2024-2025學年高中數學模塊綜合評價二演練含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-模塊綜合評價(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．計算：eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)等于()A．1＋i B．－1＋iC．1－i D．－1－i解析：eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝eq\f(（1＋i）2（1＋i）,（1－i）2)＝－1－i.答案：D2．如圖所示的框圖是結構圖的是()A.eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)B.eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(\a\al(得到一個明顯,成立的條件))C.D.eq\x(入庫)→eq\x(找書)→eq\x(閱覽)→eq\x(借書)→eq\x(出庫)→eq\x(還書)解析：選項C為組織結構圖，其余為流程圖．答案：C3．若大前提：任何實數的平方都大于0，小前提：a∈R，結論：a2>0，那么這個演繹推理出錯在()A．大前提 B．小前提C．推理形式 D．沒有出錯答案：A4．演繹推理“因為對數函數y＝logax(a>0且a≠1)是增函數，而函數y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是對數函數，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是增函數”所得結論錯誤的緣由是()A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．大前提和小前提都錯誤解析：對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)，當a>1時是增函數，當0<a<1時是減函數，故大前提錯誤．答案：A5．視察按下列依次排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)個等式應為()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－9D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：易知等式的左邊是兩項和，其中一項為序號n，另一項為序號n－1的9倍，等式右邊是10n－9.猜想第n個等式應為9(n－1)＋n＝10n－9.答案：B6．已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i為虛數單位)，則復數z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：因為eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i，所以z＝eq\f(（1－i）2,1＋i)＝eq\f(（1－i）2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(（1＋i2－2i）（1－i）,1－i2)＝eq\f(－2i（1－i）,2)＝－1－i.答案：D7．依據如下樣本數據得到的回來方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝bx＋a，則()x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0解析：作出散點圖如下：視察圖象可知，回來直線eq\o(y,\s\up12(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當x＝0時，eq\o(y,\s\up12(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.答案：B8．下列推理正確的是()A．假如不買彩票，那么就不能中獎，因為你買了彩票，所以你肯定中獎B．因為a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a，b均為正實數，則lga＋lgb≥2eq\r(lga·lgb)D．若a為正實數，ab<0，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a,b)＋\f(－b,a)))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a,b)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－b,a))))＝－2解析：A中推理形式錯誤，故A錯；B中b，c關系不確定，故B錯；C中l(wèi)ga，lgb正負不確定，故C錯．D利用基本不等式，推理正確．答案：D9．下面的等高條形圖可以說明的問題是()A．“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響是肯定不同的B．“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同C．此等高條形圖看不出兩種手術有什么不同的地方D．“心臟搭橋”手術和“血管清障”手術對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握解析：由等高條形圖知，D正確．答案：D10．實數a，b，c滿意a＋2b＋c＝2，則()A．a，b，c都是正數B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2D．a，b，c中至少有一個不小于eq\f(1,2)解析：假設a，b，c中都小于eq\f(1,2)，則a＋2b＋c<eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝2，與a＋2b＋c＝2沖突所以a，b，c中至少有一個不小于eq\f(1,2).答案：D11．已知直線l，m，平面α，β且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l⊥m；④若l∥m，則α⊥β.其中正確命題的個數是()A．1B．2C．3D．4解析：若l⊥α，m?β，α∥β，則l⊥β，所以l⊥m，①正確；若l⊥α，m?β，l⊥m，α與β可能相交，②不正確；若l⊥α，m?β，α⊥β，l與m可能平行或異面，③不正確；若l⊥α，m?β，l∥m，則m⊥α，所以α⊥β，④正確．答案：B12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，假如輸入的x＝0，y＝1，n＝1，則輸出x，y的值滿意()A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x解析：輸入x＝0，y＝1，n＝1，得x＝0，y＝1，x2＋y2＝1<36，不滿意條件；執(zhí)行循環(huán)：n＝2，x＝eq\f(1,2)，y＝2，x2＋y2＝eq\f(1,4)＋4<36，不滿意條件；執(zhí)行循環(huán)：n＝3，x＝eq\f(3,2)，y＝6，x2＋y2＝eq\f(9,4)＋36>36，滿意條件，結束循環(huán)，輸出x＝eq\f(3,2)，y＝6，所以滿意y＝4x.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．(2024·天津卷)已知a∈R，i為虛數單位，若eq\f(a－i,2＋i)為實數，則a的值為________．