5.3.2.2函數(shù)的最大（?。┲担ㄖR梳理+例題+變式+練習）（解析版）

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調(diào)遞增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.綜上所述，當a≤eq\f(1,2)時，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；當eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)時，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；當a≥eq\f(e,2)時，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)當b＝0時，由(1)知，若a≤eq\f(1,2)，則g(x)min＝g(0)＝1，不符合題意，若eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)，則g(x)min＝2a－2aln(2a)，令2a－2aln(2a)＝0，解得a＝eq\f(e,2)(舍去)．若a≥eq\f(e,2)，則g(x)min＝e－2a＝0得a＝eq\f(e,2).綜上所述a＝eq\f(e,2).題型三函數(shù)的最值與不等式問題【例3】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)3＋m.(1)若f(1)＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上恒成立，求m的取值范圍．【解析】(1)因為f(1)＝1，所以m＝1，則f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，而f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．(2)不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在區(qū)間[1,2]上恒成立，即不等式m≥3x2－3x在區(qū)間[1,2]上恒成立，即m不小于3x2－3x在區(qū)間[1,2]上的最大值．因為x∈[1,2]時，3x2－3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(3,4)∈[0,6]，所以m的取值范圍是[6，＋∞)．【變式探究2】本例(2)中的條件“關(guān)于x的不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上恒成立”改為“關(guān)于x的不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上有解”，則實數(shù)m的取值范圍又如何？【解析】不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上有解，即不等式3x2－3x－m≤0在區(qū)間[1,2]上有解，即不等式m≥3x2－3x在區(qū)間[1,2]上有解，即m不小于3x2－3x在區(qū)間[1,2]上的最小值．因為x∈[1,2]時，3x2－3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(3,4)∈[0,6]，所以m的取值范圍是[0，＋∞)．【方法歸納】有關(guān)恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．求解時要確定這個函數(shù)，看哪一個變量的范圍已知，即函數(shù)是以已知范圍的變量為自變量的函數(shù)．一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.【跟蹤訓練3】已知函數(shù)f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1處取得極值－3－c，其中a，b，c為常數(shù)．若對任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范圍．【解析】由題意知f(1)＝－3－c因此b－c＝－3－c，從而b＝－3.對f(x)求導，得f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·eq\f(1,x)＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．由題意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，從而f′(x)＝48x3lnx(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.當0<x<1時，f′(x)<0，此時f(x)為減函數(shù)；當x>1時，f′(x)>0，此時f(x)為增函數(shù)．所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝－3－c，并且此極小值也是最小值．所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．整理得2c2－c－3≥0，解得c≥eq\f(3,2)或c≤－1.所以c的取值范圍為(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).易錯辨析混淆極值與最值致錯【例4】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝eq\f(2,3)處取得極值．(1)求函數(shù)f(x)的解析式．(2)求函數(shù)f(x)在[－4,1]上的最值．【解析】(1)因為f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因為在x＝－2和x＝eq\f(2,3)處取得極值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－4.))所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)因為f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝eq\f(2,3)，所以f(x)在[－4，－2)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上單調(diào)遞增．因為f(－4)＝－11，f(－2)＝13，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(95,27)，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.一、單選題1．已知，，（）是函數(shù)（且）的3個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然，即，設(shè)，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即可求解.【解析】解：顯然，即，設(shè)，則所以，所以，因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.2．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①的圖象關(guān)于中心對稱；②的圖象關(guān)于對稱；③的最大值為；④既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】將原函數(shù)化為，然后結(jié)合的性質(zhì)以及導數(shù)逐項判斷即可．【解析】解：，令，則，，對于①：，故的圖象關(guān)于對稱，故①正確；對于②：，故的圖象關(guān)于對稱，故②正確；對于③：令，得，因為，，，最大值為，故③錯誤；對于④：，故是奇函數(shù)，，故，故④正確．故選：C．3．函數(shù)的最大值為（）A．32 B．27 C．16 D．40【答案】A【分析】利用導數(shù)即可求解.【解析】因為，所以當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A4．的最大值與最小值之差為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖像的對稱性，利用導數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性和最值.【解析】，設(shè)，則則為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，其最大值與最小值是互為相反數(shù)，即的最大值與最小值之差為，當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以的最大值與最小值之差為故選：B5．已知經(jīng)過圓錐的頂點與底面圓心的截面是邊長為的正三角形，一個圓柱的下底面在該圓錐的底面上，上底面圓周在該圓錐的側(cè)面上，則該圓柱的體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，利用相似比得出，再由圓柱的體積公式即可求解.