的值為()A.eq\f(1,n) B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1) D．1解析：選B.由題意得xn＝eq\f(n,n＋1)，則x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故選B.6．質(zhì)點的運動方程是s＝eq\f(1,t4)(其中s的單位是m，t的單位是s)．則質(zhì)點在t＝3s時的速度是________．解析：因為s＝t－4，所以s′＝－4t－5，所以質(zhì)點在t＝3s時的速度是(－4)×eq\f(1,35)＝－eq\f(4,243)(m/s)．答案：－eq\f(4,243)m/s7．設(shè)曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝eq\f(1,x)(x>0)上點P處的切線垂直，則點P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)f(x)＝ex，則f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.設(shè)g(x)＝eq\f(1,x)(x>0)，則g′(x)＝－eq\f(1,x2).由題意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.所以P(1，1)．答案：(1，1)8．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2017(x)＝________．解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次類推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.答案：cosx9．已知P、Q兩點為拋物線x2＝2y上兩點，點P、Q的橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P、Q兩點分別作拋物線的切線，兩切線相交于點A，求A點的坐標(biāo)．解：因為點P、Q的橫坐標(biāo)分別為4，－2，且點P、Q都在拋物線上，所以可得P(4，8)，Q(－2，2)；因為y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，聯(lián)立直線PA、QA的直線方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－8＝4（x－4），,y－2＝－2（x＋2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4，))即點A的坐標(biāo)為(1，－4)．10．求與曲線y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在點P(8，4)處的切線垂直，且過點(4，8)的直線方程．解：因為y＝eq\r(3,x2)，所以y′＝(eq\r(3,x2))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(x\s\up6(\f(2,3)))))′＝eq\f(2,3)x－eq\s\up6(\f(1,3)).所以f′(8)＝eq\f(2,3)×8－eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(1,3)，即曲線在點P(8，4)處的切線的斜率為eq\f(1,3).所以適合條件的直線的斜率為－3.從而適合條件的直線方程為y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.[B實力提升]11．曲線y＝lnx在點M處的切線過原點，則該切線的斜率為()A．1 B．eC．－1 D.eq\f(1,e)解析：選D.設(shè)M(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝eq\f(1,x)，所以切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝eq\f(1,x0)，所以切線方程為y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)．由題意得0－lnx0＝eq\f(1,x0)(0－x0)＝－1，即lnx0＝1，所以x0＝e.所以k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).故選D.12．若曲線y＝x－eq\s\up6(\f(1,2))在點(a，a－eq\s\up6(\f(1,2)))處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________．解析：因為y＝x－eq\s\up6(\f(1,2))，所以y′＝－eq\f(1,2)x－eq\s\up6(\f(3,2))，所以曲線在點(a，a－eq\s\up6(\f(1,2)))處的切線斜率k＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up6(\f(3,2))，所以切線方程為y－a－eq\s\up6(\f(1,2))＝－eq\f(1,2)a－eq\s\up6(\f(3,2))(x－a)．令x＝0得y＝eq\f(3,2)a－eq\s\up6(\f(1,2))；令y＝0得x＝3a.因為該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(9,4)aeq\s\up6(\f(1,2))＝18，所以a＝64.答案：6413．過原點作曲線y＝ex的切線，求切點的坐標(biāo)及切線的斜率．解：因為(ex)′＝ex，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，ex0)，則過該切點的直線的斜率為ex0，所以所求切線的方程為y－ex0＝ex0(x－x0)．因為切線過原點，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.所以切點為(1，e)，斜率為e.14．(選做題)已知兩條曲線y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處，兩條曲線的切線相互垂直？并說明理由．解：不存在．由于y1＝sinx，y2＝cosx，設(shè)兩條曲線的一個公共點