解析：eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(1,5)(a－i)(2－i)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(a＋2,5)i依題意eq\f(a＋2,5)＝0，所以a＝－2.答案：－214．已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.類比上述性質，可以得到橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質為______________________________________________．解析：圓的性質中，經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標與縱坐標替換．故可得橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質為：過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.答案：經過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝115．(2024·北京卷)某學習小組由學生和老師組成，人員構成同時滿意以下三個條件：(1)男學生人數多于女學生人數；(2)女學生人數多于老師人數；(3)老師人數的兩倍多于男學生人數．①若老師人數為4，則女學生人數的最大值為________；②該小組人數的最小值為________．解析：設男學生人數、女學生人數、老師人數分別為a，b，c，則有2c＞a＞b＞c，且a，b，c∈Z.①當c＝4時，b的最大值為6；②當c＝3時，a的值為5，b的值為4，此時該小組人數的最小值為12.答案：①6②1216．已知線性回來直線方程是eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x，假如當x＝3時，y的估計值是17，x＝8時，y的估計值是22，那么回來直線方程為______．解析：首先把兩組值代入回來直線方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3\o(b,\s\up12(^))＋\o(a,\s\up12(^))＝17，,8\o(b,\s\up12(^))＋\o(a,\s\up12(^))＝22，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up12(^))＝1，,\o(a,\s\up12(^))＝14.))所以回來直線方程是eq\o(y,\s\up12(^))＝x＋14.答案：eq\o(y,\s\up12(^))＝x＋14三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)復數z＝1＋i，求實數a，b，使az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2z)2.解：因為z＝1＋i，所以az＋2beq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i，因為a，b都是實數，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，,a－2b＝4（a＋2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2.))所以a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.18．(本小題滿分12分)設a，b，c為一個三角形的三邊，S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，且S2＝2ab，求證：S<2a.證明：因為S2＝2ab，所以要證S<2a，只需證S<eq\f(S2,b)，即b<S.因為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，只需證2b<a＋b＋c，即證b<a＋c.因為a，b，c為三角形三邊，所以b<a＋c成立，所以S<2a成立．19．(本小題滿分12分)視察以下各等式：tan30°＋tan30°＋tan120°＝tan30°·tan30°·tan120°，tan60°＋tan60°＋tan60°＝tan60°·tan60°·tan60°，tan30°＋tan45°＋tan105°＝tan30°·tan45°·tan105°.分析上述各式的共同特點，猜想出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明．解：表示一般規(guī)律的等式是：若A＋B＋C＝π，則tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.證明：由于tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)，所以tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)．而A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.于是tanA＋tanB＋tanC＝tan(π－C)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanA·tanB·tanC.故等式成立．20．(本小題滿分12分)已知關于x的方程eq\f(x,a)＋eq\f(b,x)＝1，其中a，b為實數．(1)若x＝1－eq\r(3)i是該方程的根，求a，b的值；(2)當a＞0且eq\f(b,a)＞eq\f(1,4)時，證明該方程沒有實數根．解：(1)將x＝1－eq\r(3)i代入eq\f(x,a)＋eq\f(b,x)＝1，化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(b,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)b－\f(\r(3),a)))i＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(b,4)＝1，,\f(\r(3),4)b－\f(\r(3),a)＝0，))解得a＝b＝2.(2)證明：原方程化為x2－ax＋ab＝0，假設原方程有實數解，那么Δ＝(－a)2－4ab≥0，即a2≥4ab.因為a＞0，所以eq\f(b,a)≤eq\f(1,4)，這與題設eq\f(b,a)＞eq\f(1,4)相沖突，故原方程無實數根．21．(本小題滿分12分)等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數列{bn}中隨意不同的三項都不行能成為等比數列．(1)解：設等差數列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1＋\r(2)，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))聯(lián)立得d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設數列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，從而(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，所以(q2