【解析】由題意設(shè)圓柱的底面半徑為（），高為，所以，解得，所以圓柱的體積，，令，解得，，解得，，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；所以.故選：C6．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點、，現(xiàn)給出下述結(jié)論：①；②；③；④，則其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，直線與垂直，可得，、，，關(guān)于對稱，即可判斷①；利用基本不等式即可判斷②，構(gòu)造，判斷其單調(diào)性，即可判斷③，由，判斷其單調(diào)性，即可判斷④．【解析】由題意直線與垂直，函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，，、，，關(guān)于對稱，則；①正確；對于②：由，因為，則；②正確；對于③：構(gòu)造函數(shù)；則，當時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；當時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；，，，③正確；對于④：，，令函數(shù)，則當時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；當時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；，不對，即④不對．故選：B7．下列函數(shù)中，的最小值是2的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A：取特殊值，代入后否定結(jié)論；對于B：取特殊值，代入后否定結(jié)論；對于C：利用導數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值；對于D：根據(jù)基本不等式利用的條件“一正二定三相等”進行判斷.【解析】對于A：的定義域為.取特殊值，代入得y=-2<2.故A錯誤；對于B：的定義域為.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B錯；對于C：的定義域為R..令，解得；令，解得；所以在上單減，在上單增，所以當時，y取得最小值2.故C正確；對于D：.令，則.所以，當，記時取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D錯誤.故選：C8．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．B．函數(shù)的最大值為C．若方程恰有兩個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍為D．若，則【答案】C【分析】利用導數(shù)研究的單調(diào)性，即可判斷A、B的正誤；由在、上的值域，即可知恰有兩個不等的實根時的取值范圍；若，構(gòu)造及并利用導數(shù)研究單調(diào)性，進而確定在上的符號判斷的符號，再結(jié)合的單調(diào)性即可證.【解析】由題意，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；A：，正確；B：的極大值，也是最大值為，正確；C：∵時，即上；時，即上；∴要使恰有兩個不等的實根，則，錯誤；D：由知：若，令，，，∴設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，即，故在上恒成立，∴，即，又，，由在上遞減，即，故，正確.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而比較函數(shù)值的大小及最大值，再由的區(qū)間值域，確定恰有兩個不等的實根時的范圍；利用極值點偏移問題的解法證明即可.二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的周期為 B．的圖象關(guān)于對稱C．的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷A，由對稱性判斷B，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性、最值判斷CD．【解析】，所以是函數(shù)的一個周期，A正確；，，B錯誤；，則，考慮一個周期長度的區(qū)間范圍內(nèi)，得，，，－0－0＋0－減減極小值增極大值減，又，，所以，C正確，由表格知D正確．故選：ACD．10．聲音是物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音，若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是的一個周期 B．在上是增函數(shù)C．的最大值為 D．在上有個極值點【答案】CD【分析】分別計算和的最小正周期，再由其最小公倍數(shù)即可得到的最小正周期為，即可判斷A選項；設(shè)，對求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，即可判斷BCD選項.【解析】解：因為：，的最小正周期是，的最小正周期是，所以的最小正周期是，故A不正確；由題可知，取一周期，不放設(shè)，由，令得，，，當，，為增函數(shù)，當，，為減函數(shù)，當，，為增函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，在上為單調(diào)遞減，故B不正確；由于，，所以的最大值為，所以C正確；由上可得在上，在和處取得極值點，即在上有個極值點，故D正確.故選：CD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．B．函數(shù)的最大值為1C．若方程恰有兩個不等的實根，則實數(shù)的取值范圍為D．若，則【答案】ABD【分析】利用導數(shù)研究的單調(diào)性，即可判斷A、B的正誤；由在、上的值域，即可知恰有兩個不等的實根時的取值范圍；取，要證，即證，構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)研究單調(diào)性，進而確定在上的符號，即可證.【解析】由題意，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，A：，正確；B：的極大值，也是最大值為，正確；C：∵時，即上；時，即上；∴要使恰有兩個不等的實根，則，錯誤；D：不妨設(shè)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，若，則，要證，即證，，只需證明，即證明令，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以，所以，即，故，正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知函數(shù)，則的最小值是______．【答案】【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最小值.【解析】由題意，得，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以時取得最小值，此時．當時，，當時，，所以的最小值是．13．已知對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【分析】將不等式化成，再兩邊取對數(shù)，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得解.【解析】，，而，于是得：，，令，，，當時，，當時，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當時，，于是得，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：14．已知，（為常數(shù)），的最大值為，則_______．【答案】2【分析】令，得到，然后對取對數(shù)，構(gòu)建新的函數(shù)，然后利用導數(shù)得到，進一步得到，最后得到結(jié)果.【解析】令，所以，其中，令，且，所以可知：，；，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，由，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增所以由，即，所以故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于使用換元，并構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合導數(shù)進行求解.四、解答題15．已知斜率為k的直線l與拋物線y2=4x交于A?B兩點，y軸上的點P使得△ABP是等邊三角形.（1）若k>0，證明：點P在y軸正半軸上；（2）當取到最大值時，求實數(shù)k的